운동학 예제

물리는 읽기만 해서는 익힐 수 없고, 직접 계산해 봐야 한다. 다음은 이동 거리와 변위에서 시작해 가속도와 자유 낙하를 거쳐 구심 가속도까지 이어지는 운동 예제 13개이다. 마지막 두 예제에서는 여러 종류의 운동이 번갈아 나온다. 모든 예제를 같은 순서로 푼다. 조건 적기, 단위 환산, 문자로 풀기, 단위와 함께 대입하기, 어림, 문장으로 답하기이다. 예제마다 먼저 직접 풀어 보고, 풀이는 그다음에 읽자.

예제 1: 지우의 개 산책

지우가 개를 데리고 한 변이 120 m인 정사각형 공원을 돈다. 한 모퉁이에서 출발해 공원의 세 변을 걷는다. 지우가 걸은 이동 거리와 변위의 크기를 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}s& =?(\mathrm{m})\\ |\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

이동 거리는 운동 경로의 길이, 즉 공원의 세 변의 길이이다.

$$s=3\cdot 120\mathrm{m}=360\mathrm{m}$$

변위는 출발한 곳에서 도착한 곳으로 가는 화살표이다. 정사각형의 세 변을 걸은 뒤에는 출발한 모퉁이와 이웃한 모퉁이에 서 있으므로, 변위는 넷째 변을 따라간다.

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=120\mathrm{m}$$

지우는 360 m를 걸었지만 출발한 곳에서는 120 m만 떨어져 있다. 공원을 한 바퀴 다 돌았다면 480 m를 걸었고 변위는 0이었을 것이다.

예제 2: 언덕 오르막과 내리막

민준이 길이가 3 km인 도로를 따라 자전거로 12 km/h의 속력으로 언덕을 올라가고, 같은 길로 36 km/h의 속력으로 내려온다. 민준의 평균 속력을 구하시오.

풀이: 두 속력을 더해서 2로 나누고 싶어진다. 그러면 24 km/h가 나온다. 하지만 평균 속력은 전체 이동 거리를 전체 걸린 시간으로 나눈 것이고, 민준은 올라갈 때가 내려올 때보다 훨씬 오래 걸린다.

$$\begin{array}{rl}{s}_1=s_2& =3\mathrm{km}\\ v_1& =12\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =36\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ \overline{v}& =?(\mathrm{km}/\mathrm{h})\end{array}$$

모두 킬로미터와 시간으로 주어졌으므로 환산할 필요가 없다. 달린 시간은 $t_1=\frac{s_1}{v_1}$과 $t_2=\frac{s_2}{v_2}$이므로 다음과 같다.

$$\overline{v}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}.$$

값을 대입한다.

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{6\mathrm{km}}{\frac{3\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}+\frac{3\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}}\\ & =\frac{6\mathrm{km}}{0.25\mathrm{h}+\frac{1}{12}\mathrm{h}}=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

민준은 올라가는 데 15분, 내려오는 데 5분이 걸렸다. 전체 길을 20분 만에 달렸고, 3분의 1시간에 6 km를 가는 사람은 1시간에 18 km를 간다. 민준의 평균 속력은 24 km/h가 아니라 18 km/h이다.

예제 3: 산장에서 출발한 서윤

산장이 마을에서 길을 따라 4 km 떨어진 곳에 있다. 서윤은 산장에서 마을과 반대쪽으로 5 km/h의 일정한 속력으로 계속 걷는다. 1시간 12분 뒤에 서윤은 마을에서 얼마나 떨어져 있는지 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}{s}_0& =4\mathrm{km}\\ v& =5\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t& =1\mathrm{h}12\min =1.2\mathrm{h}\\ s& =?(\mathrm{km})\end{array}$$

환산에 주의하자. 12분은 0.12 h이 아니라 $\frac{12}{60}=0.2\mathrm{h}$이다. 서윤은 마을이 아니라 마을에서 4 km 떨어진 곳에서 출발하므로, 등속 직선 운동에서처럼 간 거리에 처음 위치 s₀을 더한다.

$$s=s_0+v\cdot t=4\mathrm{km}+5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1.2\mathrm{h}=10\mathrm{km}$$

킬로미터 매 시에 시간을 곱하면 킬로미터이므로 맞는다. 서윤은 1시간에 5 km를 걷고, 1.2 h 동안에는 그 5분의 1만큼 더 많은 6 km를 걸으며, 산장까지의 거리를 더하면 10 km이다. 서윤은 마을에서 10 km 떨어진 곳에 있다. 1.12 h을 대입한 사람은 9.6 km를 얻었을 것이다.

예제 4: 엄마를 따라잡는 도윤

엄마가 유모차를 밀며 4 km/h의 속력으로 집을 나선다. 15분 뒤에 도윤은 엄마가 열쇠를 두고 간 것을 알아차리고, 같은 길로 10 km/h의 속력으로 뛰어간다. 도윤이 얼마 뒤에, 집에서 얼마나 떨어진 곳에서 엄마를 따라잡는지 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =4\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =10\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ t_0& =15\min =0.25\mathrm{h}\\ t& =?(\mathrm{h})\end{array}$$

15분 뒤에 엄마는 s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0.25 h = 1 km 앞서 있다. 따라잡기에서는 두 사람 사이의 거리가 속력의 차만큼씩 줄어든다.

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{s_0}{v_2-v_1}=\frac{1\mathrm{km}}{10\mathrm{km}/\mathrm{h}-4\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{1}{6}\mathrm{h}=10\min \end{array}$$

그동안 도윤이 달리는 거리는 다음과 같다.

$$s=v_2\cdot t=10\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot \frac{1}{6}\mathrm{h}\fallingdotseq 1.67\mathrm{km}.$$

확인: 엄마는 15 + 10 = 25분, 즉 $\frac{25}{60}$시간 걷고, $4\cdot \frac{25}{60}\fallingdotseq 1.67\mathrm{km}$를 간다. 맞는다. 도윤은 뛰기 시작하고 10분 뒤에 집에서 약 1.7 km 떨어진 곳에서 엄마를 따라잡는다.

예제 5: 치타

치타는 정지 상태에서 2.5 s 만에 72 km/h까지 빨라진다. 평균 가속도를 구하시오. 또 그 속력에서 4 s 만에 멈출 때의 가속도를 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =2.5\mathrm{s}\\ a& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

가속도의 공식에 따라 다음과 같다.

$$a=\frac{v-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{20\mathrm{m}/\mathrm{s}-0\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2.5\mathrm{s}}=8{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

치타의 가속도는 8 m/s²으로, 1초마다 8 m/s씩 빨라진다. 시속 100 km까지 10초가 걸리는 가족용 자동차는 3 m/s²이 채 안 되므로, 출발할 때는 치타가 가볍게 이길 것이다.

멈출 때는 속력이 4 s 동안 20 m/s에서 0으로 줄어든다.

$$a=\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-20\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

달리는 방향을 양의 방향으로 잡았으므로 음의 가속도는 느려진다는 뜻이다. 멈출 때 치타의 가속도는 −5 m/s², 즉 크기가 5 m/s²인 감속이다.

예제 6: 비행기에 필요한 활주로의 길이

여객기가 이륙할 때 정지 상태에서 일정한 가속도 2 m/s²으로 달리기 시작해 속력이 252 km/h일 때 땅에서 떠오른다. 비행기에 필요한 활주로 구간의 길이와 달리는 시간을 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& =252\mathrm{km}/\mathrm{h}=70\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =?(\mathrm{m}),t=?(\mathrm{s})\end{array}$$

시간을 모르므로 시간이 없는 공식 $v^2=v_0^2+2as$가 알맞다. 정지 상태에서 출발하므로 이 식에서 이동 거리를 나타낸다.

$$s=\frac{v^2}{2a}=\frac{(70\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{\mathrm{4,900}{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\mathrm{1,225}\mathrm{m}$$

달리는 시간은 v = a · t로 구한다.

$$t=\frac{v}{a}=\frac{70\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=35\mathrm{s}$$

평균 속력으로 확인하자. 정지 상태에서 출발하면 평균 속력은 나중 속력의 절반인 35 m/s이고, 35 s 동안이면 35 m/s · 35 s = 1,225 m이다. 비행기는 35 s 동안 달리고 1.2 km가 넘는 활주로가 필요하다. 그래서 큰 공항의 활주로는 이륙을 멈추는 경우까지 대비해 길이가 몇 km나 된다.

예제 7: 젖은 도로의 고라니

운전자가 젖은 도로를 60 km/h로 달리다가 40 m 앞에서 고라니를 본다. 반응에 1 s가 걸리고, 젖은 아스팔트에서 자동차는 크기가 5 m/s²인 감속으로 브레이크를 밟는다. 자동차가 제때 멈출 수 있는지 조사하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}v& =60\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{60}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t_r& =1\mathrm{s}\\ |a|& =5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

중간 결과를 반올림하지 않도록 속력은 분수로 둔다. 정지 거리는 공주 거리 더하기 제동 거리이다.

$$s=s_r+s_b=v\cdot t_r+\frac{v^2}{2\cdot |a|}$$

각 부분을 따로 대입한다.

$$\begin{array}{rl}{s}_r& =\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 1\mathrm{s}\fallingdotseq 16.7\mathrm{m}\\ s_b& =\frac{{\left(\frac{50}{3}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=\frac{250}{9}\mathrm{m}\fallingdotseq 27.8\mathrm{m}\end{array}$$

모두 $\frac{400}{9}\mathrm{m}\fallingdotseq 44.4\mathrm{m}$이다. 자동차는 제때 멈추지 못하고, 고라니가 서 있는 곳보다 약 4 m 더 가서야 멈출 것이다. 마른 도로에서 감속이 7 m/s²이라면 36.5 m로 충분했을 것이므로, 젖은 도로에서는 더 천천히 달리는 것이 좋다.

예제 8: 다리에서 떨어뜨린 돌

다리에서 돌을 놓았더니 1.5 s 뒤에 강에 떨어졌다. 다리가 수면에서 얼마나 높은지, 그리고 돌이 어떤 속력으로 수면에 닿는지 구하시오. 공기 저항은 무시한다. 또 높이가 2배인 다리에서는 얼마 동안 떨어지는지 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}t& =1.5\mathrm{s}\\ g& =9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m}),v=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

자유 낙하이므로 아래쪽을 양의 방향으로 잡는다.

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2=\frac{1}{2}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1.5\mathrm{s}{)}^2\fallingdotseq 11\mathrm{m}$$

$$v=g\cdot t=9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1.5\mathrm{s}\fallingdotseq 14.7\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

약 53 km/h이다. $g\fallingdotseq 10{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$으로 어림하면 $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 2.25\fallingdotseq 11\mathrm{m}$이므로 맞는다. 다리는 수면에서 약 11 m 높이에 있고, 돌은 약 15 m/s의 속력으로 수면에 닿는다.

높이가 2배라고 시간이 2배인 것은 아니다. $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$에서 알 수 있듯이 높이가 2배이면 떨어지는 시간은 $\sqrt{2}$배만 늘어난다.

$$t^{\prime }=\sqrt{2}\cdot 1.5\mathrm{s}\fallingdotseq 2.1\mathrm{s}$$

예제 9: 옆바람 속의 드론

드론이 공기에 대하여 12 m/s의 속력으로 날며 앞쪽은 북쪽을 향한다. 동풍이 불어서 공기가 서쪽으로 5 m/s의 속력으로 움직인다. 땅에 대한 드론의 속력과 드론이 북쪽에서 기울어지는 각을 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =12\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s}),\alpha =?\end{array}$$

드론은 두 가지로 움직인다. 공기에 대하여 날고, 공기가 드론을 실어 간다. 합성 속도는 두 속도의 벡터 합이고, 두 속도가 서로 수직이므로 피타고라스 정리를 쓴다.

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(12\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(5\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =13\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

북쪽에서 기울어진 각은 속도의 직각삼각형에서 구한다. 바람의 속력이 각의 맞은편 변이고, 합성 속도가 빗변이다.

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v}=\frac{5}{13}\fallingdotseq 0.385,\alpha \fallingdotseq 22.6°$$

그냥 더하면 17 m/s이지만, 두 속도는 방향이 다르다. 결과는 12 m/s보다 크고 17 m/s보다 작아야 하는데, 13 m/s는 그렇다. 드론은 땅에 대하여 13 m/s의 속력으로 날고, 바람이 드론을 북쪽에서 서쪽으로 약 23° 돌려놓는다. 1분이면 옆으로 300 m 밀려난다.

예제 10: 대관람차

놀이공원의 대관람차는 반지름이 20 m이고 한 바퀴 도는 데 4 min이 걸린다. 진동수, 각속도, 그리고 가장자리에 있는 곤돌라의 속력을 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}r& =20\mathrm{m}\\ T& =4\min =240\mathrm{s}\\ f& =?(\mathrm{Hz}),\omega =?(\mathrm{rad}/\mathrm{s}),v=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

진동수는 주기의 역수이다.

$$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{240\mathrm{s}}\fallingdotseq 0.0042\mathrm{Hz}$$

각속도는 한 주기 동안 도는 한 바퀴의 각 2π로 나타낸다.

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{240\mathrm{s}}\fallingdotseq 0.026\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

곤돌라의 속력은 다음과 같다.

$$v=\omega \cdot r=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 20\mathrm{m}}{240\mathrm{s}}\fallingdotseq 0.52\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

곤돌라는 한 바퀴 동안 관람차의 둘레, 약 126 m를 4분 동안 간다. 약 1.9 km/h로 느릿느릿한 산책이다. 그래서 큰 관람차처럼 움직이는 중에도 곤돌라에 탈 수 있을 것이다.

예제 11: 조종사 훈련용 원심 분리기

조종사 훈련용 원심 분리기는 길이 8 m인 팔 끝에 탑승 칸이 달려 있다. 탑승 칸의 구심 가속도가 6g, 즉 중력 가속도의 6배가 되려면 1분에 몇 바퀴 돌아야 하는지 구하시오.

풀이:

$$\begin{array}{rl}r& =8\mathrm{m}\\ a_c& =6\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=58.86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ f& =?(\mathrm{Hz})\end{array}$$

구심 가속도의 공식 a_c = ω² · r에서 먼저 각속도를, 그다음 진동수를 나타낸다.

$$\begin{array}{rcl}{\omega }^2\cdot r& =& a_c/:r\\ \omega & =& \sqrt{\frac{a_c}{r}}\\ f& =& \frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{a_c}{r}}\end{array}$$

단위: $\sqrt{\frac{{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}}=\frac{1}{\mathrm{s}}$이므로 맞는다. 값을 대입한다.

$$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{58.86{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{8\mathrm{m}}}\fallingdotseq 0.43\mathrm{Hz}$$

1분이면 $0.432\cdot 60\fallingdotseq 26$바퀴이다. 한 바퀴에 약 2.3 s가 걸리고, 탑승 칸은 $v=\omega \cdot r\fallingdotseq 21.7\mathrm{m}/\mathrm{s}$, 즉 거의 80 km/h로 질주한다. 원심 분리기는 1분에 약 26바퀴 돌아야 한다.

예제 12: 역과 역 사이의 지하철

지하철 열차가 역에서 가속도 1.2 m/s²으로 15 s 동안 출발하고, 그다음 일정한 속력으로 30 s 동안 달리며, 마지막으로 크기가 1.5 m/s²인 감속으로 브레이크를 밟아 다음 역에 멈춘다. 두 역 사이의 거리와 열차의 평균 속력을 구하시오.

풀이: 운행을 세 구간으로 나누고, 구간마다 한 가지 운동의 공식을 쓴다.

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =1.2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,t_1=15\mathrm{s}\\ t_2& =30\mathrm{s}\\ |a_3|& =1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ s& =?(\mathrm{m}),\overline{v}=?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

출발은 정지 상태에서 시작한다. 출발 구간이 끝날 때 열차의 속력은 다음과 같고,

$$v=a_1\cdot t_1=1.2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 15\mathrm{s}=18\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

간 거리는 다음과 같다.

$$s_1=\frac{1}{2}{a}_1{t}_1^2=\frac{1}{2}\cdot 1.2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (15\mathrm{s}{)}^2=135\mathrm{m}.$$

운행은 일정한 속력 18 m/s, 즉 약 65 km/h로 한다.

$$s_2=v\cdot t_2=18\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=540\mathrm{m}$$

제동은 18 m/s에서 멈출 때까지이다.

$$\begin{array}{rl}{t}_3& =\frac{v}{|a_3|}=\frac{18\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=12\mathrm{s}\\ s_3& =\frac{v^2}{2\cdot |a_3|}=\frac{(18\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=108\mathrm{m}\end{array}$$

모두 합하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}s& =135\mathrm{m}+540\mathrm{m}+108\mathrm{m}=783\mathrm{m}\\ t& =15\mathrm{s}+30\mathrm{s}+12\mathrm{s}=57\mathrm{s}\\ \overline{v}& =\frac{s}{t}=\frac{783\mathrm{m}}{57\mathrm{s}}\fallingdotseq 13.7\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

두 역 사이의 거리는 약 780 m이고, 열차는 1분이 채 안 되는 시간에 평균 속력 약 49 km/h로 이 거리를 간다. 최고 속력 65 km/h로는 시간의 약 절반만 달리므로 평균은 눈에 띄게 낮다. 1 km 안팎의 역간 거리는 도시 지하철에서 흔하다.

예제 13: 그래프 읽기

그래프는 하준의 전동 킥보드의 속력을 12초 동안 나타낸 것이다. 각 구간에서 킥보드의 가속도, 전체 시간 동안 간 이동 거리, 그리고 평균 속력을 구하시오.

풀이: 운동의 종류가 바뀌는 점에서 그래프의 속력을 읽는다. 처음에는 4 m/s, 시간 4 s에서 8 m/s, 시간 10 s에서도 8 m/s, 시간 12 s에서 0이다. 가속도는 속도의 변화량을 시간으로 나눈 것이다.

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =\frac{8\mathrm{m}/\mathrm{s}-4\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{s}}=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_2& =0{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_3& =\frac{0\mathrm{m}/\mathrm{s}-8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{s}}=-4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

가속도는 계산하지 않아도 그래프에서 보인다. 구간이 가파를수록 가속도의 크기가 크다. 올라가는 구간은 양의 가속도, 수평인 구간은 0, 내려가는 구간은 음의 가속도이다. 셋째 구간에서 킥보드의 가속도는 −4 m/s², 즉 크기가 4 m/s²인 감속이다.

이동 거리는 속도-시간 그래프 아래의 넓이이다. 첫째 구간은 사다리꼴, 둘째는 직사각형, 셋째는 삼각형이다.

$$\begin{array}{rl}{s}_1& =\frac{4\mathrm{m}/\mathrm{s}+8\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2}\cdot 4\mathrm{s}=24\mathrm{m}\\ s_2& =8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 6\mathrm{s}=48\mathrm{m}\\ s_3& =\frac{1}{2}\cdot 8\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{s}=8\mathrm{m}\end{array}$$

모두 12 s 동안 s = 80 m이고, 평균 속력은 다음과 같다.

$$\overline{v}=\frac{s}{t}=\frac{80\mathrm{m}}{12\mathrm{s}}\fallingdotseq 6.7\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

확인: 평균 속력은 0과 최고 속력 8 m/s 사이에 있어야 하고, 킥보드가 대부분의 시간을 8 m/s로 달렸으므로 그쪽에 더 가깝다. 킥보드의 가속도는 차례로 1 m/s², 0, −4 m/s²이고, 80 m를 갔으며, 평균 속력은 약 6.7 m/s, 즉 24 km/h이다.

같은 순서로 힘이 나오는 문제도 풀 수 있다. 그런 문제는 동역학 예제에 있다.