Gerak jatuh bebas

Lepaskan kunci dan selembar kertas dari tanganmu secara bersamaan. Kunci hampir seketika berdenting di lantai, sedangkan kertas masih melayang-layang beberapa saat di udara. Jadi, apakah benda yang lebih berat jatuh lebih cepat? Itulah yang diyakini sebagian besar ilmuwan selama hampir dua ribu tahun, dimulai dari Aristoteles. Baru Galileo Galilei, sekitar pergantian abad ke-16 dan ke-17, menemukan bahwa yang membuat perbedaan adalah udara. Jika tidak ada udara, batu, palu, dan bulu burung akan jatuh sama cepat.

Menurut cerita, Galileo membuktikannya kepada murid-muridnya dengan menjatuhkan dua bola yang berbeda beratnya dari Menara Miring Pisa. Ceritanya menarik, tetapi kita baru mengetahuinya dari murid dan penulis biografinya, dan para sejarawan meragukan bahwa peristiwa itu benar-benar terjadi. Sebenarnya Galileo menemukannya melalui percobaan yang lebih tekun, yang akan kita bahas nanti.

Palu dan bulu di Bulan

Di Bumi, hal ini sulit diperlihatkan, karena udara ada di mana-mana di sekitar kita. Namun, di Bulan tidak ada udara. Pada tahun 1971, seorang astronaut misi Apollo 15 menjatuhkan palu geologi dan sehelai bulu burung alap-alap dari ketinggian yang sama di depan kamera televisi. Bulu itu tidak dipilih secara kebetulan: modul pendarat misi itu bernama Falcon, yang berarti alap-alap. Keduanya jatuh sama cepat dan menyentuh debu pada saat yang sama. Sang astronaut lalu dengan datar menambahkan bahwa Tuan Galileo memang benar.

Di sebelah kiri adalah Bulan, di sebelah kanan sebagai pembanding adalah Bumi yang memiliki udara.

Gerak benda yang dilepaskan dari keadaan diam dan kemudian jatuh hanya karena ditarik Bumi (atau Bulan), tanpa hambatan udara sama sekali, disebut gerak jatuh bebas. Di Bulan, bulu maupun palu mengalami gerak jatuh bebas. Di Bumi, batu, kunci, atau apel yang jatuh sangat mendekatinya, setidaknya selama tidak jatuh dari ketinggian yang besar. Bulu dan kertas tidak jatuh bebas, karena terlalu banyak dihambat udara.

Jatuh dengan percepatan g

Galileo menemukan satu hal lagi. Kecepatan benda yang jatuh bertambah secara merata, setiap sekon bertambah sama besar. Jadi, gerak jatuh bebas adalah gerak lurus berubah beraturan dari keadaan diam. Percepatannya sama untuk semua benda di satu tempat, disebut percepatan gravitasi, dan dilambangkan g. Kedengarannya aneh, karena palu jauh lebih berat daripada bulu. Bumi memang menariknya lebih kuat, tetapi palu juga lebih kuat menolak untuk digerakkan, dan keduanya tepat saling mengimbangi. Mengapa demikian baru akan dijelaskan pada materi gaya. Di permukaan Bumi,

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Kecepatan batu yang jatuh bebas bertambah 9,81 m/s setiap sekon. Nilai tepatnya sedikit berbeda dari tempat ke tempat: di khatulistiwa, percepatan gravitasi sekitar 9,78 m/s², di kutub 9,83 m/s². Untuk perkiraan cepat di kepala, cukup 10 m/s². Di Bulan, percepatan gravitasi kira-kira enam kali lebih kecil, sehingga palu dan bulu di Bulan jatuh jauh lebih lambat daripada batu di Bumi.

Benda jatuh pada garis lurus tegak, sehingga arah positif kita pilih ke bawah. Percepatan dan kecepatan kemudian bernilai positif. Rumus-rumus gerak lurus berubah beraturan, v = v₀ + a · t dan $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$, menjadi lebih sederhana. Benda mulai dari keadaan diam, sehingga kecepatan awalnya v₀ = 0, dan percepatannya a = g. Jarak kita lambangkan h seperti ketinggian, karena menyatakan berapa meter benda itu jatuh. Tinggal:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Waktu t diukur sejak benda dilepaskan, v adalah kecepatan pada saat itu, dan h adalah ketinggian yang sudah dilalui benda selama waktu tersebut. Dalam sekon pertama, batu mencapai kecepatan 9,81 m/s dan jatuh sejauh 4,9 m. Setelah dua sekon, kecepatannya 19,6 m/s dan sudah jatuh 19,6 m, setelah tiga sekon kecepatannya 29,4 m/s dan batu sudah berada 44,1 m di bawah tempat kita melepaskannya.

Mungkin terpikir olehmu untuk menghitung ketinggian sebagai kecepatan kali waktu. Namun, kecepatan 19,6 m/s baru dimiliki batu di akhir sekon kedua, sebelumnya batu jatuh lebih lambat, dan hasilnya akan dua kali terlalu besar. Justru karena itulah di dalam rumus ada setengah.

Jejak setelah selang waktu yang sama

Pada gambar, sebuah bola kecil jatuh, diperlambat agar terlihat, dan setiap selang waktu yang sama panjang, misalnya setiap sepersepuluh sekon, bola itu meninggalkan jejak oranye. Jarak antarjejak makin besar, karena bola makin cepat setiap saat. Dalam satu bagian waktu, bola turun satu bagian jarak, dalam dua bagian waktu 2² = 4 bagian, dalam tiga bagian 3² = 9, dan dalam empat bagian 4² = 16 bagian. Bagian-bagian di antara jejak kemudian panjangnya 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, dan 16 − 9 = 7 bagian. Kuadrat bilangan yang berurutan berselisih bilangan ganjil.

Gerak jatuh bebas terlalu cepat untuk jam pada masa itu, sehingga Galileo menggelindingkan bola-bola kecil pada talang yang sedikit miring, tempat semuanya terjadi lebih lambat. Ia menemukan tepat bilangan-bilangan ganjil ini, 1 : 3 : 5 : 7.

Seberapa dalam sumur itu?

Di dekat rumah nenekmu di desa ada sumur tua, dan kamu ingin tahu seberapa dalam permukaan airnya. Kamu menjatuhkan batu ke dalamnya dan dengan stopwatch mengukur bahwa batu tercebur setelah 2 s. Mula-mula kita tuliskan apa yang kita ketahui tentang jatuhnya batu:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Batu jatuh dari keadaan diam, sehingga kita langsung menyubstitusikan ke rumus ketinggian:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekon kuadrat saling menghilangkan dan tersisa meter. Permukaan air terletak sekitar 19,6 m di bawah bibir sumur, cukup dalam. Sebagai pemeriksaan cepat, kita ambil nilai bulat g ≈ 10 m/s²: setengah dari sepuluh kali empat sama dengan dua puluh meter. Cocok.

Waktu yang diperlukan bunyi ceburan untuk kembali ke atas kita abaikan. Bunyi menempuh dua puluh meter dalam sekitar enam perseratus sekon, dan dibandingkan dua sekon hal ini hampir tidak berpengaruh. Hambatan udara pun tidak banyak memperlambat batu pada jarak dua puluh meter.

Kecepatan batu pada grafik berupa garis lurus yang naik 9,81 m/s setiap sekon. Kemiringannya adalah percepatan gravitasi g. Jaraknya kita cari sebagai luas di bawah grafik, di sini berupa segitiga merah dengan sisi siku-siku 2 s dan 19,6 m/s. Luasnya $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, tepat seperti yang kita peroleh dari rumus.

Terjun dari menara setinggi sepuluh meter

Panggung tertinggi untuk loncat indah berada sepuluh meter di atas permukaan air. Berapa lama peloncat jatuh, dan dengan kelajuan berapa ia menghantam air? Kenyataannya, ia menolak dari panggung dan berputar di udara, tetapi kita sederhanakan: ia jatuh begitu saja dari keadaan diam seperti batu.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Kali ini kita mengetahui ketinggian dan mencari waktu, sehingga waktu harus diisolasi dari rumus ketinggian. Mula-mula kedua ruas kita kalikan dengan dua, sehingga pecahannya hilang. Kemudian kita bagi dengan percepatan gravitasi, dan di ruas kanan tersisa waktu kuadrat:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Sejauh ini kita memperoleh waktu kuadrat, padahal yang kita perlukan adalah waktunya sendiri. Akar kuadrat akan membantu: kedua ruas kita tarik akarnya. Hasil negatif tidak kita perlukan, karena waktu sejak benda dilepaskan bernilai positif:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Kita substitusikan:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Meter saling menghilangkan, dan sekon kuadrat berpindah dari penyebut ke pembilang. Akarnya kemudian menghasilkan sekon. Kelajuan saat menyentuh air diperoleh dari rumus kecepatan:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Peloncat jatuh selama kurang dari satu setengah sekon dan menghantam air dengan kelajuan sekitar 14 m/s, yaitu kira-kira 50 km/h. Secepat itulah mobil melaju di dalam kota.

Kelajuan saat menyentuh air juga dapat dicari tanpa waktu. Dari hubungan $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ dengan kecepatan awal nol, percepatan g, dan jarak h diperoleh $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Setelah disubstitusikan, kita peroleh $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sama seperti tadi.

Awas, ada satu jebakan. Dari ketinggian dua kali lipat, peloncat tidak jatuh dua kali lebih lama. Ketinggian dalam rumus terletak di bawah tanda akar, sehingga dari dua puluh meter ia hanya akan jatuh sekitar 2,02 s. Hal ini sesuai dengan sumur tadi: dalam dua sekon batu jatuh hampir dua puluh meter.

Rumus yang sama juga dapat dipakai untuk percobaan yang menyenangkan. Temanmu memegang penggaris secara tegak, sedangkan ibu jari dan telunjukmu terbuka di sekitar ujung bawah penggaris. Tanpa peringatan, temanmu melepaskannya, dan kamu menangkapnya secepat mungkin. Jika penggaris sempat jatuh 20 cm, penggaris itu jatuh selama $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, dan itulah waktu reaksimu.

Hambatan udara dan penerjun payung

Jika tidak ada udara, seorang penerjun payung setelah jatuh selama lima belas sekon akan memiliki kelajuan v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, lebih dari 500 km/h, dan akan terus bertambah cepat. Namun, ia tidak pernah jatuh secepat itu, karena udara memberikan hambatan pada benda yang jatuh, dan hambatannya makin besar jika benda bergerak makin cepat.

Tepat setelah melompat dari pesawat, penerjun payung masih lambat, hambatan udaranya kecil, dan ia jatuh hampir bebas. Namun, seiring bertambahnya kelajuan, hambatan makin kuat, kelajuan bertambah makin lambat, sampai akhirnya berhenti bertambah sama sekali. Penerjun payung kemudian jatuh dengan kelajuan tetap yang disebut kecepatan terminal. Dalam posisi telungkup dengan tubuh terbentang, kecepatan terminalnya sekitar 200 km/h. Parasut yang terbuka memperbesar hambatan secara drastis, dan kelajuannya turun menjadi beberapa meter per sekon, sehingga ia dapat mendarat dengan aman.

Udara juga berguna saat hujan. Tanpa hambatan udara, tetesan dari awan setinggi dua kilometer akan jatuh dengan kelajuan $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2.000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lebih dari 700 km/h, secepat pesawat terbang. Kenyataannya, tetesan yang besar pun hanya jatuh sekitar 9 m/s.

Bulu dan selembar kertas memiliki kecepatan terminal yang sangat kecil dan mencapainya hampir seketika, sehingga keduanya melayang turun begitu pelan. Mengapa bentuk dan massa sangat berpengaruh akan ditunjukkan dalam dinamika. Batu yang jatuh ke sumur atau peloncat dari menara memiliki kelajuan paling besar sekitar tujuh puluh kilometer per jam, dan pada kelajuan itu hambatan udara masih kecil, sehingga rumus gerak jatuh bebas cukup tepat.

Kalkulator gerak jatuh bebas

Isikan lamanya benda jatuh, dan kalkulator akan memberi tahu dari ketinggian berapa benda itu jatuh dan dengan kelajuan berapa benda itu sampai di bawah. Perhitungannya memakai g = 9,81 m/s² dan tanpa hambatan udara.

Sebaliknya: masukkan ketinggian, dan kalkulator akan menentukan berapa lama benda jatuh dan dengan kelajuan berapa benda itu sampai di bawah.

Batu yang jatuh hanya melakukan satu gerak, tegak lurus ke bawah. Namun, sering kali benda melakukan beberapa gerak sekaligus: perahu yang diarahkan ke tepi seberang dihanyutkan arus, dan tetesan hujan yang jatuh tegak lurus terlihat miring dari mobil yang sedang melaju. Dalam artikel berikutnya, Perpaduan gerak, kita akan menghitung ke mana perahu itu sampai dan bagaimana perahu harus diarahkan agar mendarat tepat di seberang.