Gaya sentripetal

Andi memutar sebuah batu yang diikat tali di atas kepalanya. Batu itu berputar, talinya tegang, dan Andi merasakan di tangannya bagaimana batu itu menarik tali. Namun, begitu tali dilepaskan, batu terlempar menjauh. Berbelok memang tidak gratis: siapa yang ingin benda bergerak melingkar harus memaksanya dengan gaya yang mengarah ke pusat. Gaya itu disebut gaya sentripetal.

Jika kamu hanya mencari rumusnya: pada benda bermassa m yang bergerak dengan kelajuan v pada lingkaran berjari-jari r harus bekerja gaya sentripetal

$$F_s=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

dengan ω adalah kecepatan sudut.

Gaya yang membelokkan kecepatan

Pada gerak melingkar beraturan, besar kecepatan tetap sama, tetapi anak panah kecepatan terus berputar. Karena itu, benda memiliki percepatan sentripetal, yang mengarah ke pusat lingkaran dan besarnya

$$a_s=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Menurut hukum II Newton, setiap percepatan berasal dari resultan gaya, F = m · a, dan resultan gaya mengarah ke arah percepatan. Jadi, pada benda yang bergerak melingkar harus bekerja resultan gaya ke arah pusat. Percepatannya kita ganti dengan percepatan sentripetal:

$$F_s=m\cdot a_s=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Jika kita substitusikan bentuk kedua percepatan, diperoleh F_s = m · ω² · r. Kita tidak menemukan sesuatu yang baru, ini hanyalah hukum gaya biasa yang diterapkan pada gerak berbelok. Satuannya cocok:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Menurut rumus ini, berbelok makin berat jika massa benda makin besar, kelajuannya makin tinggi, dan tikungannya makin tajam. Kelajuan dikuadratkan, sehingga pada kelajuan dua kali lipat diperlukan gaya empat kali lebih besar.

Gaya sentripetal bukan gaya baru

Di sini orang sering keliru. Gaya sentripetal bukan jenis gaya tambahan yang berdiri di samping gaya berat, gaya gesek, atau gaya tegangan tali. Gaya sentripetal adalah peran yang dalam situasi tertentu dimainkan oleh suatu gaya nyata yang sama sekali biasa, atau oleh resultan beberapa gaya:

• batu pada lingkaran ditahan oleh gaya tegangan tali,
• mobil di tikungan dibelokkan oleh gesekan antara ban dan jalan,
• Bulan beredar mengelilingi Bumi berkat gravitasi yang digunakan Bumi untuk menariknya.

Saat menggambar gaya-gaya yang bekerja pada benda, gambarlah hanya gaya-gaya nyata. Anak panah bertuliskan “gaya sentripetal” yang ditambahkan di samping tali adalah kesalahan, karena gaya tali akan tergambar dua kali. Rumus $F_s=\frac{m\cdot v^2}{r}$ tidak menyatakan dari mana gaya itu berasal. Rumus itu hanya menyatakan seberapa besar resultan gaya yang mengarah ke pusat harus ada agar benda benar-benar bergerak melingkar. Kadang-kadang cukup satu gaya, di lain waktu beberapa gaya ikut berperan sekaligus, seperti yang akan kita lihat pada tikungan miring.

Batu yang diikat tali

Batu Andi bermassa 0,2 kg, talinya sepanjang 1 m, dan dalam satu sekon batu berputar dua kali, sehingga periodenya 0,5 s. Seberapa kuat tali harus menarik batu?

Kecepatan sudut adalah satu putaran, 2π radian, per periode:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Kita substitusikan ke bentuk kedua rumus. Radian adalah bilangan biasa, sehingga hasilnya dalam newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_s& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Tali menarik batu dengan gaya sekitar 32 N, seolah-olah tergantung tas tiga kilogram padanya. Jika Andi memutar batu dua kali lebih cepat, tali harus menahan empat kali lebih besar, sekitar 126 N. Gaya berat batu hanya sekitar 2 N, sehingga kita abaikan. Menurut hukum III Newton, batu menarik tali kembali dengan gaya yang sama besar, dan tali meneruskannya sampai ke tangan Andi. Tarikan inilah yang dirasakan Andi.

Ketika tali putus

Apa yang terjadi begitu tali putus? Jawabannya ditunjukkan oleh animasi. Selama tali menahan, tali menarik batu dengan gaya hijau ke pusat, dan anak panah merah kecepatan terus berputar. Pada saat tali putus, gaya itu hilang. Dalam arah mendatar tidak ada lagi yang bekerja pada batu, sehingga menurut hukum kelembaman batu bergerak lurus, sama cepat, dan ke arah kecepatannya pada saat tali putus. Arah itu adalah menurut garis singgung lingkaran.

Jadi, batu tidak terlempar “keluar” mengikuti garis lurus dari pusat, seperti yang mungkin terlihat. Tidak ada yang menariknya keluar, batu hanya berhenti berbelok. Hal ini dimanfaatkan pada ketapel tali: batu dilepaskan tepat pada saat kecepatannya mengarah ke sasaran. Batu Andi terlempar dengan kelajuan ω · r ≈ 12,6 m/s, yaitu sekitar 45 km/h, sehingga jendela tetangga dalam bahaya.

Mobil di tikungan

Sebuah mobil bermassa 1.200 kg melewati tikungan berjari-jari 50 m dengan kelajuan 54 km/h. Kelajuannya kita konversi, 54 km/h = 15 m/s, lalu kita substitusikan:

$$F_s=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

Dari mana datangnya 5.400 N itu? Di jalan tidak ada tali. Yang memaksa mobil berbelok hanyalah gesekan antara ban dan aspal, yang mengarah ke pusat tikungan.

Ban tidak tergelincir ke samping di jalan. Bagian ban yang menyentuh aspal pada saat itu tidak bergerak terhadap jalan, sehingga gesekannya adalah gesekan statis. Gesekan ini tepat sebesar yang diperlukan, di sini 5.400 N, tetapi hanya sampai nilai maksimumnya.

Apakah sembarang jalan cukup untuk itu? Kita akan menghitung dengan koefisien gesek kinetis. Gesekan statis ban biasanya sedikit lebih besar, jadi hasilnya merupakan perkiraan yang hati-hati. Untuk karet di aspal kering, koefisiennya sekitar 0,7, di aspal basah 0,5, di salju 0,3, dan di es 0,1. Gaya berat mobil 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N, dan di jalan mendatar gaya normalnya sama besar. Gesekan harus memberikan 5.400 N, sehingga koefisien geseknya harus setidaknya $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Aspal kering dapat memenuhinya dengan mudah, di aspal basah hasilnya pas-pasan. Di salju, gesekan paling besar hanya memberikan 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N, dan mobil tidak akan berhasil melewati tikungan.

Seberapa cepat tikungan dapat dilalui

Di jalan mendatar, gaya normal mengimbangi gaya berat, N = m · g, dan gaya gesek terbesar adalah μ_k · m · g. Mobil dapat melewati tikungan selama gesekannya cukup:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le {\mu }_k\cdot m\cdot g$$

Kelajuan maksimum adalah kelajuan saat kedua ruas sama. Massanya saling menghilangkan, kedua ruas kita kalikan dengan jari-jari, lalu kita tarik akarnya:

$$v_{max}=\sqrt{{\mu }_k\cdot g\cdot r}$$

Di aspal kering, μ_k = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Jadi, di jalan kering mobil dapat melewati tikungan itu paling cepat sekitar 67 km/h, sehingga 54 km/h dalam contoh kita masih aman dengan cadangan. Di atas es, μ_k = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Di jalan yang tertutup es, tikungan yang sama hanya dapat dimasuki sedikit lebih cepat daripada pesepeda. Karena massanya saling menghilangkan, hal ini berlaku sama untuk mobil kecil maupun truk bermuatan dengan ban yang sama. Mobil dengan massa lebih besar memang memerlukan gaya yang lebih besar, tetapi juga menekan jalan lebih kuat, sehingga gesekannya juga lebih besar.

Bagaimana jika mobil memasuki tikungan lebih cepat? Gesekan mencapai maksimumnya dan tidak dapat memberikan lebih. Gaya ke arah pusat lebih kecil daripada yang diperlukan untuk lingkaran berjari-jari 50 m, sehingga mobil berbelok lebih sedikit. Mobil melaju pada busur yang lebih landai, dalam kasus ekstrem hampir lurus menurut garis singgung, dan tikungan seakan menghindar dari bawah rodanya. Bagi pengamat di pinggir jalan, mobil itu tampak “terlempar keluar”. Sebenarnya tidak ada yang mendorongnya keluar, gesekan hanya tidak mampu membelokkannya cukup jauh.

Rumus ini juga dapat dipakai terbalik. Seberapa lebar tikungan yang diperlukan jalan tol agar dapat dilewati dengan kelajuan 130 km/h, yaitu sekitar 36,1 m/s? Persamaan v² = μ_k · g · r kita bagi dengan hasil kali μ_k · g:

$$r=\frac{v^2}{{\mu }_k\cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Di jalan basah dengan koefisien 0,5, diperlukan sekitar 266 m, dan itu pun masih tanpa cadangan sama sekali. Karena itu, tikungan jalan tol biasanya memiliki jari-jari ratusan meter dan selain itu dibuat miring.

Tikungan miring

Di jalur masuk jalan tol, di velodrom, maupun di lintasan bobsled, tikungan dibuat miring: tepi luarnya lebih tinggi daripada tepi dalamnya. Gaya normal tegak lurus terhadap jalan, sehingga tidak lagi mengarah tegak lurus ke atas, tetapi miring ke arah pusat tikungan.

Gaya berat dan gaya normal kemudian tidak saling meniadakan, dan sebagian tugas yang di jalan datar dilakukan oleh gesekan diambil alih oleh gaya normal. Pada kelajuan yang tepat, resultan keduanya mengarah tepat mendatar ke pusat dan menyediakan seluruh gaya sentripetal, sehingga mobil dapat melewati tikungan bahkan tanpa gesekan, misalnya di atas es. Pada gambar, kedua gaya digambar dari satu titik bersama agar jumlahnya dapat dibentuk dengan jajargenjang. Makin curam kemiringan tikungan, makin cepat tikungan itu dapat dilalui. Karena itulah pesepeda di velodrom melaju di tikungan yang miring seperti atap rumah.

Apa yang menahan Bulan

Bulan beredar mengelilingi Bumi pada jarak sekitar 3,84 · 10⁸ m, dan satu kali beredar memerlukan waktu 27,3 hari, yaitu sekitar 2,36 · 10⁶ s. Kelajuannya

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Massa Bulan sekitar 7,35 · 10²² kg. Gaya sentripetal yang harus diberikan Bumi untuk menahannya adalah

$$\begin{array}{rl}{F}_s& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Tidak ada tali yang akan sanggup menahan gaya sebesar itu. Namun, Bulan tidak memerlukan tali, perannya diambil alih oleh gravitasi. Jika Bumi berhenti menarik Bulan, Bulan akan terlempar menurut garis singgung, sama seperti batu Andi.

Kalkulator kelajuan maksimum di tikungan

Masukkan jari-jari tikungan dan pilih permukaan jalan. Kalkulator akan menghitung kelajuan maksimum $v_{max}=\sqrt{{\mu }_k\cdot g\cdot r}$ di jalan mendatar.

Sejauh ini semuanya kita jelaskan dari jalan, dan dari sana terlihat bahwa mobil maupun batu hanya dipaksa berbelok oleh gaya ke arah pusat. Namun, penumpang di dalam mobil mengalaminya secara berbeda: tubuhnya terdorong ke pintu, dan dari sudut pandangnya seolah-olah ada sesuatu yang menekannya ke sana. Bagaimana gerak dapat dijelaskan dari sudut pandang seseorang yang ikut naik mobil ditunjukkan oleh gaya inersia.

Bagaimana penumpang di dalam mobil mengalami tikungan dan mengapa ia merasa ada sesuatu yang mendorongnya keluar dijelaskan dalam artikel berikutnya, Gaya inersia.