Bidang miring

Rizky meletakkan kereta luncur di bukit bersalju lalu melepaskannya. Kereta luncur mulai bergerak dan makin lama makin cepat. Namun, yang menariknya ke bawah hanya Bumi, dan gaya berat mengarah tegak lurus ke bawah, bukan miring sepanjang lereng. Mengapa kereta luncur tidak jatuh tegak lurus ke tanah, tetapi meluncur sepanjang bukit? Dan mengapa dari lereng yang landai kereta luncur turun lebih lambat daripada dari lereng yang curam? Keduanya dijelaskan dengan satu trik: gaya berat kita uraikan atas dua komponen.

Lereng, perosotan, jalur landai, dan papan miring dalam fisika disebut bidang miring. Seberapa miring bidang itu dinyatakan oleh sudut α yang dibentuknya dengan tanah mendatar.

Menguraikan gaya berat

Gaya berat $\overrightarrow{w}$ kita ganti dengan dua gaya yang bersama-sama memberikan efek yang sama. Yang satu mengarah ke bawah sepanjang lereng, yang lain tegak lurus ke dalam lereng. Dengan demikian, gaya berat merupakan diagonal persegi panjang yang dibentuk oleh kedua komponennya, seperti pada setiap penguraian gaya.

Komponen putus-putus biru ${\overrightarrow{F}}_1$ menarik kereta luncur ke bawah sepanjang lereng, sedangkan komponen lainnya, ${\overrightarrow{F}}_2$, menekannya ke dalam salju. Komponen ini sendiri tidak menggerakkan apa pun, karena salju tidak membiarkan kereta luncur menembusnya. Jadi, dari seluruh gaya berat, yang menggerakkan kereta luncur hanya bagian F₁, dan inilah jawaban atas pertanyaan pertama.

Berapa besar komponen-komponennya? Gaya berat, komponen ${\overrightarrow{F}}_2$, dan ruas garis putus-putus abu-abu dari ujung ${\overrightarrow{F}}_2$ ke ujung $\overrightarrow{w}$ membentuk segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku di ujung ${\overrightarrow{F}}_2$. Gaya berat adalah sisi miringnya, dan sudut di titik berat antara gaya berat dan komponen ${\overrightarrow{F}}_2$ pada gambar diberi tanda α, sama dengan kemiringan lereng. Alasannya akan kita tunjukkan sebentar lagi. Mula-mula kita ingat kembali sinus dan kosinus: sinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan sisi depan dengan sisi miring, sedangkan kosinus adalah perbandingan sisi samping dengan sisi miring. Di hadapan sudut α terletak sisi siku-siku putus-putus yang sama panjang dengan F₁, dan sisi sampingnya adalah F₂, sehingga

$$\sin \alpha =\frac{F_1}{w},\cos \alpha =\frac{F_2}{w}.$$

Kedua persamaan kita kalikan dengan gaya berat:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =w\cdot \sin \alpha \\ F_2& =w\cdot \cos \alpha \end{array}$$

Tinggal alasan yang dijanjikan. Gaya berat tegak lurus terhadap tanah mendatar, sedangkan komponen ${\overrightarrow{F}}_2$ tegak lurus terhadap lereng. Bayangkan tanah dan lereng kita putar sebesar sudut siku-siku. Tanah menjadi garis tegak, lereng menjadi garis yang tegak lurus lereng, dan sudut di antara keduanya tidak berubah karena perputaran. Karena itu, sudut antara gaya berat dan garis yang tegak lurus lereng sama dengan sudut antara tanah dan lereng. Hal ini karena dua sudut lancip yang kaki-kakinya saling tegak lurus selalu sama besar.

Siapa yang tidak suka memutar dapat menghitung. Gaya berat kita perpanjang tegak lurus ke bawah sampai ke tanah. Garis tegak, tanah, dan lereng membentuk segitiga siku-siku dengan sudut α di bawah dekat tanah, sehingga di dekat lereng sudutnya 90° − α. Garis yang tegak lurus lereng membentuk sudut siku-siku dengan lereng, sehingga menyimpang dari garis tegak sebesar 90° − (90° − α) = α.

Kebenaran hasil ini dapat kita periksa pada kasus-kasus ekstrem. Di tanah mendatar, α = 0°, sin α = 0, dan cos α = 1. Komponen sepanjang lereng hilang, dan seluruh gaya berat menekan alas, tepat seperti seharusnya. Makin curam lerengnya, makin besar sinusnya dan makin kuat kereta luncur tertarik ke bawah. Inilah jawaban atas pertanyaan kedua.

Mari kita coba dengan kereta luncur Rizky bermassa 10 kg di lereng dengan kemiringan 30°. Gaya beratnya

$$w=m\cdot g=10\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=98,1\mathrm{N}.$$

Kita substitusikan sin 30° = 0,5 dan cos 30° ≈ 0,866:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =98,1\mathrm{N}\cdot 0,5=49,05\mathrm{N}\\ F_2& =98,1\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}\approx 85\mathrm{N}\end{array}$$

Perhatikan, 49,05 N + 85 N bukan 98,1 N. Komponen-komponen dijumlahkan sebagai anak panah, bukan sebagai bilangan.

Dalam ulangan, sering terjadi sinus dan kosinus tertukar. Kamu tidak perlu menghafal mana yang ke mana, cukup pikirkan tanah mendatar. Di sana komponen sepanjang lereng harus hilang, dan nilai nol pada 0° diberikan oleh sinus, bukan kosinus. Jadi, komponen sepanjang lereng adalah yang memuat sinus.

Gaya normal di lereng

Salju memberikan gaya normal $\overrightarrow{N}$ pada kereta luncur, dan gaya ini selalu tegak lurus terhadap alas, di sini tegak lurus lereng ke arah luar. Dalam arah tegak lurus lereng, kereta luncur tidak bergerak, tidak terbenam dan tidak terlempar. Karena itu, gaya-gaya dalam arah ini seimbang, dan gaya normal mengimbangi komponen ${\overrightarrow{F}}_2$:

$$N=w\cdot \cos \alpha$$

Di lereng, gaya normal lebih kecil daripada gaya berat. Untuk kereta luncur Rizky, nilainya 85 N, bukan 98,1 N. Di sinilah paling sering terjadi kesalahan dalam ulangan: siapa yang mengambil N = m · g dari lantai mendatar akan memperoleh gaya gesek yang salah di lereng.

Makin curam lerengnya, makin kecil kosinusnya, makin lemah kereta luncur menekan salju, dan makin kecil pula gesekannya. Pada dinding tegak, cos 90° = 0, dan gaya normal hilang sama sekali.

Kereta luncur tanpa gesekan

Kita mulai dengan lereng yang benar-benar licin, misalnya kereta luncur dengan bilah baja di atas es. Hambatan udara kita abaikan. Gaya normal meniadakan komponen ${\overrightarrow{F}}_2$, dan tersisa satu gaya sepanjang lereng, F₁. Menurut hukum gaya, gaya ini sama dengan massa kali percepatan:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha$$

Kita bagi dengan massa:

$$a=g\cdot \sin \alpha$$

Massanya saling menghilangkan. Kereta luncur kosong maupun kereta luncur yang dinaiki Rizky akan dipercepat secara sama di lereng yang licin, sama seperti benda ringan dan berat jatuh dengan percepatan yang sama. Kereta luncur dengan massa lebih besar memang ditarik ke bawah dengan gaya yang lebih besar, tetapi dalam perbandingan yang sama ia juga lebih sulit digerakkan.

Untuk lereng dengan kemiringan 30°:

$$a=9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 0,5\approx 4,9{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Tepat setengah percepatan gravitasi. Kasus-kasus ekstrem juga cocok: di tanah mendatar sin α = 0 dan kereta luncur tidak bergerak sendiri, pada dinding tegak sin 90° = 1 dan a = g, yaitu gerak jatuh bebas.

Kereta luncur dengan gesekan

Namun, di salju sungguhan, kereta luncur diperlambat oleh gesekan. Gaya gesek $\overrightarrow{f}$ mengarah ke atas sepanjang lereng, berlawanan dengan gerak, dan sebanding dengan gaya normal. Di lereng, yang dimasukkan ke rumus bukan seluruh gaya berat, melainkan hanya bagiannya, w · cos α, yaitu gaya normal:

$$f={\mu }_k\cdot N={\mu }_k\cdot w\cdot \cos \alpha$$

Untuk bilah kereta luncur di salju yang padat, kita ambil μ_k = 0,1. Bilah baja atau plastik meluncur di salju jauh lebih baik daripada, misalnya, karet. Kereta luncur Rizky diperlambat oleh gaya

$$f=0,1\cdot 85\mathrm{N}\approx 8,5\mathrm{N}.$$

Resultan sepanjang lereng adalah komponen F₁ dikurangi gesekan, sekitar 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, dan percepatannya

$$a=\frac{40,6\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}\approx 4,06{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Secara umum, hukum gaya sepanjang lereng berbunyi

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -{\mu }_k\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha ,$$

dan jika persamaan ini kita bagi dengan massa, kita peroleh rumus percepatan di lereng dengan gesekan:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -{\mu }_k\cdot \cos \alpha )$$

Di sini pun massa saling menghilangkan. Setelah disubstitusikan 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866), kembali diperoleh 4,06 m/s².

Di lereng yang lebih landai dengan kemiringan 10°, sin 10° ≈ 0,174 dan cos 10° ≈ 0,985, sehingga

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\mathrm{0,174}-0,1\cdot \mathrm{0,985})\\ & \approx 0,74{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Kemiringannya tiga kali lebih kecil, tetapi percepatannya lebih dari lima kali lebih kecil. Di sini gesekan menghabiskan sebagian besar komponen sepanjang lereng. Di lereng dengan kemiringan 5°, nilai dalam kurung akan negatif: kereta luncur yang sudah bergerak akan melambat sampai berhenti. Mengapa setelah itu kereta luncur tetap diam dijelaskan pada bagian berikutnya.

Kapan benda tetap diam

Rizky dan adiknya menarik kereta luncur kembali ke atas dan beristirahat sebentar di bagian jalan yang lebih landai. Kereta luncur diam di sana dan tidak meluncur turun. Kereta luncur ditahan oleh gaya gesek statis, yang selalu tepat sebesar yang diperlukan untuk mengimbangi gaya yang menarik kereta luncur ke bawah, di sini komponen F₁. Nilai maksimumnya μ_s · N, dengan μ_s adalah koefisien gesek statis. Jadi, kereta luncur tetap diam selama

$$w\cdot \sin \alpha \le {\mu }_s\cdot w\cdot \cos \alpha .$$

Hasil bagi sinus dan kosinus disebut tangen, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Dalam segitiga siku-siku, tangen adalah perbandingan sisi depan dengan sisi samping. Gaya beratnya saling menghilangkan, dan setelah dibagi dengan kosinus tersisa

$$\tan \alpha \le {\mu }_s.$$

Apakah benda di lereng meluncur turun tidak ditentukan oleh massanya, tetapi hanya oleh kemiringan dan permukaannya. Sudut dari nilai tangen yang diketahui dapat dicari dengan tombol tan⁻¹ pada kalkulator.

Di lereng dengan kemiringan 5°, tan 5° ≈ 0,087, lebih kecil daripada 0,1, dan gaya gesek statis bahkan lebih besar daripada gaya gesek kinetis. Karena itu, kereta luncur yang sudah berhenti di sana tidak akan bergerak lagi dengan sendirinya. Rumus dengan percepatan negatif hanya menjelaskan gerak meluncur turun.

Dari sini muncul percobaan yang sederhana. Letakkan balok kayu dari mainan susun di atas papan, lalu angkat salah satu ujung papan perlahan-lahan. Untuk kayu di atas kayu, μ_s ≈ 0,5, sehingga balok mulai bergerak ketika tan α mencapai 0,5, yaitu kira-kira pada 27°.

Hal yang sama berlaku untuk mobil yang diparkir dengan rem tangan terpasang. Di aspal kering, mobil tetap tertahan bahkan di jalan yang sangat curam. Namun, di jalan yang tertutup es, koefisien gesek statis hanya sekitar 0,1, dan tan α = 0,1 sesuai dengan kemiringan kurang dari 6°. Tanjakan seperti itu ada di hampir setiap kota, dan mobil akan meluncur turun di atas es, baik ringan maupun berat.

Gaya gesek kinetis lebih kecil daripada gaya gesek statis. Karena itu, pada kemiringan sekitar 20°, balok tetap diam dengan sendirinya, tetapi setelah diketuk, balok mulai bergerak dan terus dipercepat, karena tan 20° ≈ 0,36 lebih besar daripada koefisien gesek kinetis μ_k = 0,3.

Contoh soal ulangan langkah demi langkah

Sebuah peti berisi apel bermassa 20 kg terletak di atas papan kayu yang secara miring menghubungkan bak mobil dengan tanah. Panjang papan 2 m, dan papan membentuk sudut 35° dengan tanah. Koefisien gesek kinetis kayu di atas kayu 0,3, koefisien gesek statisnya 0,5. Apakah peti akan bergerak sendiri? Berapa percepatannya, dan dengan kelajuan berapa peti itu sampai di tanah?

Tuliskan yang diketahui. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ_k = 0,3, μ_s = 0,5, g = 9,81 m/s². Yang ditanyakan a dan v. Satuannya sudah satuan pokok, tidak ada yang perlu dikonversi.

Gambarlah gaya-gayanya. Gaya-gayanya sama seperti pada kereta luncur.

Apakah peti bergerak? tan 35° ≈ 0,70 lebih besar daripada μ_s = 0,5. Gaya gesek statis tidak dapat menahan peti.

Uraikan gaya berat. Agar terbayang dalam angka: w = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736, dan cos 35° ≈ 0,8192. Sepanjang papan, peti ditarik oleh F₁ ≈ 112,5 N, ke dalam papan ditekan oleh F₂ ≈ 160,7 N. Namun, selanjutnya kita menghitung dengan huruf dan baru menyubstitusikan bilangan di akhir.

Jumlahkan gaya-gaya sepanjang papan. Dalam arah tegak lurus papan, gaya-gayanya seimbang, sehingga N = m · g · cos α dan gaya geseknya f = μ_k · m · g · cos α. Sepanjang papan, F₁ menarik ke bawah dan gesekan ke atas:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -{\mu }_k\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha$$

Nyatakan percepatannya. Setelah dibagi dengan massa:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -{\mu }_k\cdot \cos \alpha )$$

Kelajuan di akhir. Peti mulai dari keadaan diam dan dipercepat secara beraturan, sehingga v² = 2 · a · s dan

$$v=\sqrt{2\cdot a\cdot s}.$$

Substitusikan. Percepatannya kita biarkan tidak dibulatkan di kalkulator:

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\sin 35°-0,3\cdot \cos 35°)\\ & \approx 3,22{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& \approx \sqrt{2\cdot \mathrm{3,216}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}}\\ & \approx 3,6\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Pemeriksaan: percepatannya lebih kecil daripada g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² tanpa gesekan, sebagaimana mestinya.

Peti bergerak sendiri, dipercepat sekitar 3,22 m/s², dan sampai di tanah dengan kelajuan sekitar 3,6 m/s, hampir 13 km/h. Kasihan apelnya, sebaiknya ada orang yang menangkap peti itu di bawah.

Jadi, pada bidang miring cukup menguraikan gaya berat, dan selanjutnya perhitungannya sama seperti di tanah mendatar: tegak lurus alas ada keseimbangan, sepanjang alas berlaku hukum gaya. Namun, sejauh ini semua benda bergerak pada garis lurus.

Apa yang diperlukan agar kereta luncur atau mobil dapat berbelok ditunjukkan dalam artikel berikutnya, Gaya sentripetal.