Kelajuan dan kecepatan

Rekor dunia lari 100 m putra dibuat pada Kejuaraan Dunia di Berlin tahun 2009: 100 m dalam 9,58 s. Seberapa cepat lari itu? Jika sang pelari mempertahankan kelajuan yang sama sepanjang waktu, setiap sekon ia menempuh

$$\frac{100\mathrm{m}}{9,58\mathrm{s}}\approx 10,44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

yaitu lebih dari sepuluh meter setiap sekon. Berapa itu dalam kilometer per jam?

$$10,44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10,44\cdot 3,6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Di jalan dengan batas kecepatan 50 km/jam, ia bisa mengimbangi mobil sebentar. Setidaknya sejauh seratus meter, karena lebih lama dari itu ia tidak akan sanggup.

Rumus kelajuan

Jika kamu hanya mencari rumusnya, kelajuan v dihitung dengan membagi jarak s dengan waktu t yang diperlukan benda untuk menempuhnya:

$$v=\frac{s}{t}$$

Kelajuan menyatakan berapa jarak yang ditempuh benda dalam satu satuan waktu, misalnya dalam satu sekon atau satu jam. Makin jauh jarak yang ditempuh dalam waktu yang sama, makin besar kelajuannya. Jika jarak yang sama ditempuh dalam waktu yang lebih lama, kelajuannya berkurang, karena waktu terletak di penyebut.

Satuannya diperoleh dengan membagi satuan jarak dengan satuan waktu. Jarak dalam meter dan waktu dalam sekon menghasilkan meter per sekon, m/s. Jarak dalam kilometer dan waktu dalam jam menghasilkan kilometer per jam, km/h. Kedua satuan ini dikonversi dengan bilangan 3,6: dari m/s ke km/h kita mengalikan, ke arah sebaliknya kita membagi.

Kelajuan rata-rata

Perjalanan dari Jakarta ke Cirebon lewat jalan tol panjangnya sekitar 205 km. Keluarga Pak Agus menempuhnya dalam 2,5 h, termasuk istirahat di rest area. Seberapa cepat mereka melaju?

Mari kita hitung:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2,5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Namun, spidometer di mobil hampir tidak pernah menunjukkan 82 km/h. Di jalan tol jarumnya menunjukkan sekitar 130 km/h, di kemacetan dekat gerbang tol 20 km/h, dan di rest area nol. Bilangan 82 km/h adalah kelajuan rata-rata: kelajuan yang harus dipertahankan mobil sepanjang waktu tanpa berhenti agar tiba di Cirebon dalam waktu yang sama. Kelajuan rata-rata dilambangkan $\overline{v}$ dan dihitung sebagai jarak total dibagi waktu total:

$$\overline{v}=\frac{s}{t}$$

Waktu total mencakup segalanya, termasuk saat berhenti. Jika keluarga Pak Agus beristirahat satu jam lebih lama di rest area, mereka menempuh 205 km yang sama dalam 3,5 h, dan kelajuan rata-ratanya turun menjadi

$$\overline{v}=\frac{205\mathrm{km}}{3,5\mathrm{h}}\approx 58,6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Kelajuan 10,44 m/s dari pembukaan artikel juga merupakan kelajuan rata-rata. Pelari itu mulai dari nol di balok start dan pada meter-meter pertama masih bertambah cepat, sehingga di awal ia berlari lebih lambat dan di akhir lebih cepat. Menurut pengukuran di Berlin, bagian antara meter ke-60 dan ke-80, yaitu 20 m, ia tempuh dalam 1,61 s:

$$\overline{v}=\frac{20\mathrm{m}}{1,61\mathrm{s}}\approx 12,42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44,7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Jadi, pada bagian pendek di paruh kedua lomba ia jauh lebih cepat daripada rata-ratanya untuk seluruh seratus meter.

Pergi 60, pulang 40

Soal ini sering muncul dalam ulangan maupun ujian masuk, karena hampir semua orang menjawab salah pada percobaan pertama. Pak Rizky mengendarai mobil ke rumah neneknya di desa yang berjarak 120 km dengan kelajuan 60 km/h. Dalam perjalanan pulang jalanan macet, sehingga ia hanya melaju 40 km/h. Berapa kelajuan rata-ratanya untuk seluruh perjalanan pergi dan pulang?

Rasanya ingin langsung menjumlahkan kedua kelajuan dan membaginya dengan dua:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Namun, jawaban ini salah. Kelajuan rata-rata bukan rata-rata kelajuan, melainkan jarak total dibagi waktu total. Karena itu, kita cari dulu berapa lama ia berkendara ke masing-masing arah. Saat pergi ia menempuh 120 km dengan kelajuan 60 km/h. Dari rumus $v=\frac{s}{t}$, waktu kita isolasi dengan mengalikan kedua ruas dengan t lalu membaginya dengan v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Perjalanan pergi memerlukan waktu

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

dan perjalanan pulang

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Seluruhnya ia menempuh 240 km dalam 5 h. Kelajuan rata-ratanya adalah

$$\overline{v}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Pak Rizky melaju dengan kelajuan rata-rata 48 km/h, bukan 50 km/h. Ke mana hilangnya dua kilometer per jam itu? Jawabannya terlihat pada gambar.

Setiap persegi panjang menyatakan satu jam perjalanan, dan bilangan di dalamnya menyatakan berapa kilometer yang ditempuh Pak Rizky dalam jam itu. Perjalanan pergi, berwarna merah, memakan dua jam, sedangkan perjalanan pulang, berwarna biru, tiga jam. Kedua perjalanan sama panjang, 120 km, tetapi dengan kelajuan rendah ia berkendara lebih lama. Jika kita merata-ratakan kelima jam itu, angka empat puluh mendapat tiga suara, sedangkan angka enam puluh hanya dua:

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Baris hijau menunjukkan bahwa lima jam dengan 48 km/h menghasilkan 240 km yang sama. Rata-rata 50 km/h hanya akan diperoleh jika Pak Rizky melaju dengan kedua kelajuan itu sama lama, misalnya satu jam dengan 60 km/jam dan satu jam dengan 40 km/jam. Di sini ia menempuh jarak yang sama, bukan waktu yang sama, sehingga rata-ratanya condong ke kelajuan yang lebih rendah.

Soal yang sama dalam bentuk terbalik lebih menjebak lagi. Pak Rizky kembali pergi dengan kelajuan 60 km/h dan ingin kelajuan rata-ratanya untuk seluruh perjalanan 80 km/h. Seberapa cepat ia harus pulang? Jawaban 100 km/h terasa wajar, tetapi kita sudah tahu bahwa kelajuan tidak dapat dirata-ratakan dengan cara itu. Seluruh perjalanan 240 km dengan kelajuan rata-rata 80 km/h akan ditempuh dalam

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Namun, dua jam sudah habis untuk perjalanan pergi. Untuk 120 km perjalanan pulang hanya tersisa satu jam, sehingga ia harus melaju 120 km/h. Bagaimana jika ia menginginkan rata-rata 120 km/h? Seluruh perjalanan harus ditempuh dalam dua jam, dan dua jam itu sudah ia lewati. Ia harus tiba di rumah dalam waktu nol, sehingga hal itu mustahil, secepat apa pun ia melaju.

Kelajuan sesaat

Spidometer di mobil tidak menunjukkan kelajuan rata-rata untuk seluruh perjalanan. Spidometer menunjukkan seberapa cepat mobil bergerak saat ini. Inilah yang disebut kelajuan sesaat. Namun, bagaimana menghitungnya jika rumus memerlukan suatu jarak dan suatu selang waktu, padahal sesaat sama sekali tidak memiliki durasi?

Kita gunakan kelajuan rata-rata pada bagian lintasan yang makin pendek. Sebuah mobil mulai bergerak dari lampu lalu lintas, dan 100 m di depannya berdiri sebuah tiang lampu. Kita ingin tahu seberapa cepat mobil bergerak tepat di tiang lampu itu. Di tiang lampu kita pasang gerbang cahaya, seperti yang dipakai untuk mengukur waktu dalam atletik, dan gerbang kedua berturut-turut di 100 m, 10 m, dan 1 m setelah tiang. Gerbang-gerbang itu mengukur berapa lama mobil menempuh setiap bagian, dan dari situ kita hitung kelajuan rata-ratanya:

Pada bagian sepanjang seratus meter, kelajuan rata-ratanya 24,14 m/s. Namun, mobil terus bertambah cepat sepanjang seratus meter itu, sehingga di akhir bagian itu kelajuannya jauh lebih besar daripada di tiang lampu, dan rata-ratanya menjadi lebih besar. Pada sepuluh meter, mobil hanya sempat bertambah cepat sedikit, dan pada satu meter hampir tidak sama sekali. Makin pendek bagiannya, makin kecil perubahan kelajuan di dalamnya dan makin dekat kelajuan rata-rata dengan kelajuan di tiang lampu. Hasilnya makin mendekati 20 m/s. Pada bagian 10 cm akan diperoleh 20,005 m/s, dan pada satu milimeter sedikit lebih kecil lagi. Karena itu, kelajuan sesaat mobil di tiang lampu adalah 20 m/s, yaitu 20 · 3,6 km/h = 72 km/h. Itulah yang ditunjukkan spidometer pada saat itu.

Jadi, kelajuan sesaat diperoleh sebagai kelajuan rata-rata pada bagian lintasan yang sangat pendek. Potongan jarak yang ditempuh benda kita tulis Δs, dan waktu yang diperlukan untuk menempuhnya Δt. Huruf Yunani Δ berarti perubahan. Maka

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

dengan waktu Δt yang harus cukup singkat sehingga kelajuan tidak berubah secara berarti selama waktu itu. Seberapa singkat yang cukup singkat bergantung pada geraknya. Mobil yang melaju di jalan tol dengan cruise control hanya mengubah kelajuannya sedikit sekali dalam satu sekon. Mobil yang menabrak tembok berhenti dalam sepersepuluh sekon.

Gerak beraturan adalah gerak ketika benda menempuh jarak yang sama dalam selang waktu yang sama panjang. Sekarang gerak ini dapat kita jelaskan dengan cara lain: gerak yang besar kelajuan sesaatnya tidak berubah. Spidometer terus menunjukkan bilangan yang sama, dan kelajuan rata-rata pada bagian mana pun sama dengan kelajuan sesaat. Pada gerak tidak beraturan, kelajuan sesaat berubah-ubah, dan kelajuan rata-rata hanyalah suatu bilangan antara kelajuan sesaat terkecil dan terbesar.

Untuk yang ingin tahu: turunan

Siapa yang sudah mengenal limit dan turunan akan mengenali apa yang kita lakukan pada tabel. Kita memperpendek waktu Δt dan mengamati ke mana hasil bagi $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ mendekat. Ahli matematika akan mengatakan bahwa kelajuan sesaat adalah limit hasil bagi ini, yaitu turunan jarak terhadap waktu:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Mobil pada tabel dalam waktu t sejak lampu lalu lintas menempuh jarak s = 1 m/s² · t², dan tiba di tiang lampu setelah sepuluh sekon. Turunan t² adalah 2t, sehingga

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

dan itulah tepat nilai yang didekati pada tabel. Selebihnya, di seluruh kategori ini kita tidak memerlukan turunan.

Kecepatan sebagai vektor

Sebuah mobil mengelilingi bundaran, dan spidometernya terus menunjukkan 30 km/h yang sama. Apakah kecepatan mobil berubah atau tidak?

Kecepatan adalah vektor. Tidak cukup mengetahui seberapa cepat mobil bergerak, ke mana arahnya juga penting. Anak panah kecepatan dilambangkan $\overrightarrow{v}$. Besarnya, $v=|\overrightarrow{v}|$, adalah yang ditunjukkan spidometer, yaitu kelajuan. Anak panah itu menunjuk ke arah benda sedang bergerak.

Pada gambar, mobil bergerak pada lingkaran putus-putus abu-abu berlawanan arah jarum jam. Anak panah merah menunjukkan kecepatannya. Anak panah yang lebih pucat, ${\overrightarrow{v}}_1$ sampai ${\overrightarrow{v}}_4$, menunjukkan kecepatan mobil di empat tempat, masing-masing setelah seperempat putaran. Dalam animasi, mobil terus mengelilingi bundaran, dan anak panahnya berturut-turut berimpit dengan setiap anak panah itu. Anak panah itu selalu sama panjang, karena spidometer terus menunjukkan 30 km/h. Namun, arahnya berubah terus-menerus.

Sekarang keempat anak panah kita pindahkan ke satu titik. Anak panah boleh digeser asalkan tidak diputar dan panjangnya tidak diubah, sehingga tetap merupakan vektor-vektor yang sama.

Keempat anak panah berujung pada lingkaran putus-putus yang sama, sehingga besarnya sama, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Namun, setiap anak panah mengarah ke arah yang berbeda, sehingga merupakan empat vektor yang berbeda, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Jadi, jawaban atas pertanyaan tadi adalah: kecepatan mobil berubah, meskipun spidometer terus menunjukkan bilangan yang sama. Yang berubah adalah arahnya. Spidometer hanya menunjukkan besar kecepatan, arahnya tidak terlihat.

Gerak beraturan kita kenali dari jarak, dan jarak tidak memiliki arah. Karena itu, gerak beraturan adalah gerak yang kelajuannya tidak berubah. Jadi, mobil di bundaran bergerak beraturan, tetapi kecepatannya sebagai vektor berubah. Bahwa perbedaan ini penting dapat kamu rasakan sendiri di dalam mobil: di tikungan kamu harus menahan tubuh, walaupun pengemudi tidak menginjak gas ataupun rem. Penyebabnya akan kita jelaskan nanti pada pembahasan percepatan.

Tinggal menjelaskan mengapa anak panah kecepatan mengarah menurut garis singgung, yaitu garis yang hanya menyentuh lintasan di tempat itu. Kita kembali ke kecepatan rata-rata, kali ini sebagai vektor. Dalam waktu Δt, mobil berpindah dari titik A ke suatu titik lain pada lintasan. Perpindahannya adalah anak panah $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, dan kecepatan rata-rata sebagai vektor adalah

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Perhatikan bahwa besar vektor ini pada umumnya tidak sama dengan jarak dibagi waktu. Perpindahan biasanya lebih pendek daripada jarak, dan baru sama dengan jarak pada bagian lintasan yang sangat pendek.

Membagi vektor dengan bilangan sama dengan mengalikannya dengan bilangan $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Anak panahnya hanya menjadi lebih pendek atau lebih panjang, arahnya tetap, sehingga kecepatan rata-rata searah dengan perpindahan.

Gambar menunjukkan lintasan hitam yang dilalui mobil dari kiri ke kanan. Anak panah hijau adalah perpindahan dari titik A dalam waktu yang makin singkat, ke titik-titik yang makin dekat dengan A. Perpindahan yang panjang mengarah miring ke atas, yang lebih pendek kurang miring, dan makin singkat waktunya, makin rapat anak panah itu dengan garis singgung putus-putus abu-abu. Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata pada bagian lintasan yang sangat pendek, sehingga arahnya menurut garis singgung, pada gambar searah anak panah merah.

Garis singgung pada lintasan bahkan dapat kamu lihat. Percikan api dari gerinda terlempar dari piringannya menurut garis singgung, ke arah gerak serpihan logam pada saat serpihan itu lepas dari piringan. Hal yang sama terjadi pada tetesan air yang terlempar dari payung yang diputar. Jika mobil di bundaran melintasi jalan yang licin dan rodanya kehilangan cengkeraman, mobil itu akan terus melaju kira-kira lurus searah anak panah kecepatannya, bukan mengikuti lingkaran.

Seberapa cepat benda-benda bergerak

Untuk gambaran, berikut beberapa kelajuan khas yang sudah dibulatkan:

Kelajuan bunyi pada tabel berlaku untuk udara bersuhu 20 °C. Dibandingkan cahaya, bunyi sangat lambat, sehingga kamu melihat kilat lebih dulu sebelum mendengar guntur: cahaya sampai kepadamu praktis seketika, sedangkan bunyi menempuh satu kilometer dalam sekitar tiga sekon. Jika di antara kilat dan guntur kamu menghitung sembilan sekon, badai itu kira-kira tiga kilometer jauhnya. Cahaya adalah yang tercepat. Dari Bulan, cahaya sampai kepada kita dalam sedikit lebih dari satu sekon, dan dari Matahari dalam sekitar delapan menit.

Kalkulator

Masukkan jarak dan waktu, dan kalkulator akan menghitung kelajuan rata-ratanya. Nilai awal diambil dari perjalanan keluarga Pak Agus ke Cirebon.

Gerak yang paling sederhana adalah gerak yang kecepatannya sama sekali tidak berubah, baik besarnya maupun arahnya. Gerak seperti ini disebut gerak lurus beraturan dan dibahas dalam artikel berikutnya, Gerak lurus beraturan.