Perpaduan gerak

Ketika kamu berjalan di eskalator yang sedang bergerak, kamu melakukan dua gerak sekaligus: kakimu membawamu menaiki anak tangga, sementara anak tangga itu sendiri membawamu ke atas. Perahu di sungai bergerak terhadap air, sementara air terus menghanyutkannya. Gerak hasilnya diperoleh dengan memadukan gerak-gerak itu, artinya menjumlahkan kecepatannya sebagai vektor, sebagai anak panah.

Berjalan di eskalator

Eskalator di stasiun MRT naik dengan kelajuan v₂ = 0,5 m/s, dan kamu berjalan di atasnya dengan kelajuan v₁ = 1 m/s. Kelajuan ini diukur terhadap anak tangga, sama dengan kelajuanmu menaiki tangga biasa. Terhadap stasiun, kamu bergerak lebih cepat, karena anak tangga di bawahmu bergerak sendiri. Kedua anak panah searah, sehingga besarnya cukup dijumlahkan:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Setiap sekon, kamu melangkah satu meter di anak tangga, dan anak tangga membawamu setengah meter lagi. Jika panjang eskalator s = 30 m, kamu akan sampai di atas setelah

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Jika kamu hanya berdiri diam, perjalananmu akan memakan $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, satu menit penuh.

Sebagai variasi, kamu naik ke eskalator yang bergerak turun dan berjalan ke atas dengan langkah yang sama. Sekarang kedua anak panah berlawanan arah, sehingga besarnya dikurangkan:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kamu memang sampai di atas, tetapi tiga puluh meter itu kembali memakan waktu satu menit penuh. Jika kamu hanya berjalan setengah meter per sekon, kamu akan melangkah di tempat. Dengan langkah yang lebih lambat lagi, eskalator perlahan tetapi pasti akan membawamu turun.

Jadi, seberapa cepat kamu sebenarnya berjalan? Ada dua jawaban yang benar. Terhadap anak tangga 1 m/s, terhadap stasiun 1,5 m/s atau 0,5 m/s. Semuanya bergantung pada kerangka acuan, yaitu terhadap apa gerak itu kita jelaskan.

Di eskalator, kedua anak panah terletak pada satu garis lurus, sehingga besarnya cukup dijumlahkan atau dikurangkan. Hal yang lebih menarik terjadi ketika dua gerak mengarah ke arah yang berbeda.

Perahu menyeberangi sungai

Lebar sebuah sungai d = 60 m dan airnya mengalir dengan kelajuan v₂ = 1 m/s. Dari tepi sungai berangkat sebuah perahu yang di air tenang melaju dengan kelajuan v₁ = 2 m/s. Pengemudi perahu mengarahkan haluannya tegak lurus ke tepi seberang dan terus mempertahankannya. Apakah perahu itu tiba tepat di seberang tempat ia berangkat? Kita tuliskan yang diketahui:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Tidak. Sementara perahu menyeberang, air di bawahnya mengalir dan membawanya. Haluannya memang terus mengarah tegak lurus ke tepi sungai, tetapi perahu bergeser miring dan mendarat agak jauh ke hilir. Dalam animasi, hal ini terlihat jelas: perahu tidak bergerak ke arah yang ditunjuk haluannya. Haluan menunjukkan ke mana perahu bergerak terhadap air. Lalu, berapa meter perahu dihanyutkan arus?

Gerak-gerak tidak saling mengganggu

Kunci perhitungannya adalah prinsip kebebasan gerak: jika suatu benda melakukan beberapa gerak sekaligus, setiap gerak berlangsung seolah-olah gerak lainnya tidak ada. Benda berakhir di tempat yang sama seperti jika gerak-gerak itu berlangsung satu per satu.

Mari kita coba pada perahu dalam dua langkah. Mula-mula bayangkan bahwa air diam dan pengemudi mendayung selama setengah menit. Perahu menyeberang lurus dan berhenti tepat di seberang. Kemudian ia berhenti mendayung dan membiarkan perahunya dihanyutkan arus selama setengah menit, sehingga perahu bergeser sepanjang tepi sungai. Perahu berakhir tepat di tempat yang sama dengan tempat ia sampai jika melakukan keduanya sekaligus. Kenyataannya, kedua gerak berlangsung bersamaan, sehingga perahu bergerak miring, tetapi tidak ada gerak yang menghambat gerak lainnya.

Pada perahu, hal ini mudah dibayangkan. Terhadap air, perahu bergerak tegak lurus menyeberang, persis seperti di kolam. Arus hanya menggeser seluruh bagian air itu beserta perahunya ke hilir, sama seperti eskalator menggeser anak tangga beserta dirimu. Karena itu, perahu didorong menyeberang hanya oleh kelajuannya sendiri, 2 m/s. Arus mengalir sejajar tepi sungai, sehingga tidak membantu ataupun menghambat penyeberangan. Karena itu, lama penyeberangan hanya bergantung pada lebar sungai dan kelajuan menyeberang:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Selama tiga puluh sekon itu, arus menghanyutkan perahu dengan kelajuan 1 m/s. Seberapa jauh perahu mendarat ke arah hilir disebut hanyutan:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Perahu mendarat tiga puluh meter ke hilir dari titik tepat di seberang. Setiap dua meter menyeberang, arus menggesernya satu meter sepanjang tepi, sehingga jejaknya berupa garis lurus. Jika kelajuan arus dua kali lipat, perahu tetap tiba di tepi seberang setelah setengah menit, tetapi enam puluh meter dari tujuan.

Seberapa cepat perahu bergerak terhadap tepi sungai? Kecepatan resultannya adalah jumlah vektor

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Kedua anak panah kita gambar dari satu titik dan kita lengkapi menjadi jajargenjang. Kecepatan resultan adalah diagonalnya. Kedua anak panah saling tegak lurus, sehingga jajargenjangnya berupa persegi panjang, seperti di sebelah kiri gambar. Besar kecepatan resultan kita hitung dengan teorema Pythagoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Terhadap tepi sungai, perahu lebih cepat daripada di air tenang, tetapi kelajuan tambahan itu membawanya ke tempat yang tidak diinginkannya. Menjumlahkan kelajuan sebagai bilangan biasa, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s, adalah kesalahan. Penjumlahan seperti ini hanya berlaku untuk anak panah yang searah, seperti di eskalator.

Hasilnya dapat diperiksa dengan cara lain. Dalam 30 s, dengan kelajuan $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, perahu menempuh lintasan miring sepanjang sekitar 67,1 m. Panjang yang sama dimiliki sisi miring segitiga yang dibentuk oleh lebar sungai dan hanyutan:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Cocok. Perahu menyeberangi sungai dalam tiga puluh sekon, terhadap tepi sungai bergerak dengan kelajuan sekitar 2,24 m/s, dan mendarat tiga puluh meter ke hilir.

Cara tiba tepat di seberang

Jika pengemudi ingin mendarat tepat di seberang, ia harus mengarahkan perahunya miring melawan arus. Sebagian kecepatan perahu kemudian melawan arus, dan sisanya mendorong perahu menyeberang. Kecepatan resultan $\overrightarrow{v}$ harus mengarah tepat ke tepi seberang, seperti di sebelah kanan gambar.

Di sebelah kanan, carilah segitiga yang dibentuk oleh anak panah merah, anak panah hijau, dan ruas garis putus-putus di atas. Ruas garis putus-putus itu adalah sisi seberang jajargenjang, sehingga sama panjang dan sejajar dengan anak panah arus. Karena itu, ruas garis itu membentuk sudut siku-siku dengan anak panah hijau, seperti arus di bawah. Sisi miringnya adalah kecepatan perahu v₁, dan di hadapan sudut α terletak kecepatan arus v₂. Karena itu,

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sinus sama dengan setengah untuk sudut 30°. Pengemudi harus mengarahkan perahunya 30° dari garis tegak lurus ke arah melawan arus.

Hasil yang sama diperoleh dengan menguraikan kecepatan perahu atas dua komponen yang saling tegak lurus. Satu komponen mengarah melawan arus dan besarnya v₁ · sin α, yang lain mengarah menyeberang dan besarnya v₁ · cos α. Agar perahu bergerak tepat ke seberang, komponen yang melawan arus harus tepat mengimbangi arus, sehingga harus berlaku v₁ · sin α = v₂. Setelah dibagi dengan kelajuan v₁, kita kembali memperoleh $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Arus kemudian tidak menghanyutkan perahu ke mana pun, dan tinggal gerak menyeberang.

Kelajuan menyeberang adalah sisi siku-siku yang lain, yang kita hitung dengan teorema Pythagoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Hasil yang sama diperoleh dari v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Prinsip kebebasan gerak berguna di sini untuk kedua kalinya. Lama penyeberangan hanya ditentukan oleh kelajuan menyeberang, dan sekarang kelajuan itu lebih kecil daripada sebelumnya, sehingga penyeberangan berlangsung lebih lama:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Jalan yang lurus lebih pendek, tetapi memerlukan waktu hampir lima sekon lebih lama. Siapa yang ingin secepat mungkin sampai di tepi seberang, misalnya seorang perenang di sungai, sebaiknya mengarah tegak lurus dan menerima hanyutannya. Siapa yang ingin mendarat di dermaga tepat di seberang harus mengarah melawan arus dan menerima perjalanan yang lebih lama.

Trik yang sama dikenal oleh pilot yang terbang dalam angin samping. Pesawat terbang dengan haluan sedikit melawan angin, agar terhadap tanah pesawat bergerak lurus ke tujuan. Karena itu, saat mendarat dalam angin samping yang kuat, pesawat mendekati landasan seolah-olah menyamping dan baru diluruskan tepat di atas tanah.

Satu jebakan lagi. Jika arus lebih cepat daripada perahu, sinusnya akan lebih besar daripada satu, dan sudut seperti itu tidak ada. Jika arus sama cepat, perahu harus mengarah tepat melawan arus dan sama sekali tidak bergerak menyeberang. Arus akan selalu menghanyutkan perahu, ke mana pun perahu diarahkan. Bahkan jika arus hanya sedikit lebih lambat daripada perahu, pengemudi harus mengarah hampir melawan arus, dan perahu menyeberang dengan sangat lambat.

Hujan miring dilihat dari mobil yang melaju

Di luar hujan deras dan tidak ada angin, sehingga tetesan air jatuh tegak lurus, yang besar dengan kelajuan sekitar 9 m/s. Ketika mobil diam, dari jendela kamu melihat garis-garis tegak. Namun, begitu mobil mulai melaju, tetesan di balik jendela samping bergerak miring ke belakang, dan makin cepat kamu melaju, makin miring.

Kita jelaskan hal ini dalam kerangka acuan yang terikat pada mobil. Terhadap mobil, seluruh pemandangan bergeser ke belakang: pohon, rumah, dan juga tetesan hujan. Jadi, setiap tetesan melakukan dua gerak: jatuh ke bawah dengan kelajuan 9 m/s dan sekaligus bergerak ke belakang dengan kelajuan mobil. Kecepatan resultannya adalah jumlah vektor keduanya dan mengarah miring ke bawah dan ke belakang.

Jika mobil juga melaju 9 m/s, yaitu sekitar 32 km/h, kedua anak panah sama panjang dan saling tegak lurus. Resultannya adalah diagonal persegi, sehingga tetesan jatuh dengan sudut 45°. Di jalan tol, anak panah mendatar beberapa kali lebih panjang daripada anak panah tegak, dan tetesan bergerak hampir mendatar.

Penalaran ini dapat dibalik. Jika saat melaju dengan kelajuan 32 km/h kamu melihat jejak tetesan tepat membentuk sudut 45°, kamu tahu bahwa tetesan itu jatuh sama cepat dengan kelajuanmu. Dari spidometer dan kemiringan jejak, kita dapat memperkirakan kelajuan hujan tanpa keluar dari mobil.

Saat mobil melaju di bawah hujan, kaca depan paling banyak tersiram air, sedangkan kaca belakang hanya terkena sedikit tetesan. Karena alasan yang sama, setiap orang yang berlari di bawah hujan memiringkan payungnya ke depan. Dalam kerangka acuan pelari, tetesan hujan jatuh miring dari depan. Orang yang berdiri di halte memegang payungnya tegak, karena tetesan jatuh dari atas.

Kelajuan tetesan menghantam kaca depan juga merupakan hasil perpaduan. Pada 32 km/h, kelajuan itu adalah diagonal persegi dengan sisi 9 m/s, yaitu $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Itulah sebabnya saat melaju cepat di bawah hujan, tetesan menghantam kaca dengan begitu keras.

Di sini perahu, mobil, dan tetesan hujan bergerak pada garis lurus. Namun, kuda-kudaan di komidi putar atau ujung jarum jam bergerak berputar. Artikel berikutnya, Gerak melingkar beraturan, membahas cara menjelaskan gerak melingkar dan apa itu periode, frekuensi, dan radian. Di sana kita juga akan melihat mengapa tepi komidi putar bergerak lebih cepat daripada bagian di dekat pusatnya.