Gerak melingkar beraturan

Kuda-kudaan di komidi putar, ujung jarum detik, atau kerikil yang terselip di alur ban (dilihat dari dalam mobil) bergerak berputar pada lingkaran. Jika benda itu terus bergerak sama cepat, kita menyebutnya gerak melingkar beraturan (GMB): lintasannya berupa lingkaran dan kelajuannya tidak berubah. Dalam waktu yang sama, benda menempuh busur yang sama panjang.

Sebaliknya, arah kecepatan terus berubah, karena anak panah kecepatan selalu mengarah menurut garis singgung lingkaran. Gerak ini beraturan hanya dalam hal kelajuannya. Bagaimana menjelaskannya dengan bilangan?

Pada garis lurus, posisi cukup ditentukan oleh satu bilangan, yaitu posisi pada sumbu. Pada lingkaran, satu bilangan juga cukup: sudut yang telah ditempuh benda sejak start. Karena itu, sudut akan menyertai kita di setiap langkah.

Periode dan frekuensi

Komidi putar di pasar malam mulai berputar, lalu terus berputar sama cepat. Kamu berdiri di dekatnya dengan stopwatch dan mendapati bahwa temanmu yang menunggang kuda-kudaan lewat di depanmu setiap sepuluh sekon. Waktu untuk satu putaran disebut periode, dilambangkan T, dan diukur dalam sekon:

$$T=10\mathrm{s}$$

Kita juga dapat bertanya sebaliknya: berapa putaran yang ditempuh komidi putar dalam satu sekon. Itulah frekuensi f. Jika satu putaran memerlukan sepuluh sekon, dalam satu sekon komidi putar menempuh sepersepuluh putaran. Secara umum, frekuensi dihitung sebagai satu putaran dibagi periode:

$$f=\frac{1}{T}$$

Kita substitusikan:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Satuan “per sekon”, yaitu $\frac{1}{\mathrm{s}}$, disebut hertz dan dilambangkan Hz. Komidi putar itu memiliki frekuensi 0,1 Hz. Hubungan ini juga berlaku sebaliknya, $T=\frac{1}{f}$: makin banyak putaran per sekon, makin singkat satu putaran. Periode dan frekuensi menjelaskan hal yang sama dari dua sisi yang berlawanan: yang satu menyatakan sekon per putaran, yang lain putaran per sekon.

Jarum detik mengelilingi muka jam dalam satu menit, sehingga periodenya T = 60 s dan frekuensinya $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Periode jarum menit adalah satu jam penuh, 3.600 s. Yang bergerak lambat memiliki periode panjang dan frekuensi kecil, sedangkan yang bergerak cepat sebaliknya.

Pada motor dan mesin cuci, frekuensi dinyatakan dalam putaran per menit (rpm). Mesin cuci yang memeras pada 1.200 rpm memutar tabungnya seribu dua ratus kali per menit. Satu menit terdiri atas enam puluh sekon, sehingga per sekon frekuensinya

$$f=\frac{1.200\mathrm{putaran}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{rps}=20\mathrm{Hz}.$$

Putaran hanyalah hitungan, sehingga putaran per sekon sama dengan hertz. Satu putaran tabung memerlukan waktu

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

lima perseratus sekon. Tidak heran pakaian di balik jendela mesin cuci hanya terlihat sebagai noda kabur.

Sudut diukur dengan busur

Dalam waktu tertentu, komidi putar berputar sebesar suatu sudut. Mengukurnya dalam derajat sudah kita kuasai: seperempat putaran adalah 90°, satu putaran penuh 360°. Namun, fisika lebih suka mengukur sudut dalam radian, dan sebentar lagi kita akan melihat alasannya.

Bayangkan sebuah sudut dengan titik sudut di pusat lingkaran. Kaki-kaki sudutnya memotong busur sepanjang s pada lingkaran. Pada lingkaran yang lebih besar, busur dari sudut yang sama lebih panjang, tepat sebanyak kali jari-jarinya lebih besar: lingkaran dua kali lebih besar, busur dua kali lebih panjang. Karena itu, perbandingan panjang busur dengan jari-jari tidak bergantung pada ukuran lingkaran, tetapi hanya pada sudutnya. Perbandingan inilah yang menyatakan besar sudut dalam radian:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Sudut yang ditempuh benda pada lingkaran disebut sudut tempuh (perpindahan sudut) dan dilambangkan dengan huruf Yunani φ (fi). Satu radian adalah sudut yang busurnya sama panjang dengan jari-jari. Karena itu, bilangan dalam radian menyatakan berapa jari-jari yang termuat dalam busur.

Berapa radian satu putaran penuh? Busurnya adalah seluruh keliling lingkaran, yaitu 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Jari-jarinya saling menghilangkan, sesuai dugaan kita. Satu putaran penuh adalah 2π radian, kira-kira 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Setengah putaran adalah π rad = 180°, seperempat putaran $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Satu radian adalah $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, sehingga dalam satu lingkaran penuh termuat enam radian ditambah sedikit lagi.

Mari kita lihat apa yang terjadi dengan satuannya. Panjang busur dan jari-jari sama-sama dalam meter, dan saat dibagi, meter saling menghilangkan, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Karena itu, radian adalah satuan tak berdimensi, sebenarnya hanya bilangan biasa, sama seperti skala peta, yang juga merupakan perbandingan dua panjang. Lambang rad hanya mengingatkan bahwa bilangan itu menyatakan sudut, dan dalam perhitungan boleh ditulis maupun dihilangkan. Hal ini akan segera berguna.

Kita kembali ke komidi putar. Kuda-kudaan bagian dalam, 2 m dari pusat, bergeser sejauh 3 m pada busurnya. Berapa sudut yang ditempuhnya? Ke dalam rumus kita substitusikan busur dan jari-jari:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Jari-jari termuat satu setengah kali dalam busur. Dalam derajat, sudut itu 1,5 · 57,3° ≈ 86°, hampir seperempat putaran.

Mengapa bukan derajat? Bilangan 360 adalah kesepakatan warisan bangsa Babilonia kuno, sedangkan radian berasal langsung dari lingkaran. Berkat itu, panjang busur dihitung dengan sangat sederhana, s = φ · r. Dengan derajat, pecahan $\frac{2\pi }{360}$ akan mengganggu dalam rumus itu. Karena itu, dalam rumus fisika sudut hampir selalu disubstitusikan dalam radian. Siapa yang menghitung sinus atau kosinus sudut seperti itu dengan kalkulator harus mengubah modenya dari DEG ke RAD. Siapa yang ingin tahu lebih banyak tentang radian dapat membaca artikel Radian.

Kecepatan sudut

Cepatnya komidi putar berputar dinyatakan dengan kecepatan sudut ω (omega). Kecepatan sudut adalah sudut yang ditempuh dalam satu satuan waktu:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Sudut diukur dalam radian dan waktu dalam sekon, sehingga kecepatan sudut diukur dalam rad/s. Pada gerak melingkar beraturan, dalam waktu yang sama panjang benda menempuh sudut yang sama, sehingga kecepatan sudutnya tetap.

Dalam satu periode, komidi putar berputar satu putaran penuh, yaitu 2π radian. Karena itu,

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Ke dalam rumus kita masukkan periode komidi putar kita:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Setiap sekon, komidi putar berputar sedikit lebih dari setengah radian, yaitu sekitar 36°. Jarum detik dengan periode 60 s enam kali lebih lambat, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Karena $\frac{1}{T}=f$, berlaku juga ω = 2π · f. Tabung mesin cuci memiliki kecepatan sudut

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekuensi dan kecepatan sudut mudah tertukar, jadi berhati-hatilah. Keduanya menjelaskan seberapa cepat komidi putar berputar, hanya dalam satuan yang berbeda: frekuensi dalam putaran per sekon, kecepatan sudut dalam radian per sekon. Satu putaran sama dengan 2π radian, sehingga kecepatan sudut selalu merupakan bilangan yang 2π kali lebih besar daripada frekuensi. Siapa yang melupakan 2π akan memperoleh 0,1 rad/s untuk komidi putar, bukan 0,63 rad/s. Radian adalah bilangan biasa, sehingga rad/s dan Hz setelah disederhanakan sama-sama hanya “per sekon”. Meskipun demikian, kecepatan sudut tidak ditulis dalam hertz, justru agar tidak tertukar dengan frekuensi.

Pada kecepatan sudut tetap, sudut diperoleh sama seperti jarak pada gerak lurus beraturan, hanya dengan kecepatan sudut sebagai pengganti kelajuan dan sudut sebagai pengganti jarak. Dari $\omega =\frac{\phi }{t}$, dengan mengalikan dengan waktu, kita peroleh φ = ω · t. Dalam 2,5 s, komidi putar berputar sebesar

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

yaitu seperempat putaran. Seperempat periode memang tepat 2,5 s.

Yang penting tentang kecepatan sudut adalah bahwa nilainya sama untuk seluruh komidi putar. Kuda-kudaan di tepi dan kuda-kudaan di dekat pusat sama-sama berputar satu kali dalam sepuluh sekon yang sama, setiap sekon sebesar sudut yang sama.

Mengapa tepi bergerak lebih cepat

Di komidi putar, dua kuda-kudaan berjajar, yang dalam 2 m dari pusat dan yang luar 4 m dari pusat. Keduanya bergerak bersama seperti pada satu tiang, sehingga dalam waktu yang sama menempuh sudut yang sama. Namun, kuda-kudaan luar bergerak pada lingkaran yang lebih besar, sehingga dalam waktu yang sama menempuh busur dua kali lebih panjang. Keduanya menempuh jumlah putaran yang sama selama permainan, tetapi satu putaran kuda-kudaan luar dua kali lebih panjang. Animasi menunjukkannya: jari-jari yang membawa kedua kuda-kudaan berputar sebagai satu kesatuan, sudutnya sama, tetapi jejak merah tumbuh dua kali lebih cepat daripada jejak biru.

Jarak dua kali lipat dalam waktu yang sama berarti kelajuan dua kali lipat. Mari kita hitung. Dalam satu putaran, kuda-kudaan menempuh seluruh keliling lingkarannya, 2π · r, dan memerlukan waktu satu periode T. Kelajuan adalah jarak dibagi waktu:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Perhatikan bahwa r adalah jarak dari pusat, yaitu jari-jari lingkaran yang dilalui kuda-kudaan, bukan diameter seluruh komidi putar. Untuk kuda-kudaan luar, kita substitusikan 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Itu kira-kira 9 km/h, seperti lari kecil yang cukup cepat. Kuda-kudaan dalam:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Itu sekitar 4,5 km/h, kelajuan berjalan biasa. Siapa yang berdiri tepat di pusat hanya berputar di tempat dan tidak bergerak ke mana-mana. Karena itulah anak-anak berebut kuda-kudaan di tepi, apalagi di sana anginnya lebih terasa. Siapa yang duduk dekat pusat seperti sedang menunggang kuda poni.

Kelajuan juga dapat dicari melalui kecepatan sudut. Kelajuan adalah jarak dibagi waktu, $v=\frac{s}{t}$, dan jarak pada lingkaran adalah panjang busur s = φ · r. Kita substitusikan:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Pecahan $\frac{\phi }{t}$ adalah kecepatan sudut, sehingga

$$v=\omega \cdot r.$$

Kelajuan v secara khusus disebut kecepatan linear, agar tidak tertukar dengan kecepatan sudut. Pada kecepatan sudut yang sama, kecepatan linear sebanding dengan jarak dari pusat. Kita periksa pada kuda-kudaan luar:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Cocok. Untuk kuda-kudaan dalam diperoleh $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tepat setengahnya. Perhatikan satuannya: radian per sekon kali meter menghasilkan meter per sekon, karena radian adalah bilangan biasa yang hilang tanpa jejak dari hasilnya. Jika sudut kita substitusikan dalam derajat, hasilnya akan menjadi bilangan yang tidak bermakna, karena rumus s = φ · r hanya berlaku untuk radian.

Rumus ini juga dapat dipakai ke arah sebaliknya. Pemilik komidi putar ingin kuda-kudaan luar bergerak 3 m/s. Seberapa cepat komidi putar harus berputar? Dari hubungan v = ω · r, kedua ruas kita bagi dengan jari-jari:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Periodenya diperoleh dari hubungan $\omega =\frac{2\pi }{T}$, cukup dengan menukar letak periode dan kecepatan sudut:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Jadi, satu putaran komidi putar harus memerlukan sekitar delapan setengah sekon, bukan sepuluh. Kuda-kudaan dalam kemudian bergerak dengan setengah kelajuan itu, 1,5 m/s.

Untuk contoh yang ekstrem ke arah sebaliknya, kita ambil jam. Ujung jarum menit sepanjang 10 cm berputar dengan periode 3.600 s, sehingga

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Itu sekitar seperenam milimeter per sekon, sehingga seekor siput pun bisa mendahuluinya. Karena itu, gerak jarum menit tidak terlihat oleh mata, tetapi setelah lima menit sudah terlihat.

Terakhir, kita kembali ke mesin cuci. Tabungnya memiliki jari-jari sekitar 25 cm, yaitu 0,25 m, dan kecepatan sudut 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Itu sekitar 113 km/h. Kaus kaki yang tertekan ke dinding tabung saat pemerasan melesat secepat mobil di jalan tol, padahal mesin cucinya tetap diam di kamar mandi.

Kuda-kudaan di komidi putar maupun kaus kaki di dalam tabung terus bergerak sama cepat, tetapi anak panah kecepatannya setiap saat mengarah ke arah lain. Artikel berikutnya, Percepatan sentripetal, menunjukkan mengapa gerak seperti ini dipercepat, ke mana arah percepatannya, dan seberapa besar percepatan itu.