Свободно падане

Пусни наведнъж от ръка ключове и лист хартия. Ключовете издрънчават на пода почти веднага, а хартията още известно време се полюшва във въздуха. Нима по-тежките неща падат по-бързо? Точно така са мислили почти две хиляди години повечето учени, като се започне от Аристотел. Едва Галилео Галилей в края на 16. и началото на 17. век открива, че разликата прави въздухът. Ако го нямаше, камъкът, чукът и птичето перо щяха да падат еднакво бързо.

Според легендата Галилей за доказателство пуснал от Наклонената кула в Пиза на студентите си две различно тежки топки. Историята е хубава, но я знаем едва от негов ученик и биограф и историците се съмняват, че наистина се е случила. Галилей всъщност стига до откритието с по-търпеливи опити, до които ще стигнем.

Чук и перо на Луната

На Земята това трудно се показва, понеже въздухът е навсякъде около нас. На Луната обаче такъв няма. През 1971 г. там астронавтът Дейвид Скот от мисията „Аполо 15“ пуска пред телевизионната камера от една и съща височина геоложки чук и перо на сокол. Перото не е избрано случайно: лунният модул на мисията носи името Falcon, на български „сокол“. И двете падат еднакво бързо и достигат праха в един и същи миг. Скот сухо добавя, че господин Галилей е бил прав.

Вляво е Луната, вдясно за сравнение Земята с въздух.

Движението на тяло, което пускаме от покой и което след това пада само защото го привлича Земята (или Луната), без каквото и да е съпротивление на въздуха, наричаме свободно падане. На Луната със свободно падане падат и пера, и чукове. На Земята много близо до него е падащият камък, ключовете или ябълката, поне докато не падат от голяма височина. Перото и хартията не падат със свободно падане, въздухът ги спира твърде много.

Падането е с ускорение g

Галилей открива още нещо. Скоростта на падащото тяло расте равномерно, за всяка секунда се добавя еднакво. Свободното падане е така равноускорително движение от покой. Ускорението му е за всички тела на едно място еднакво, нарича се земно ускорение и се означава g. Звучи странно, чукът е много по-тежък от перото. Земята наистина го привлича по-силно, но и по-силно се съпротивлява да бъде приведен в движение и двете се уравновесяват точно. Защо е така, ще покажат силите. При нас е

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Свободно падащ камък има всяка секунда скорост, по-голяма с 9,81 m/s. Точната стойност леко се различава от място на място: на екватора земното ускорение е около 9,78 m/s², на полюсите 9,83 m/s². За оценка наум стигат 10 m/s². На Луната е приблизително шест пъти по-малко и чукът на Скот и перото затова на Луната са падали забележимо по-бавно от камък на Земята.

Тялото пада по вертикална права, положителната посока затова избираме надолу. Ускорението и скоростта тогава излизат положителни. Формулите на равноускорителното движение v = v₀ + a · t и $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ тук се опростяват. Тялото тръгва от покой, началната скорост затова е v₀ = 0, а ускорението е a = g. Пътя ще означаваме с h като височина, защото казва с колко метра тялото пада. Остава:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Времето t мерим от пускането, v е скоростта в този момент, а h височината, с която тялото е паднало за това време. През първата секунда камъкът набира скорост 9,81 m/s и пада с 4,9 m. След две секунди има 19,6 m/s и е паднал с 19,6 m, след три има 29,4 m/s и е вече 44,1 m под мястото, откъдето сме го пуснали.

Ще ти дойде наум да изчислиш височината като скорост по време. Но скорост 19,6 m/s камъкът има едва в края на втората секунда, преди това е падал по-бавно, и резултатът би излязъл два пъти по-голям. Точно затова във формулата стои половината.

Следи през равни интервали от време

На фигурата пада топчица, забавено, за да се вижда нещо, и след всеки еднакво дълъг интервал от време, например след една десета от секундата, оставя оранжева следа. Следите се отдалечават все повече една от друга, защото топчицата във всеки момент е по-бърза. За една част от времето топчицата пада с една част от пътя, за две части време с 2² = 4 части, за три с 3² = 9 и за четири с 4² = 16 части. Участъците между следите са тогава 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 и 16 − 9 = 7 части. Съседните квадрати се различават с нечетни числа.

Свободното падане е твърде бързо за тогавашните часовници и затова Галилей пуска топчици по леко наклонен улей, където всичко става по-бавно. Намира точно тези нечетни числа, 1 : 3 : 5 : 7.

Колко е дълбок кладенецът?

Край селската ти къща има стар кладенец и искаш да знаеш колко дълбоко е водното ниво. Пускаш в него камък и с хронометър измерваш, че цопва във водата след 2 s. Първо изписваме какво знаем за падането:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Камъкът пада от покой, така че веднага заместваме във формулата за височината:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Секундите на квадрат се съкращават и остават метри. Водата е на около 19,6 m под ръба на кладенеца, доста дълбоко. За бърза проверка вземаме закръглено g ≈ 10 m/s²: половината от десет по четири е двайсет метра. Вярно е.

Пренебрегнахме времето, което е нужно на звука от цопването, за да се върне нагоре. Звукът изминава двайсет метра приблизително за шест стотни от секундата и това в сравнение с две секунди почти не личи. Съпротивлението на въздуха също не спира особено камъка на двайсет метра.

Скоростта на камъка е в графиката права, която всяка секунда се вдига с 9,81 m/s. Наклонът ѝ е земното ускорение g. Пътя намираме като лице под графиката, тук като червен триъгълник с катети 2 s и 19,6 m/s. Лицето му е $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, точно както получихме от формулата.

Скок от десетметрова кула

Най-високата площадка за скокове във вода е на десет метра над водата. Колко време пада скачачът и с каква скорост се удря във водата? В действителност той се отблъсква от площадката и във въздуха се върти, но ще опростим: просто пада от покой като камък.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Този път знаем височината и търсим времето и него трябва да изразим от формулата за височината. Двете страни първо умножаваме по две, с което дробта изчезва. После ги делим на земното ускорение и от дясната страна остава само времето на квадрат:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Засега имаме времето на квадрат, а ни трябва самото време. Помага коренът: извличаме корен от двете страни. Отрицателният резултат не ни интересува, времето от пускането е положително:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Заместваме:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Метрите се съкращават и секундите на квадрат от знаменателя минават в числителя. Коренът от тях дава секунди. Скоростта на удара след това излиза от формулата за скоростта:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Скачачът пада малко по-малко от секунда и половина и се удря във водата със скорост около 14 m/s, тоест приблизително 50 km/h. Толкова бързо се движат колите в града.

Скоростта на удара може да се намери и без времето. От зависимостта $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ с нулева начална скорост, ускорение g и път h излиза $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. След заместване имаме $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, същото като преди.

Внимавай, тук има капан. От два пъти по-голяма височина скачачът не пада два пъти по-дълго. Височината във формулата е под корена, така че от двайсет метра би падал само около 2,02 s. Това отговаря на кладенеца: за две секунди камъкът е паднал с малко по-малко от двайсет метра.

Същата формула служи и за забавен опит. Приятел държи вертикално линийка, а ти имаш разтворени палец и показалец около долния ѝ край. Приятелят я пуска без предупреждение и ти я хващаш възможно най-бързо. Ако линийката успее да падне с 20 cm, тя е падала $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$ и това е твоето време за реакция.

Съпротивление на въздуха и парашутист

Ако нямаше въздух, парашутистът след петнайсет секунди падане би имал скорост v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, повече от 500 km/h, и би ускорявал още. Така бързо обаче никога не пада, защото въздухът оказва съпротивление на падащото тяло, и то толкова по-голямо, колкото по-бързо се движи.

Веднага след скока от самолета парашутистът е бавен, съпротивлението на въздуха е малко и той пада почти със свободно падане. Със скоростта обаче съпротивлението се засилва, скоростта нараства все по-бавно, докато престане да расте напълно. Парашутистът тогава пада с постоянна скорост, която наричаме гранична скорост. Легнал по корем с разперени ръце и крака, той достига приблизително 200 km/h. Отвореният парашут рязко увеличава съпротивлението и скоростта спада на няколко метра в секунда, с които може безопасно да се приземи.

Въздухът е полезен и при дъжд. Капка от облак на височина два километра без съпротивление на въздуха би паднала със скорост $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, над 700 km/h, със скоростта на самолет. В действителност обаче и големите капки падат само с около 9 m/s.

Перото и листът хартия имат много малка гранична скорост, достигат я почти мигновено и затова се спускат толкова бавно. Защо толкова значение имат формата и масата, ще покаже динамиката. Камъкът в кладенеца или скачачът от кулата имат скорости най-много около седемдесет километра в час и при тях съпротивлението на въздуха е още малко, формулите за свободно падане затова дават добри резултати.

Калкулатор за свободно падане

Въведи времето на падане и калкулаторът ще ти каже от каква височина е паднало тялото и с каква скорост е достигнало земята. Смята с g = 9,81 m/s² и без съпротивление на въздуха.

И обратно: въведи височината и калкулаторът ще определи колко време пада тялото и с каква скорост достига земята.

Падащият камък извършва едно-единствено движение, вертикално надолу. Често обаче тялото извършва няколко движения едновременно: лодката, насочена към отсрещния бряг, се отнася от течението, а капките дъжд, които падат вертикално, летят от движещата се кола косо. Докъде ще стигне лодката и как трябва да се насочи, за да пристигне точно отсреща, ще пресметнем в следващата статия, Събиране на движения.