Gerak lurus berubah beraturan

Sebuah kereta LRT berhenti di stasiun, pintunya menutup, dan kereta mulai bergerak dengan percepatan 1 m/s². Setiap sekon, kereta itu menjadi 1 m/s lebih cepat: setelah sekon pertama 1 m/s, setelah sekon kedua 2 m/s, setelah sekon kesepuluh 10 m/s. Gerak pada garis lurus dengan percepatan tetap disebut gerak lurus berubah beraturan (GLBB), dan karena kecepatannya bertambah, gerak ini disebut juga GLBB dipercepat. Disebut beraturan karena kecepatannya bertambah secara merata, setiap sekon sama besar. Tidak ada kereta atau mobil yang memiliki percepatan yang benar-benar tetap, tetapi mobil yang mulai melaju saat lampu hijau atau batu yang dilepaskan dari tangan sangat mendekatinya.

Kecepatan pada setiap saat

Berapa kecepatan kereta setelah tujuh sekon? Kamu mungkin menjawab 7 m/s, dan jawabanmu benar. Rumus umumnya kita turunkan dari rumus percepatan $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Stopwatch kita nyalakan saat mulai mengamati gerak, sehingga waktu Δt adalah waktu t pada stopwatch. Perubahan kecepatannya v − v₀, dengan v₀ adalah kecepatan awal, yaitu kecepatan benda ketika stopwatch dinyalakan. Kedua ruas kita kalikan dengan waktu, lalu kita tambahkan kecepatan awal:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Jadi, kecepatan pada waktu t adalah

$$v=v_0+a\cdot t$$

Setiap sekon, pada kecepatan semula bertambah a, sehingga dalam t sekon bertambah a · t. Kereta berangkat dari keadaan diam, v₀ = 0 m/s, dan setelah sepuluh sekon kelajuannya

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Meter per sekon kuadrat dikalikan sekon menghasilkan meter per sekon, satuannya cocok. Ke kilometer per jam kita konversi dengan mengalikan 3,6.

Grafik kecepatan berupa garis lurus

Rumus v = v₀ + a · t terlihat sama dengan s = s₀ + v · t, rumus jarak pada kelajuan tetap. Rumus itu adalah fungsi linear y = a · x + b, hanya saja sebagai pengganti x ada waktu, sebagai pengganti y ada kecepatan, gradiennya adalah percepatan, dan b adalah kecepatan awal. Karena itu, grafik kecepatan berupa garis lurus.

Garis merah milik kereta, berpangkal di titik asal, dan naik 1 m/s setiap sekon. Garis biru milik mobil yang berjalan pelan di belakang traktor dengan kelajuan 10 m/s, yaitu 36 km/h. Pengemudi kehilangan kesabaran, menambah gas, dan ingin mendahului traktor. Sekarang mobil itu memiliki percepatan 2 m/s². Grafiknya berpangkal pada sumbu tegak di ketinggian v₀ = 10 m/s dan naik dua kali lebih curam daripada grafik kereta. Kemiringan grafik kecepatan sama dengan percepatan, sama seperti kemiringan grafik jarak sama dengan kelajuan.

Jarak adalah luas di bawah grafik

Berapa meter yang ditempuh mobil saat mendahului? Pada kelajuan tetap, jarak tersembunyi dalam luas di bawah grafik kelajuan. Di sana grafiknya mendatar dan daerah di bawahnya berupa persegi panjang. Apakah hal ini masuk akal juga untuk grafik yang naik? Waktunya kita iris menjadi pita-pita tipis, misalnya masing-masing seperseratus sekon. Dalam seperseratus sekon, kecepatan mobil hanya berubah 0,02 m/s, sehingga di setiap pita mobil melaju dengan kecepatan yang hampir tetap dan menempuh jarak sebesar luas pita itu, tinggi kali lebar. Makin tipis pitanya, makin tepat hal ini. Jika jarak dari semua pita dijumlahkan, diperoleh seluruh luas di bawah grafik.

Di bawah grafik kecepatan terdapat trapesium. Garis putus-putus mendatar membaginya menjadi persegi panjang biru dan segitiga merah. Persegi panjang biru memiliki lebar t dan tinggi v₀. Luasnya, v₀ · t, sama dengan jarak yang akan ditempuh mobil jika sama sekali tidak dipercepat.

Segitiga merah adalah hadiah karena bertambah cepat, yaitu jarak tambahan dibandingkan bergerak dengan kecepatan semula. Segitiga itu siku-siku, salah satu sisi siku-sikunya adalah waktu t, dan sisi lainnya pertambahan kecepatan Δv = a · t. Segitiga seperti ini adalah setengah persegi panjang dengan sisi-sisi yang sama, sehingga luasnya

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Persegi panjang dan segitiga bersama-sama menghasilkan jarak pada gerak lurus berubah beraturan:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Jika benda mulai bergerak dari keadaan diam, persegi panjangnya hilang dan tinggal segitiganya, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Dalam sepuluh sekon, kereta menempuh

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Sekon kuadrat saling menghilangkan dan tersisa meter.

Cara yang lebih sederhana terasa menggoda, yaitu s = v · t dengan kecepatan akhir: 10 m/s · 10 s = 100 m. Hasil ini dua kali terlalu besar, karena kereta baru melaju 10 m/s di saat paling akhir. Pada grafik, yang kita ukur bukan segitiga, melainkan seluruh persegi panjang, yang luasnya dua kali lipat.

Mendahului traktor

Sekarang seluruh proses mendahului kita bahas langkah demi langkah. Mobil bertambah cepat selama lima sekon. Berapa kelajuannya kemudian, dan berapa meter yang ditempuhnya selama itu? Mula-mula yang diketahui:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Satuannya sudah satuan pokok, dan rumus umumnya sudah kita punya. Bilangan-bilangan kita masukkan dulu ke rumus kecepatan:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Lalu ke rumus jarak:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Jadi, persegi panjang biru pada gambar memiliki luas 50 m dan segitiga merah 25 m. Apakah hasilnya masuk akal? Jika mobil melaju sepanjang waktu dengan kelajuan semula 10 m/s, ia akan menempuh 50 m, dan jika sepanjang waktu dengan kelajuan akhir 20 m/s, ia akan menempuh 100 m. Hasilnya terletak di antara kedua nilai itu. Dalam lima sekon, mobil mencapai 72 km/h dan menempuh 75 m.

Sementara itu, traktor tetap melaju dengan kelajuan 10 m/s dan menempuh 50 m, sama dengan luas persegi panjang biru. Jadi, dalam lima sekon mobil unggul 25 m dari traktor, tepat sebesar luas segitiga merah. Jika traktor menarik gandengan yang panjang, pengemudi harus menambah gas lebih lama.

Kelajuan rata-rata tepat di tengah

Luas trapesium juga dapat dihitung sekaligus: rata-rata kedua sisi sejajar dikali tinggi. Di sini kedua sisi sejajarnya adalah v₀ dan v, dan tingginya waktu:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Namun, jarak juga dapat ditulis sebagai kelajuan rata-rata dikali waktu, $s=\overline{v}\cdot t$. Karena itu, pada gerak lurus berubah beraturan berlaku

$$\overline{v}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Kelajuan rata-rata terletak tepat di tengah antara kelajuan awal dan kelajuan akhir. Untuk mobil tadi, nilainya 15 m/s, dan 15 m/s · 5 s kembali menghasilkan 75 m. Hal ini hanya berlaku karena grafik kecepatannya berupa garis lurus. Dalam kasus lain, kelajuan rata-rata tidak harus terletak di tengah, misalnya pada perjalanan pergi 60, pulang 40.

Jarak antartanda 1 : 3 : 5 : 7

Jika mobil yang mulai bergerak meninggalkan tanda setiap sekon, jarak antartandanya bertambah dengan perbandingan 1:3:5:7:9. Pada grafik kecepatan, hal ini langsung terlihat.

Daerah di bawah grafik kereta kita iris menjadi pita-pita satu sekon, berwarna merah dan biru berselang-seling. Luas setiap pita adalah jarak yang ditempuh kereta selama sekon itu. Garis-garis putih membagi daerah itu menjadi segitiga-segitiga kecil yang sama, masing-masing setengah persegi kecil 1 s kali 1 m/s. Di pita pertama terdapat satu segitiga kecil, di pita kedua tiga, di pita ketiga lima, dan di pita keempat tujuh. Setiap pita berikutnya satu persegi kecil lebih tinggi, sehingga di dalamnya bertambah dua segitiga kecil. Jarak yang ditempuh setiap sekon, dan bersama itu jarak antartanda, berbanding 1:3:5:7.

Jika pita-pita itu dijumlahkan, diperoleh jarak dari garis start: setelah satu sekon satu segitiga kecil, setelah dua sekon 1 + 3 = 4, setelah tiga sekon 1 + 3 + 5 = 9, setelah empat sekon 16. Hasilnya selalu kuadrat banyaknya sekon, tepat sesuai rumus $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Percepatan yang lain akan membuat grafik lebih curam atau lebih landai, tetapi banyaknya segitiga kecil tetap sama.

Grafik jarak berupa parabola

Kita tuliskan jarak yang ditempuh kereta, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, setiap satu sekon penuh. Dalam satu sekon kereta menempuh 0,5 m, dalam dua sekon 2 m, dalam tiga sekon 4,5 m, dalam empat sekon 8 m, dan dalam sepuluh sekon 50 m. Waktu dua kali lebih lama menghasilkan jarak empat kali lebih jauh, waktu tiga kali lebih lama menghasilkan jarak sembilan kali lebih jauh, karena waktu dalam rumus dikuadratkan.

Titik-titiknya tidak lagi terletak pada garis lurus, tetapi pada garis lengkung yang disebut parabola. Mengapa melengkung ke atas? Kemiringan grafik jarak adalah kelajuan, dan kelajuan kereta terus bertambah. Pada awalnya kereta diam dan grafiknya mendatar, kemudian makin lama makin curam. Garis putus-putus abu-abu adalah grafik gerak dengan kelajuan rata-rata tetap 5 m/s, yang setelah sepuluh sekon berakhir di titik yang sama. Mula-mula kereta tertinggal, menjelang akhir kereta mengejar ketertinggalannya.

Ahli matematika akan mengatakan bahwa jarak adalah fungsi kuadrat dari waktu, karena di dalamnya terdapat waktu kuadrat. Grafik setiap fungsi kuadrat adalah parabola, termasuk untuk mobil yang tidak mulai dari keadaan diam. Namun, grafiknya, $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$, tidak dimulai secara mendatar. Mobil itu sudah melaju 10 m/s sejak awal, sehingga grafiknya berpangkal di titik asal langsung dengan kemiringan 10 m/s, lalu naik makin curam. Penjelasan lebih lanjut tentang parabola ada pada fungsi kuadrat.

Kecepatan tanpa waktu

Kereta LRT mencapai 50 km/h dalam sekitar empat belas sekon. Berapa meter yang ditempuhnya selama itu? Kita bisa menghitungnya melalui waktu, tetapi ada juga cara tanpa waktu: ada rumus yang sama sekali tidak memuat waktu. Dari rumus v = v₀ + a · t kita isolasi waktunya, $t=\frac{v-v_0}{a}$, lalu kita masukkan ke rumus dengan kelajuan rata-rata:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Di pembilang, tanda kurungnya kita jabarkan, dan suku-suku tengahnya saling menghilangkan:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Jadi, $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Kedua ruas kita kalikan dengan 2 · a dan kita tambahkan $v_0^2$:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Kita periksa pada mobil tadi: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², dan itu memang sama dengan (20 m/s)².

Kereta berangkat dari keadaan diam, sehingga v² = 2 · a · s dan jaraknya $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Kelajuannya tidak kita bulatkan, tetapi kita masukkan ke rumus sebagai pecahan:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Untuk mencapai 50 km/jam, kereta itu memerlukan hampir seratus meter rel.

Rumus yang sama juga berlaku untuk pengereman, hanya dengan percepatan negatif jika arah positif searah gerak. Gerak seperti ini disebut GLBB diperlambat. Jika mobil mengerem sampai berhenti, kecepatan akhirnya nol, dan hubungan $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ menyatakan berapa meter yang diperlukannya untuk berhenti. Itulah jarak pengereman, yang bertambah dengan kelajuan jauh lebih cepat daripada yang diinginkan para pengemudi.

Dalam artikel berikutnya, Pengereman dan jarak pengereman, kita akan menghitung berapa meter yang sebenarnya diperlukan mobil jika jarak pengereman ditambah dengan saat-saat sebelum pengemudi menginjak rem. Kita juga akan melihat mengapa mobil dengan kelajuan dua kali lipat memerlukan jarak pengereman empat kali lebih panjang.