Percepatan sentripetal

Sebuah mobil melewati bundaran, dan jarum spidometernya sama sekali tidak bergerak. Pengemudi tidak menambah gas ataupun mengerem, tetapi mobil itu tetap memiliki percepatan. Percepatan tidak mengukur bagaimana angka pada spidometer berubah, tetapi bagaimana seluruh anak panah kecepatan berubah. Di tikungan, anak panah itu berputar. Pada gerak melingkar beraturan, percepatan selalu mengarah ke pusat lingkaran, dan karena itulah disebut percepatan sentripetal (sentripetal berarti “menuju pusat”).

Jika kamu hanya mencari rumusnya: benda yang bergerak dengan kelajuan v pada lingkaran berjari-jari r memiliki percepatan sentripetal

$$a_s=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

dengan ω adalah kecepatan sudut. Ke mana arah percepatan itu dan dari mana rumus itu berasal akan kita tunjukkan dengan gambar.

Anak panah kecepatan terus berputar

Percepatan menyatakan bagaimana kecepatan berubah per satuan waktu. Namun, kecepatan adalah vektor, sebuah anak panah, dan anak panah dapat berubah dengan dua cara: menjadi lebih panjang atau lebih pendek, atau berputar. Saat bergerak pada garis lurus, anak panah hanya memanjang dan memendek, sesuai dengan bertambah cepat dan mengerem. Pada lingkaran, yang terjadi justru sebaliknya. Panjang anak panah tidak berubah, karena benda terus bergerak sama cepat, tetapi anak panah mengarah menurut garis singgung lingkaran, sehingga berputar sedikit pada setiap potongan busur. Perputaran anak panah saja sudah merupakan perubahan kecepatan, sehingga juga merupakan percepatan.

Kesalahan yang sering terjadi adalah menganggap gerak melingkar beraturan tidak memiliki percepatan karena kecepatannya tetap. Yang tetap hanya besarnya. Jika percepatannya nol, anak panah kecepatan sama sekali tidak boleh berubah, baik panjang maupun arahnya, dan benda akan bergerak lurus. Berbelok tanpa percepatan tidak mungkin.

Animasi menunjukkan sebuah titik yang bergerak melingkar dengan kelajuan tetap. Anak panah merah kecepatan ikut berputar bersamanya, dan anak panah hijau percepatan setiap saat mengarah ke pusat.

Anak panah hijau selalu tegak lurus terhadap anak panah merah. Karena itu, percepatan tidak memiliki komponen yang searah ataupun berlawanan arah dengan gerak, sehingga besar kecepatan tidak berubah. Seluruh percepatan dipakai untuk memutar anak panah. Mengapa arahnya justru ke pusat dan seberapa besar akan diungkapkan oleh gambar.

Seberapa besar percepatan sentripetal

Kita amati titik itu hanya selama waktu singkat Δt. Selama waktu itu, titik bergeser dari tempat A ke tempat B dan menempuh jarak

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Pada gambar, potongan gerak ini ditampilkan dua kali. Di sebelah kiri terlihat segitiga posisi berwarna biru: pusat lingkaran serta titik A dan B. Dua sisinya adalah jari-jari r, sisi ketiga adalah ruas garis AB. Dalam waktu singkat, busurnya hampir lurus, sehingga panjang ruas garis AB praktis sama dengan Δs. Di sebelah kanan terdapat segitiga kecepatan berwarna hijau: kedua anak panah kecepatan digambar dari satu titik beserta selisihnya $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, yang mengarah dari ujung ${\overrightarrow{v}}_1$ ke ujung ${\overrightarrow{v}}_2$. Kedua anak panah kecepatan panjangnya v.

Agar mudah dibaca, sudutnya digambar besar, tetapi bayangkan sudut itu cukup kecil. Yang penting, kedua segitiga memiliki sudut yang sama φ di puncaknya. Anak panah kecepatan selalu tegak lurus terhadap jari-jari, sehingga jika jari-jari berputar sebesar sudut φ, anak panah kecepatan juga berputar sebesar sudut yang sama. Jari-jari dan anak panah terhubung seperti kedua kaki huruf L: jika satu kaki diputar, seluruh huruf ikut berputar. Kedua segitiga sama kaki dengan sudut yang sama di antara kaki-kakinya. Karena itu, bentuknya sama dan hanya ukurannya yang berbeda: keduanya sebangun. Pada segitiga yang sebangun, perbandingan alas dan kaki sama:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Dengan kata lain: anak panah hijau sekian kali lebih pendek daripada anak panah kecepatan, sama seperti ruas garis AB sekian kali lebih pendek daripada jari-jari. Untuk Δs kita substitusikan v · Δt, lalu persamaannya kita ubah:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Di ruas kiri terdapat perubahan kecepatan per satuan waktu, yaitu percepatan:

$$a_s=\frac{v^2}{r}$$

Kita sedikit curang, karena ruas garis AB sedikit lebih pendek daripada busurnya. Namun, makin singkat waktu pengamatan, makin rapat ruas garis itu dengan busurnya, dan untuk percepatan sesaat kita mengambil waktu yang begitu singkat sehingga perbedaannya tidak terasa. Karena itu, rumusnya berlaku tepat.

Gambar juga menunjukkan arahnya. Anak panah hijau $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ mengarah ke bawah, sama seperti garis yang menghubungkan titik tengah ruas garis AB dengan pusat lingkaran. Untuk sudut kecil, anak panah itu hampir tegak lurus terhadap kedua anak panah kecepatan, dan yang tegak lurus terhadap garis singgung adalah jari-jari. Jadi, perubahan kecepatan, dan bersama itu percepatan, mengarah ke pusat.

Satuannya juga cocok:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Selain itu, rumusnya berperilaku masuk akal. Makin cepat benda bergerak, makin panjang anak panah kecepatan dan makin cepat anak panah itu berputar. Keduanya memperbesar percepatan, sehingga dalam rumus kelajuan dikuadratkan. Jika jari-jari bertambah, lingkarannya makin lurus dan percepatannya berkurang. Untuk jari-jari yang sangat besar, potongan lingkaran hampir berupa garis lurus dan percepatannya hampir nol, tepat seperti seharusnya untuk gerak lurus dengan kelajuan tetap.

Bentuk kedua rumus diperoleh jika kelajuan kita ganti dengan bentuk v = ω · r:

$$a_s=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Di sini orang mudah tersandung. Pada bentuk pertama, jari-jari terletak di penyebut, pada bentuk kedua di pembilang. Apakah percepatan bertambah atau berkurang jika jari-jari bertambah? Keduanya benar, hanya saja setiap kali ada besaran lain yang tetap. Pada kelajuan yang sama, tikungan yang lebih lebar lebih landai, percepatannya lebih kecil. Pada kecepatan sudut yang sama, misalnya di komidi putar, kuda-kudaan di tepi memiliki kelajuan lebih besar, sehingga juga percepatan lebih besar daripada kuda-kudaan di dekat pusat.

Seperempat bundaran

Kita kembali ke bundaran. Sebuah mobil melewatinya dengan kelajuan 54 km/h, yaitu 15 m/s, dan menempuh seperempat bundaran dalam 3 s. Dari anak panah kecepatan di awal dan di akhir seperempat bundaran itu, diperoleh percepatan rata-rata sekitar 7,1 m/s² ke arah pusat. Namun, berapa percepatan pada setiap saat?

Kita memerlukan jari-jarinya. Dalam 3 s, mobil menempuh 15 m/s · 3 s = 45 m, dan itu adalah seperempat keliling lingkaran:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekarang kita masukkan ke rumus. Jari-jarinya kita biarkan sebagai pecahan agar hasil antara tidak dibulatkan, dan membagi dengan pecahan sama dengan mengalikan dengan kebalikannya:

$$\begin{array}{rl}{a}_s& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Percepatan sesaatnya 7,85 m/s², lebih besar daripada rata-ratanya, 7,1 m/s². Besarnya kira-kira sama dengan yang dapat dicapai mobil saat mengerem penuh di aspal kering, sehingga bundaran sekecil itu memang tajam untuk 54 km/h. Mengapa angkanya berbeda, padahal besar percepatannya sama sepanjang waktu? Percepatan rata-rata hanya diperoleh dari anak panah kecepatan pertama dan terakhir serta selisih keduanya. Bayangkan semua anak panah kecepatan dari seperempat bundaran itu digambar dari satu titik. Ujung-ujungnya membentuk seperempat lingkaran berjari-jari 15 m/s. Percepatan sesaat menyatakan seberapa cepat ujung anak panah bergerak pada busur itu. Percepatan rata-rata hanya memakai garis lurus yang menghubungkan ujung pertama dan ujung terakhir, dan garis itu lebih pendek daripada busurnya. Perbedaan yang sama ada antara perpindahan dan jarak: melalui garis lurus selalu lebih dekat.

Angka-angka ini dapat kita periksa. Busurnya adalah seperempat keliling lingkaran berjari-jari 15 m/s, yaitu $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Garis penghubung kedua ujung adalah sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi siku-siku 15 m/s, yaitu 21,2 m/s. Keduanya kita bagi dengan tiga sekon:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Angka pertama adalah percepatan sesaat dari rumus, angka kedua percepatan rata-rata. Makin pendek bagian bundaran, makin rapat busur dengan garis penghubungnya, dan percepatan rata-rata makin mendekati percepatan sesaat.

Mobil di tikungan

Sekarang mobil melaju dengan 54 km/h yang sama melewati tikungan yang lebih lebar dengan jari-jari 50 m. Berapa percepatannya? Kita tuliskan apa yang diketahui, dan kelajuannya langsung kita ubah ke meter per sekon:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_s& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Kita substitusikan ke rumus:

$$a_s=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Dibandingkan dengan bundaran, percepatannya hampir setengahnya, tikungan yang lebih lebar lebih landai. Namun, hati-hati dengan kelajuan, karena dalam rumus kelajuan dikuadratkan. Jika mobil memasuki tikungan yang sama dua kali lebih cepat, percepatannya empat kali lebih besar, 18 m/s², dan itu sudah tidak sanggup ditangani mobil mana pun di jalan. Karena itulah mobil mengerem sebelum tikungan, bukan di dalamnya. Percepatan 4,5 m/s² sama sekali tidak kecil, kira-kira sama dengan pengereman yang tegas. Hanya saja arahnya ke samping.

Bumi mengelilingi Matahari

Bumi beredar mengelilingi Matahari dengan kelajuan sekitar 30 km/s, yaitu 3 · 10⁴ m/s, pada jarak sekitar 1,5 · 10¹¹ m. Kelajuan ini dapat kita periksa: satu kali beredar memerlukan waktu satu tahun, sekitar 3,16 · 10⁷ s, sehingga

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Lintasan Bumi tidak tepat berupa lingkaran, tetapi sangat mendekatinya, sehingga kita boleh menyubstitusikan ke rumus:

$$\begin{array}{rl}{a}_s& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Nilainya hanya 0,006 m/s². Setiap sekon, anak panah kecepatan hanya berubah enam milimeter per sekon, tidak berarti apa-apa dibandingkan kelajuan tiga puluh kilometer per sekon. Dalam satu sekon, Bumi melesat 30 km dan hanya menyimpang dari garis lurus sejauh $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Namun, satu tahun terdiri atas lebih dari tiga puluh juta sekon, sehingga dalam setahun anak panah kecepatan berputar satu putaran penuh dan lintasan Bumi tertutup.

Mengapa mesin cuci mengeringkan pakaian

Tabung mesin cuci dengan jari-jari 0,25 m berputar dengan kecepatan sudut 40π rad/s saat memeras pada 1.200 rpm. Sekarang bentuk kedua rumus berguna:

$$\begin{array}{rl}{a}_s& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radian adalah bilangan biasa, sehingga dari satuannya tersisa meter per sekon kuadrat. Percepatannya lebih dari empat ratus kali percepatan gravitasi g, yaitu lebih dari 400g. Siapa yang ingin memeriksanya dari kelajuan dinding tabung 31,4 m/s dan rumus $\frac{v^2}{r}$ akan memperoleh hasil yang sama.

Dalam rumus, kecepatan sudut dikuadratkan. Mesin cuci yang hanya memeras pada 800 rpm berputar sepertiga lebih lambat, tetapi percepatannya lebih dari dua kali lebih kecil: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, yaitu sekitar 1.750 m/s². Karena itulah pakaian dari pemerasan lambat terasa jauh lebih basah.

Apa akibatnya bagi pakaian? Agar tetesan air ikut berputar bersama tabung, tetesan itu harus terus berbelok, dengan percepatan yang sangat besar. Kaus kaki ditahan pada lingkaran oleh dinding tabung, tetapi di dinding itu ada lubang-lubang. Tetesan yang sampai di atas lubang tidak lagi memiliki sesuatu yang membelokkannya. Tetesan itu berhenti berbelok dan terus bergerak lurus menurut garis singgung, keluar dari tabung. Kaus kaki tetap di dalam dan airnya di luar. Apa tepatnya yang memaksa benda berbelok adalah pertanyaan tentang gaya. Kinematika memberi tahu kita berapa percepatan yang diperlukan untuk berbelok seperti itu, dan pada mesin cuci jumlahnya memang sangat besar.

Dengan ini kita telah menjelaskan gerak, tetapi belum penyebabnya. Mengapa benda mulai bergerak, mengerem, dan berbelok dijelaskan oleh gaya, dan dengan gaya dimulailah bagian kedua kategori ini, artikel Gaya.