Soal cerita tentang gerak

Pukul delapan pagi, sebuah mobil berangkat dari Jakarta melalui jalan tol dengan kelajuan 90 km/h. Pada saat yang sama, mobil kedua berangkat dari Cirebon ke arah berlawanan dengan kelajuan 115 km/h. Jalan tol antara kedua kota panjangnya 205 km. Kapan dan di mana kedua mobil berpapasan?

Soal tentang gerak selalu tampak berbeda-beda, tetapi hampir semuanya dapat dipecahkan dengan trik yang sama. Untuk setiap kendaraan, kita tuliskan di mana kendaraan itu berada pada waktu t, lalu kita cari saat keduanya berada di tempat yang sama. Semuanya bergerak dengan kelajuan tetap, sehingga kita cukup memakai rumus gerak lurus beraturan dan langkah-langkah biasa untuk menyelesaikan soal.

Dua mobil saling mendekat

Kita tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan. Mobil dari Jakarta diberi indeks 1, mobil dari Cirebon indeks 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =90\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =115\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =205\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Semuanya dalam kilometer dan jam, satuannya tidak bercampur, sehingga tidak perlu dikonversi. Waktunya akan diperoleh dalam jam.

Sketsa akan membantu. Di sepanjang jalan tol kita bentangkan sumbu x. Titik asalnya kita letakkan di Jakarta, sehingga Cirebon terletak di 205 km.

Mobil merah bergerak searah sumbu, sehingga posisinya sama dengan jarak yang telah ditempuhnya:

$$x_1=v_1\cdot t$$

Mobil biru mulai di 205 km dan bergerak berlawanan arah sumbu. Karena itu, posisinya berkurang 115 km setiap jam:

$$x_2=s-v_2\cdot t$$

Tanda minus di sini muncul karena alasan yang sama dengan menurunnya grafik Andi saat pulang. Fisikawan akan mengatakan bahwa kecepatan mobil biru −115 km/h. Kita membiarkan kelajuannya positif, seperti yang ditunjukkan spidometer, dan arahnya kita tuliskan dengan tanda pada rumus.

Kedua mobil berpapasan ketika berada di tempat yang sama, yaitu ketika x₁ = x₂. Soal ini kita selesaikan secara umum:

$$\begin{array}{rcl}{v}_1\cdot t& =& s-v_2\cdot t/+v_2\cdot t\\ v_1\cdot t+v_2\cdot t& =& s\\ t\cdot (v_1+v_2)& =& s/:(v_1+v_2)\\ t& =& \frac{s}{v_1+v_2}\end{array}$$

Baris kedua masuk akal bahkan tanpa persamaan. Bentuk v₁ · t adalah jarak yang ditempuh mobil merah, v₂ · t jarak yang ditempuh mobil biru, dan bersama-sama keduanya menempuh seluruh jarak antara kedua kota. Setiap jam, keduanya saling mendekat sejauh 90 km + 115 km = 205 km. Kita substitusikan:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{205\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}+115\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{205\mathrm{km}}{205\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1\mathrm{h}\end{array}$$

Satuannya cocok: kilometer dibagi kilometer per jam adalah jam. Tempat berpapasan diperoleh dengan menyubstitusikan waktu ke posisi salah satu mobil:

$$x_1=90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1\mathrm{h}=90\mathrm{km}$$

Sebagai pemeriksaan: mobil biru pada saat itu berada di 205 km − 115 km = 90 km, yaitu di tempat yang sama. Perkiraannya juga cocok. Jika kedua mobil melaju sama cepat, keduanya akan berpapasan di tengah jalan. Mobil dari Cirebon lebih cepat, sehingga keduanya berpapasan lebih dekat ke Jakarta. Jawabannya: kedua mobil berpapasan pukul sembilan, 90 km dari Jakarta. Kedua pengemudi mungkin tidak sempat saling melambaikan tangan, karena keduanya saling mendekat dengan kelajuan 205 km per jam itu.

Titik potong grafik

Soal yang sama juga dapat diselesaikan tanpa persamaan. Posisi kedua mobil kita gambar dalam satu grafik, seperti mobil dan truk sebelumnya.

Garis merah berpangkal di titik asal dan naik dengan kemiringan 90 km/h. Garis biru mulai pada ketinggian 205 km dan menurun, karena mobilnya bergerak berlawanan arah sumbu. Garis biru turun lebih curam daripada garis merah naik, karena mobil dari Cirebon lebih cepat. Mobil itu tiba di Jakarta, tempat posisinya nol, dalam waktu kurang dari dua jam.

Di tempat kedua garis berpotongan, kedua mobil berada pada posisi yang sama pada waktu yang sama. Itulah tepat saat berpapasan. Dari titik potong oranye kita turun ke sumbu waktu dan membaca 1 h, lalu ke kiri ke sumbu tegak dan membaca 90 km.

Menyelesaikan persamaan x₁ = x₂ sama dengan mencari titik potong dua garis, hanya saja kita menghitung, bukan menggambar. Grafik menunjukkan apa yang terjadi dalam soal dan memberikan perkiraan cepat. Persamaan memberikan bilangan yang tepat, bahkan jika titik potongnya jatuh di antara garis-garis skala.

Menyusul

Seorang pesepeda berangkat dari Bogor dengan kelajuan tetap 18 km/h. Satu jam setelahnya, sebuah mobil berangkat melalui jalan yang sama dengan kelajuan 54 km/h. Kapan dan di mana mobil itu menyusul pesepeda?

Mari kita tentukan sejak kapan waktu diukur. Yang paling praktis adalah menyalakan stopwatch saat mobil berangkat. Pada saat itu, pesepeda sudah bersepeda selama satu jam, sehingga ia unggul 18 km. Inilah posisi awalnya s₀ dari rumus s = s₀ + v · t. Pesepeda hanya bergerak maju dan berangkat dari titik asal sumbu, sehingga jarak awalnya sama dengan posisi awalnya. Sumbu kita bentangkan sepanjang jalan dengan titik asal di Bogor. Pesepeda diberi indeks 1, mobil indeks 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s_0& =18\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Keduanya bergerak searah sumbu, sehingga posisinya adalah

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =s_0+v_1\cdot t,\\ x_2& =v_2\cdot t.\end{array}$$

Mobil menyusul pesepeda ketika keduanya berada di tempat yang sama, x₂ = x₁:

$$\begin{array}{rcl}{v}_2\cdot t& =& s_0+v_1\cdot t/-v_1\cdot t\\ t\cdot (v_2-v_1)& =& s_0/:(v_2-v_1)\\ t& =& \frac{s_0}{v_2-v_1}\end{array}$$

Kali ini di penyebut terdapat selisih kelajuan. Setiap jam, mobil memangkas keunggulan pesepeda sebesar 54 km − 18 km = 36 km, sama seperti sebelumnya keunggulan mobil atas truk bertambah sebesar selisih kelajuan keduanya. Kita hitung:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{18\mathrm{km}}{54\mathrm{km}/\mathrm{h}-18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{18\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,5\mathrm{h}\end{array}$$

Mobil menyusul pesepeda setelah setengah jam, yaitu 30 min. Tempat bertemunya kita baca dari posisi mobil:

$$x_2=54\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,5\mathrm{h}=27\mathrm{km}$$

Pada saat yang sama, pesepeda berada di 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, cocok. Jawabannya: mobil menyusul pesepeda setengah jam setelah mobil berangkat, 27 km dari Bogor.

Di sini pun kita gambar grafik posisinya. Kali ini sumbu waktu menunjukkan menit sejak mobil berangkat, agar pada gambar tidak muncul bilangan desimal.

Garis biru pesepeda tidak berpangkal di titik asal, tetapi pada ketinggian 18 km, sama seperti grafik mobil yang melewati patok kilometer. Garis merah mobil berpangkal di nol dan lebih curam. Jarak tegak antara kedua garis adalah keunggulan pesepeda. Jarak ini berkurang setiap menit, sampai hilang sama sekali di titik potong pada 30 min dan 27 km. Setelah titik potong, garis merah berada di atas garis biru: mobil sudah mendahului pesepeda dan makin menjauh.

Perhatikan apa yang kita jawab. Setengah jam itu diukur sejak mobil berangkat. Pada saat itu, pesepeda sudah mengayuh selama satu setengah jam. Jika stopwatch dinyalakan bersamaan dengan pesepeda, hasilnya satu setengah jam. Keduanya benar, hanya saja setiap waktu diukur sejak saat yang berbeda, dan karena itu saat tersebut harus disebutkan dalam jawaban.

Dari rumus itu kita dapat membaca satu hal lagi. Jika mobil hanya melaju 18 km/h, penyebutnya akan nol. Pembagian dengan nol tidak mungkin, dan mobil itu tidak akan menyusul pesepeda bahkan sampai di Bandung.

Kereta di terowongan

Sebuah kereta sepanjang 200 m melewati terowongan sepanjang 1 km dengan kelajuan tetap 72 km/h. Berapa lama waktu yang diperlukan kereta untuk melewati terowongan seluruhnya, yaitu sejak lokomotif masuk sampai gerbong terakhir keluar?

Rasanya ingin langsung membagi panjang terowongan dengan kelajuan. Namun, di sini kereta tidak boleh dianggap sebagai benda titik, karena justru panjangnya yang menentukan hasil, dan tanpa sketsa hal ini mudah terlewat.

Cukup kita amati satu titik pada kereta, yaitu ujung depan lokomotif (oranye). Pada awalnya, titik itu berada di mulut terowongan. Ketika gerbong terakhir keluar dari terowongan, ujung depan sudah berada sejauh panjang kereta setelah ujung terowongan. Jadi, titik itu menempuh panjang terowongan (biru) ditambah panjang kereta (hijau):

$$s=1.000\mathrm{m}+200\mathrm{m}=1.200\mathrm{m}$$

Panjangnya dalam meter, sehingga kelajuan kita ubah ke meter per sekon:

$$v=72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Waktu adalah jarak dibagi kelajuan:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.200\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$$

Meter dibagi meter per sekon adalah sekon, sehingga kereta melewati terowongan dalam satu menit. Siapa yang hanya memakai panjang terowongan memperoleh 50 s. Namun, pada saat itu lokomotif baru saja keluar, dan seluruh kereta di belakangnya masih di dalam terowongan. Perkiraannya cocok: satu kilometer ditempuh kereta dalam lima puluh sekon, dan dua ratus meter tambahannya dalam sepuluh sekon berikutnya.

Coba hitung juga berapa lama seluruh kereta berada di dalam terowongan. Waktunya dimulai ketika gerbong terakhir masuk terowongan, sehingga ujung depan berada 200 m setelah mulut terowongan. Waktunya berakhir ketika ujung depan tiba di ujung terowongan. Ujung depan menempuh 1.000 m − 200 m = 800 m, yang memerlukan waktu 40 s. Kali ini panjang kereta dikurangkan.

Searah dan melawan arus

Sebuah kapal wisata berlayar di Sungai Musi. Terhadap air, kapal itu melaju dengan kelajuan 15 km/h, dan sungai mengalir dengan kelajuan 3 km/h. Berapa lama waktu yang diperlukan kapal untuk tiba di dermaga 36 km ke arah hilir, searah arus, dan berapa lama untuk kembali?

Kelajuan kapal diukur terhadap air. Jika nakhoda mematikan mesin, air akan menghanyutkan kapal dengan kelajuan 3 km/h. Seperti biasa, yang penting adalah terhadap apa gerak diukur. Terhadap tepi sungai, dalam satu jam kapal yang bergerak searah arus menempuh 15 km dengan tenaganya sendiri, dan air menggesernya sejauh 3 km lagi. Kapal diberi indeks 1, arus indeks 2. Waktu searah arus kita sebut $t_{+}$, karena kelajuannya dijumlahkan, dan waktu melawan arus $t_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =3\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =36\mathrm{km}\\ t_{+}& =?\\ t_{-}& =?\end{array}$$

Searah arus, kelajuannya dijumlahkan, dan perjalanannya memerlukan waktu

$$\begin{array}{rl}{t}_{+}& =\frac{s}{v_1+v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =2\mathrm{h}.\end{array}$$

Melawan arus, setiap jam air menarik kapal mundur sejauh 3 km, dan kelajuannya dikurangkan:

$$\begin{array}{rl}{t}_{-}& =\frac{s}{v_1-v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =3\mathrm{h}\end{array}$$

Kilometer dibagi kilometer per jam menghasilkan jam. Kapal tiba di dermaga dalam dua jam dan kembali dalam tiga jam.

Jika arus mencapai kelajuan kapal terhadap air, penyebut rumus kedua akan nol, sama seperti mobil yang hanya melaju 18 km/h di belakang pesepeda. Kapal yang melawan arus akan diam di tempat terhadap tepi sungai, dan nakhoda boleh menyalakan mesin seharian, tetapi dermaga asalnya tidak akan mendekat sedikit pun.

Sekarang soal jebakan. Berapa kelajuan rata-rata kapal untuk seluruh perjalanan pergi dan pulang? Siapa yang menjawab 15 km/h, karena arus sekali membantu dan sekali menghambat dengan besar yang sama, telah terjebak seperti pada soal pergi 60, pulang 40. Kapal menempuh 72 km dalam 5 h:

$$\overline{v}=\frac{72\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=14,4\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Melawan arus, kapal berlayar lebih lama, tiga jam alih-alih dua, sehingga rata-ratanya condong ke kelajuan yang lebih rendah. Di air yang tenang, 72 km yang sama akan ditempuh dalam 4,8 h, yaitu 4 h dan 48 min. Arus yang membantu dan menghambat dengan besar yang sama selalu memperpanjang perjalanan pergi-pulang.

Dalam semua soal di artikel ini, mobil, kereta, dan kapal bergerak dengan kelajuan tetap. Namun, mobil sungguhan harus lebih dulu mulai bergerak dan kemudian mengerem sebelum sampai di tujuan. Cara menjelaskan gerak yang kecepatannya berubah akan kita bahas dalam artikel berikutnya, Percepatan.