Gerak lurus beraturan

Di jalan tol, kamu menyalakan cruise control pada 108 km/h. Sekarang mobil terus melaju sama cepat, lurus ke depan, dan jarum spidometer sama sekali tidak bergerak. Berapa meter yang ditempuh mobil dalam satu sekon? Kelajuannya kita ubah ke meter per sekon, yaitu kita bagi dengan 3,6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Setiap sekon, mobil menempuh 30 m. Dalam dua sekon 60 m, dalam tiga sekon 90 m, dan seterusnya, setiap sekon tiga puluh meter lebih jauh.

Di sebelah kiri terlihat jalan dari atas, dan mobil bergerak ke atas. Setiap satu sekon penuh, mobil kita meninggalkan tanda oranye di jalan, misalnya tetesan cat. Jarak antartanda sama, masing-masing 30 m, karena dalam setiap sekon mobil menempuh jarak yang sama. Di sebelah kanan ada grafik. Sumbu mendatar menunjukkan waktu t dalam sekon, dan sumbu tegak menunjukkan jarak s dalam meter yang ditempuh mobil sejak tanda pertama. Sumbu tegak memiliki skala yang sama dengan jalan, sehingga titik merah pada grafik selalu sama tinggi dengan mobil. Dalam animasi, enam sekon perjalanan berlalu, dan setiap sekon bertambah satu tanda di jalan dan satu titik oranye pada grafik.

Gerak pada garis lurus yang besar kecepatannya tidak berubah disebut gerak lurus beraturan (GLB). Gerak lurus adalah gerak yang lintasannya berupa garis lurus. Gerak beraturan adalah gerak ketika benda menempuh jarak yang sama dalam selang waktu yang sama panjang, dan ini sama artinya dengan kelajuan sesaat yang tetap. Mobil yang melaju dengan kelajuan tetap pada garis lurus tidak dapat berbelok, karena akan keluar dari garis itu, dan juga tidak dapat berbalik, karena untuk itu ia harus melambat sampai nol. Jadi, arah kecepatannya pun tidak berubah. Berbeda dengan mobil di bundaran, di sini seluruh kecepatan sebagai vektor tetap, baik besar maupun arahnya.

Tidak ada benda yang bergerak persis seperti ini: selalu ada sedikit tiupan angin atau jalan yang sedikit menanjak. Namun, mobil dengan cruise control di jalan tol yang datar, eskalator di stasiun MRT, atau kereta di rel yang lurus sangat mendekati gerak lurus beraturan.

Rumus jarak

Jika kamu hanya mencari rumusnya, jarak s yang ditempuh benda dalam gerak beraturan dengan kelajuan v selama waktu t dihitung dengan

$$s=v\cdot t$$

Rumus ini kita peroleh dari rumus kelajuan $v=\frac{s}{t}$ yang sudah kita kenal. Cukup kalikan kedua ruas dengan waktu t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Dengan kata lain: jika mobil menempuh 30 m setiap sekon, dalam sepuluh sekon ia menempuh sepuluh kali lebih jauh. Dalam satu menit, yaitu 60 s, mobil dengan cruise control menempuh

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1.800\mathrm{m}=1,8\mathrm{km}.$$

Satuan kita hitung seperti bilangan. Sekon di penyebut saling menghilangkan dengan sekon pengali, dan tersisa meter:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Jika hasilmu, misalnya, meter kali sekon, kamu tahu bahwa ada kesalahan di suatu tempat.

Perhatikan bahwa rumus s = v · t hanya berlaku untuk gerak beraturan. Jika kelajuannya berubah-ubah, kita tidak tahu kelajuan mana yang harus dimasukkan ke rumus. Yang dapat membantu hanyalah kelajuan rata-rata, $s=\overline{v}\cdot t$. Keluarga Pak Agus melaju ke Cirebon dengan kelajuan rata-rata 82 km/h selama 2,5 h, sehingga mereka menempuh 82 km/h · 2,5 h = 205 km, meskipun spidometer mereka menunjukkan segala macam angka dari nol sampai seratus tiga puluh.

Berapa lama waktunya?

Jika rumus s = v · t dibagi dengan kelajuan v, diperoleh waktu:

$$t=\frac{s}{v}$$

Jalan tol dari Jakarta ke Cirebon panjangnya sekitar 205 km. Jika mobil melaju sepanjang perjalanan dengan kelajuan tetap 100 km/h, perjalanan itu memerlukan waktu

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2,05\mathrm{h}.$$

Jalan tol memang tidak selurus penggaris, tetapi hal ini tidak masalah bagi rumusnya. Jarak diukur sepanjang lintasan, sehingga s = v · t berlaku untuk setiap gerak beraturan, termasuk mobil yang melewati tikungan dengan kelajuan tetap.

Berapa 2,05 h dalam jam dan menit? Yang pasti bukan dua jam lima menit. Satu jam terdiri atas enam puluh menit, bukan seratus. Dua jam penuh kita biarkan, dan sisa lima perseratus jam kita ubah ke menit:

$$0,05\mathrm{h}=0,05\cdot 60\min =3\min$$

Perjalanan itu memerlukan waktu 2 h dan 3 min.

Tinggal besaran ketiga, yaitu kelajuan. Kelajuan dihitung dengan rumus $v=\frac{s}{t}$. Dewi bersepeda di jalur sepeda yang lurus di tepi kanal dengan kelajuan yang selalu sama dan menempuh 6 km dalam 20 min. Dua puluh menit adalah sepertiga jam:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Membagi dengan sepertiga sama dengan mengalikan dengan tiga, sehingga hasilnya 6 · 3 = 18. Siapa yang tidak suka pecahan dapat mengubah semuanya ke meter dan sekon. Dua puluh menit sama dengan 20 · 60 s = 1.200 s:

$$v=\frac{6.000\mathrm{m}}{1.200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kedua cara memberikan hasil yang sama, karena 5 m/s kali 3,6 sama dengan 18 km/h.

Grafik jarak berupa garis lurus

Jarak yang ditempuh mobil dengan cruise control dari pembukaan artikel kita tulis dalam tabel:

Setiap baris tabel adalah satu titik pada grafik: waktu diukur pada sumbu mendatar, jarak pada sumbu tegak. Begitulah titik-titik oranye pada animasi di atas terbentuk. Semuanya terletak pada satu garis lurus yang berpangkal di titik asal. Mengapa justru pada garis lurus?

Dari setiap titik ke titik berikutnya ada anak tangga yang sama: satu sekon ke kanan (biru) dan 30 m ke atas (merah). Semua anak tangga sama lebar dan sama tinggi, sehingga garis penghubung titik-titik yang berdekatan memiliki kemiringan yang sama dan bersambung tanpa patahan. Jadi, semua titik terletak pada satu garis lurus. Jika di suatu tempat mobil bertambah cepat, anak tangga di sana lebih tinggi dan garisnya akan patah ke atas. Hal yang sama berlaku di antara sekon-sekon penuh. Dalam setengah sekon mobil menempuh 15 m, dalam sepersepuluh sekon 3 m, dan semua titik ini terletak pada garis lurus yang sama. Karena itu, grafiknya kita gambar dengan garis utuh, bukan hanya tujuh titik.

Seberapa curam garis itu dapat diketahui dari seberapa jauh garis naik jika kita bergeser sedikit ke kanan. Lebar anak tangga, yaitu perubahan waktu, kita tulis Δt, dan tinggi anak tangga, yaitu perubahan jarak, Δs. Hasil bagi keduanya adalah kemiringannya:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hasilnya bilangan yang sudah kita kenal: kelajuan mobil. Kemiringan grafik jarak sama dengan kelajuan. Inilah tepat rumus $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ untuk kelajuan sesaat, hanya saja pada gerak beraturan kita tidak perlu memastikan bahwa bagian lintasannya pendek. Jika kita mengambil bagian grafik yang lebih besar, kemiringannya tetap sama. Antara sekon pertama dan kelima berlalu 4 s, dan selama itu mobil menempuh 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ahli matematika akan mengatakan bahwa jarak adalah fungsi linear dari waktu. Fungsi linear ditulis dengan rumus y = a · x + b, dan grafiknya selalu berupa garis lurus. Bilangan a menyatakan berapa y bertambah jika x bertambah satu, dan disebut gradien. Bilangan b menentukan pada ketinggian berapa garis memotong sumbu tegak. Rumus kita s = v · t adalah fungsi linear, dengan waktu sebagai pengganti x, jarak sebagai pengganti y, kelajuan sebagai gradien, dan b = 0, sehingga garisnya melalui titik asal. Hubungan seperti ini adalah perbandingan senilai: dalam waktu dua kali lebih lama mobil menempuh jarak dua kali lebih jauh, dalam waktu tiga kali lebih lama tiga kali lebih jauh.

Mobil yang lebih cepat, grafik yang lebih curam

Di sebuah jembatan, mobil kita dengan cruise control mendahului truk yang melaju 72 km/h, yaitu

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Waktu dan jarak keduanya kita ukur sejak jembatan, dan kedua grafik kita gambar dalam satu gambar.

Garis merah milik mobil lebih curam daripada garis biru milik truk, karena setiap sekon mobil menempuh jarak lebih jauh. Makin curam grafik jarak, makin cepat geraknya. Jika truk berhenti, grafiknya akan mendatar, dengan kemiringan nol.

Nilai-nilai juga dapat dibaca dari grafik, karena itu kita menggambar kisi-kisi. Sampai di mana truk setelah 3 s? Pada sumbu mendatar kita cari angka 3, lalu naik mengikuti garis putus-putus sampai bertemu garis biru. Dari sana kita bergerak ke kiri ke sumbu tegak dan membaca 60 m. Sebaliknya, kita bertanya kapan mobil berada 120 m setelah jembatan. Pada sumbu tegak kita cari 120, bergerak ke kanan sampai garis merah, lalu turun ke sumbu waktu: setelah 4 s. Keduanya dapat kita periksa dengan perhitungan:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Jarak tegak antara kedua garis menunjukkan seberapa jauh mobil berada di depan truk. Setelah enam sekon, jaraknya 180 m − 120 m = 60 m. Selisih ini bertambah 10 m setiap sekon, yaitu tepat selisih kedua kelajuan, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Jika mobil tidak mulai dari nol

Sejauh ini kita mengukur jarak dari tempat stopwatch dinyalakan. Namun, sering kali stopwatch baru dinyalakan setelah benda menempuh sebagian perjalanan. Di sepanjang jalan tol dari Jakarta ke arah Cikampek berdiri patok kilometer, yaitu patok bernomor yang menunjukkan berapa kilometer jaraknya dari awal jalan tol di Jakarta. Di dekat Bekasi, sebuah mobil melewati KM 21, dan sejak saat itu melaju dengan kelajuan tetap 90 km/h. Di kilometer berapa mobil itu dua jam kemudian?

Dalam dua jam, mobil menempuh 90 km/h · 2 h = 180 km. Namun, patok kilometer tidak akan menunjukkan 180, karena mobil tidak berangkat dari nol. Kita menghitung seolah-olah, pada saat stopwatch dinyalakan, mobil sudah menempuh 21 km, karena patok kilometer diukur dari awal jalan tol. Jarak ini disebut posisi awal dan dilambangkan s₀. Jarak pada waktu t diperoleh dengan menambahkan jarak yang ditempuh mobil sejak stopwatch dinyalakan pada posisi awal:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Kita substitusikan:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Dua jam kemudian mobil berada di KM 201. Jika posisi awalnya nol, diperoleh rumus semula s = v · t.

Grafiknya tidak lagi berpangkal di titik asal, tetapi pada sumbu tegak di ketinggian s₀ = 21 km, yang ditunjukkan oleh ruas garis biru. Kemiringannya tetap sama dengan kelajuan, setiap jam grafiknya naik 90 km. Garis putus-putus abu-abu adalah grafik mobil yang melaju sama cepat, tetapi berangkat dari awal jalan tol. Kedua garis sejajar, karena kemiringannya sama. Garis merah hanya s₀ lebih tinggi. Dalam bahasa fungsi linear y = a · x + b, a adalah kelajuan dan b adalah posisi awal.

Sekarang sebaliknya: kapan mobil itu tiba di KM 156? Rasanya ingin langsung membagi 156 dengan sembilan puluh, tetapi dengan cara itu kita akan tahu berapa lama waktu yang diperlukan mobil dari awal jalan tol. Kita mulai dari rumus dan mengisolasi waktunya:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Kita substitusikan:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1,5\mathrm{h}$$

Mobil tiba di KM 156 setelah satu setengah jam, yaitu 1 h dan 30 min.

Tepatnya, angka pada patok kilometer tidak menyatakan jarak yang ditempuh mobil, tetapi di mana mobil berada di jalan tol. Selama mobil hanya bergerak maju, angka itu sama dengan jarak yang akan ditempuhnya dari awal jalan tol. Mengapa hal ini penting akan kita lihat di akhir artikel.

Grafik kelajuan

Kelajuan juga dapat digambarkan dalam grafik. Mobil dengan cruise control selalu melaju 30 m/s, berapa pun waktunya, sehingga grafik kelajuannya berupa garis mendatar pada ketinggian 30.

Jarak tidak dapat ditemukan pada sumbu mana pun dari grafik ini. Jarak tersembunyi dalam luas di bawah grafik. Di bawah garis untuk sepuluh sekon pertama terbentuk persegi panjang merah dengan lebar 10 s dan tinggi 30 m/s. Luasnya, lebar kali tinggi, adalah

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Itulah tepat jarak s = v · t yang ditempuh mobil dalam sepuluh sekon. Di sini luas tidak dinyatakan dalam meter persegi, tetapi dalam meter, karena sisi-sisi persegi panjang itu bukan panjang, melainkan kelajuan dan waktu. Garis-garis putih membagi persegi panjang menjadi sepuluh pita, satu untuk setiap sekon. Setiap pita memiliki luas 30 m/s · 1 s = 30 m, sama dengan jarak tiga puluh meter antartanda di jalan pada animasi di awal.

Mengapa repot-repot dengan luas jika cukup mengalikan? Karena luas di bawah grafik kelajuan menyatakan jarak juga ketika grafiknya tidak mendatar. Pada gerak dipercepat nanti, grafik kelajuan akan naik, dan di bawahnya akan terbentuk segitiga atau trapesium sebagai pengganti persegi panjang. Jarak lalu dihitung sebagai luasnya, dan untuk itu cukup rumus luas segitiga dan persegi panjang, karena trapesium dapat dibagi menjadi keduanya.

Diam atau bergerak mundur?

Pagi hari, Andi berangkat bersepeda dari rumah di jalan yang lurus. Selama dua jam ia melaju dengan kelajuan tetap 20 km/h, kemudian ia makan siang selama satu jam di sebuah warung, dan akhirnya pulang dengan kelajuan yang sama.

Kali ini sumbu tegak tidak menunjukkan jarak, tetapi posisi. Di sepanjang jalan kita bentangkan sumbu x dan titik asalnya kita letakkan di rumah Andi. Posisi x kemudian menyatakan seberapa jauh Andi dari rumah di sepanjang jalan, sama seperti patok kilometer menunjukkan di mana mobil berada di jalan. Garis putus-putus abu-abu adalah jarak yang ditempuh Andi, yang ditunjukkan oleh komputer sepeda di setangnya. Sampai akhir makan siang, garis ini berimpit dengan posisi. Bagian merah sudah kita kenal. Dalam dua jam, Andi menempuh 40 km, dan grafiknya naik dengan kemiringan 20 km/h.

Bagian biru mendatar. Waktu terus berjalan, tetapi Andi tetap berada 40 km dari rumah, sehingga ia diam. Grafik mendatar berarti diam, kemiringannya nol dan kelajuannya juga nol.

Bagian hijau menurun. Andi pulang, dan posisinya x berkurang 20 km setiap jam. Grafik yang menurun berarti gerak mundur. Seberapa cepat Andi melaju dapat diketahui dari seberapa jauh grafik turun dalam satu jam, di sini 20 km, sehingga kelajuannya 20 km/h. Sekarang kecepatannya berlawanan arah dengan kecepatan di pagi hari. Karena itu, fisikawan kadang-kadang memberinya tanda minus, yang menyatakan bahwa posisi x berkurang seiring waktu.

Sekarang terlihat mengapa pada patok kilometer kita membedakan di mana benda berada dan berapa jarak yang telah ditempuhnya. Komputer sepeda mengukur jarak, dan jarak tidak pernah berkurang seiring waktu. Karena itu, garis putus-putus terus naik setelah makan siang dan pada malam hari berakhir di 80 km, sedangkan grafik posisi berakhir di nol, karena Andi sudah kembali di rumah. Pada gerak satu arah, posisi dan jarak hanya berbeda sebesar nilai awalnya, sehingga untuk patok kilometer cukup rumus jarak s = s₀ + v · t. Jika benda berbalik arah, kita harus menghitung dengan posisi.

Seluruh perjalanan Andi tidak beraturan, tetapi terdiri atas tiga bagian yang beraturan. Kelajuan rata-rata untuk sepanjang hari adalah jarak total dibagi waktu total, termasuk makan siang. Jarak total bukan posisi akhir, karena posisi akhirnya nol. Jarak totalnya 80 km, tempat grafik putus-putus berakhir, atau 40 km + 0 km + 40 km:

$$\overline{v}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Bagian tegak pada grafik tidak akan pernah ada. Bagian seperti itu berarti Andi berpindah sejauh tertentu dalam waktu nol. Grafik yang membelok ke kiri berarti waktu bagi Andi berjalan mundur. Sejauh ini belum ada yang berhasil melakukan keduanya.

Kalkulator

Kalkulator pertama menghitung jarak dari kelajuan dan waktu, kalkulator kedua menghitung waktu dari jarak dan kelajuan. Nilai awal diambil dari contoh-contoh dalam artikel: sepuluh sekon dengan cruise control pada 108 km/h dan perjalanan dari Jakarta ke Cirebon dengan kelajuan tetap 100 km/jam.

Dengan rumus s = s₀ + v · t dan grafik jarak, kita juga dapat menyelesaikan soal cerita ketika satu mobil menyusul mobil lain atau dua kereta bergerak saling mendekat. Setiap kendaraan memiliki garisnya sendiri pada grafik, dan tempat keduanya bertemu adalah titik potong kedua garis. Soal-soal seperti itu akan kita bahas nanti.

Sebelum itu, dalam artikel Cara menyelesaikan soal kinematika dan dinamika kita akan mempelajari langkah-langkah yang berguna untuk setiap soal fisika: menuliskan apa yang diketahui, mengonversi satuan, membuat sketsa, dan menyelesaikan soal secara umum.