Sự rơi tự do

Hãy thả cùng lúc một chùm chìa khoá và một tờ giấy. Chùm chìa khoá chạm sàn kêu leng keng gần như ngay lập tức, còn tờ giấy vẫn chao đảo trong không khí thêm một lúc. Vậy vật nặng hơn rơi nhanh hơn? Gần 2.000 năm, phần lớn các học giả, bắt đầu từ Aristotle, đã nghĩ đúng như vậy. Mãi đến khoảng cuối thế kỉ 16, đầu thế kỉ 17, Galileo Galilei mới nhận ra rằng chính không khí tạo nên sự khác biệt. Nếu không có không khí, hòn đá, chiếc búa hay chiếc lông chim đều rơi nhanh như nhau.

Theo truyền thuyết, để chứng minh cho học trò, Galileo đã thả từ tháp nghiêng Pisa hai quả cầu nặng nhẹ khác nhau. Câu chuyện thật đẹp, nhưng ta chỉ biết nó qua lời kể của học trò kiêm người viết tiểu sử của ông, và các nhà sử học nghi ngờ rằng chuyện đó đã thực sự xảy ra. Trên thực tế, Galileo phát hiện ra điều này nhờ những thí nghiệm kiên nhẫn hơn, mà ta sẽ nói đến sau.

Chiếc búa và chiếc lông chim trên Mặt Trăng

Trên Trái Đất, điều này khó chứng minh, vì không khí có ở khắp xung quanh ta. Nhưng trên Mặt Trăng thì không có không khí. Năm 1971, nhà du hành chỉ huy sứ mệnh Apollo 15 đã thả từ cùng một độ cao một chiếc búa địa chất và một chiếc lông chim ưng trước ống kính truyền hình. Chiếc lông không phải chọn ngẫu nhiên: mô-đun hạ cánh của sứ mệnh mang tên Falcon, tức là chim ưng. Cả hai rơi nhanh như nhau và chạm lớp bụi vào cùng một thời điểm. Ông chỉ khô khan nói thêm rằng ngài Galileo đã đúng.

Bên trái là Mặt Trăng, bên phải là Trái Đất có không khí để so sánh.

Hình động: trên Mặt Trăng, chiếc búa và chiếc lông chim chạm đất cùng lúc; trên Trái Đất, chiếc lông chim tụt lại phía sau

Chuyển động của một vật được thả từ trạng thái đứng yên, sau đó rơi xuống chỉ vì Trái Đất (hay Mặt Trăng) hút nó, hoàn toàn không có lực cản của không khí, gọi là sự rơi tự do. Trên Mặt Trăng, cả lông chim lẫn búa đều rơi tự do. Trên Trái Đất, hòn đá, chùm chìa khoá hay quả táo đang rơi rất gần với rơi tự do, ít nhất là khi chúng không rơi từ độ cao lớn. Chiếc lông chim hay tờ giấy không rơi tự do, không khí cản chúng quá nhiều.

Rơi với gia tốc g

Galileo còn phát hiện thêm một điều. Vận tốc của vật rơi tăng đều, mỗi giây tăng một lượng như nhau. Như vậy sự rơi tự do là chuyển động thẳng nhanh dần đều xuất phát từ trạng thái đứng yên. Gia tốc của nó như nhau với mọi vật tại cùng một nơi, gọi là gia tốc rơi tự do, kí hiệu g. Nghe có vẻ lạ, vì chiếc búa nặng hơn chiếc lông chim rất nhiều. Trái Đất hút búa mạnh hơn, nhưng cũng khó làm cho búa chuyển động hơn đúng bấy nhiêu, và hai điều này bù trừ nhau hoàn toàn. Vì sao như vậy, phần về lực sẽ giải thích. Thường lấy

$g \approx 9, 81 {m / s}^{2} .$

Mỗi giây, hòn đá rơi tự do có vận tốc lớn thêm 9,81 m/s. Giá trị chính xác thay đổi chút ít theo từng nơi: ở xích đạo, gia tốc rơi tự do khoảng 9,78 m/s², ở hai cực là 9,83 m/s². Để ước lượng nhẩm, lấy 10 m/s² là đủ. Trên Mặt Trăng, gia tốc này nhỏ hơn khoảng 6 lần, vì vậy chiếc búa và chiếc lông chim trên Mặt Trăng rơi chậm hơn hẳn so với hòn đá trên Trái Đất.

Vật rơi theo một đường thẳng đứng, nên ta chọn chiều dương hướng xuống dưới. Khi đó cả gia tốc lẫn vận tốc đều dương. Các công thức của chuyển động thẳng nhanh dần đều v = v₀ + a · t và $s = v_{0} \cdot t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ở đây trở nên đơn giản hơn. Vật xuất phát từ trạng thái đứng yên, nên vận tốc ban đầu v₀ = 0, còn gia tốc là a = g. Quãng đường được kí hiệu là h như độ cao, vì nó cho biết vật rơi xuống bao nhiêu mét. Còn lại:

$v = g \cdot t$

$h = \frac{1}{2} g t^{2}$

Thời gian t tính từ lúc thả, v là vận tốc tại thời điểm đó và h là độ cao mà vật đã rơi xuống trong khoảng thời gian ấy. Sau giây thứ nhất, hòn đá đạt vận tốc 9,81 m/s và đã rơi được 4,9 m. Sau 2 giây, nó có vận tốc 19,6 m/s và đã rơi 19,6 m, sau 3 giây có vận tốc 29,4 m/s và đã ở dưới chỗ ta thả nó 44,1 m.

Có thể bạn sẽ muốn tính độ cao bằng vận tốc nhân thời gian. Nhưng hòn đá chỉ đạt vận tốc 19,6 m/s vào cuối giây thứ hai, trước đó nó rơi chậm hơn, và kết quả sẽ lớn gấp đôi. Chính vì thế trong công thức có một nửa.

Các dấu sau những khoảng thời gian bằng nhau

Hòn bi rơi tự do và sau những khoảng thời gian bằng nhau để lại các dấu màu cam. Các đoạn giữa chúng tỉ lệ với 1 : 3 : 5 : 7

Trên hình, một hòn bi rơi xuống, được quay chậm để nhìn rõ, và sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau, chẳng hạn một phần mười giây, để lại một dấu màu cam. Các dấu ngày càng cách xa nhau, vì hòn bi mỗi lúc một nhanh hơn. Trong 1 phần thời gian, hòn bi rơi xuống 1 phần quãng đường, trong 2 phần thời gian rơi 2² = 4 phần, trong 3 phần thời gian rơi 3² = 9 phần, trong 4 phần thời gian rơi 4² = 16 phần. Các đoạn giữa các dấu khi đó dài 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 và 16 − 9 = 7 phần. Hai số chính phương liên tiếp hơn kém nhau một số lẻ.

Với đồng hồ thời đó, rơi tự do diễn ra quá nhanh, vì vậy Galileo thả các hòn bi lăn trên một máng hơi nghiêng, nơi mọi thứ diễn ra chậm hơn. Ông đã tìm ra chính các số lẻ ấy, 1 : 3 : 5 : 7.

Cái giếng sâu bao nhiêu?

Cạnh ngôi nhà ở quê có một cái giếng cũ, và bạn muốn biết mặt nước sâu bao nhiêu. Bạn thả một hòn đá xuống giếng và dùng đồng hồ bấm giây đo được rằng nó chạm nước sau 2 s. Trước hết, ta ghi ra những gì đã biết về sự rơi:

$\begin{aligned} t & = 2 s \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m) \end{aligned}$

Hòn đá rơi từ trạng thái đứng yên, vì vậy ta thay ngay vào công thức tính độ cao:

$\begin{aligned} h & = \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot (2 s)^{2} \\ = \frac{1}{2} \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 s^{2} \approx 19, 6 m \end{aligned}$

Giây bình phương giản ước, còn lại mét. Mặt nước nằm dưới miệng giếng khoảng 19,6 m, khá sâu. Để kiểm tra nhanh, lấy tròn g ≈ 10 m/s²: một nửa của 10 nhân 4 là 20 mét. Khớp.

Ta đã bỏ qua thời gian để âm thanh tiếng nước vọng lên. Âm thanh đi 20 mét mất khoảng 6 phần trăm giây, so với 2 giây thì gần như không đáng kể. Lực cản của không khí cũng không làm hòn đá chậm đi nhiều trên 20 mét.

Đồ thị vận tốc của sự rơi tự do. Mỗi giây vận tốc tăng thêm 9,81 m/s (bậc màu xanh dương), diện tích tam giác màu đỏ là độ cao h mà hòn đá rơi được trong 2 s

Trên đồ thị, vận tốc của hòn đá là một đường thẳng, mỗi giây đi lên 9,81 m/s. Độ dốc của nó là gia tốc rơi tự do g. Quãng đường là diện tích dưới đồ thị, ở đây là tam giác màu đỏ với hai cạnh góc vuông 2 s và 19,6 m/s. Diện tích của nó là $\frac{1}{2} \cdot 2 s \cdot 19, 6 m / s = 19, 6 m$ , đúng như kết quả theo công thức.

Nhảy cầu từ độ cao 10 mét

Bục nhảy cầu cao nhất cách mặt nước 10 mét. Vận động viên rơi trong bao lâu và chạm nước với tốc độ bao nhiêu? Thực ra vận động viên bật lên khỏi bục và xoay người trên không, nhưng ta đơn giản hoá: người đó chỉ rơi từ trạng thái đứng yên như một hòn đá.

$\begin{aligned} h & = 10 m \\ g & = 9, 81 {m / s}^{2} \\ t & = ? (s) \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Lần này ta biết độ cao và cần tìm thời gian, nên phải rút thời gian ra từ công thức tính độ cao. Trước hết nhân cả hai vế với 2 để khử phân số. Sau đó chia cho gia tốc rơi tự do, ở vế phải chỉ còn bình phương của thời gian:

$\begin{array}{rcl} h & = & \frac{1}{2} g t^{2} / \cdot 2 \\ 2 h & = & g t^{2} / : g \\ \frac{2 h}{g} & = & t^{2} \end{array}$

Đến đây ta có bình phương của thời gian, nhưng cần chính thời gian. Căn bậc hai giúp được: khai căn cả hai vế. Kết quả âm không cần quan tâm, vì thời gian tính từ lúc thả là số dương:

$t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$

Thay số:

$\begin{aligned} t & = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 m}{9, 81 {m / s}^{2}}} \approx \sqrt{2, 04 s^{2}} \\ \approx 1, 43 s \end{aligned}$

Mét giản ước, còn giây bình phương chuyển từ mẫu số lên tử số. Căn bậc hai của nó cho giây. Tốc độ chạm nước khi đó suy ra từ công thức vận tốc:

$\begin{aligned} v & = g \cdot t \approx 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 1, 43 s \\ \approx 14 m / s \approx 50 km / h \end{aligned}$

Vận động viên rơi chưa đầy một giây rưỡi và chạm nước với tốc độ khoảng 14 m/s, tức là chừng 50 km/h. Đó là tốc độ của ô tô chạy trong thành phố.

Tốc độ chạm nước cũng tìm được mà không cần thời gian. Từ hệ thức $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 \cdot a \cdot s$ với vận tốc ban đầu bằng 0, gia tốc g và quãng đường h, ta được $v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}$ . Thay số, ta có $\sqrt{196, 2 m^{2} {/ s}^{2}} \approx 14 m / s$ , như trước.

Chú ý một chỗ dễ nhầm. Từ độ cao gấp đôi, vận động viên không rơi lâu gấp đôi. Độ cao nằm dưới dấu căn trong công thức, vì vậy từ 20 mét người đó chỉ rơi khoảng 2,02 s. Điều này khớp với cái giếng: trong 2 giây hòn đá rơi được chưa đến 20 mét.

Cũng công thức này dùng được cho một thí nghiệm vui. Một người bạn cầm thẳng đứng một cây thước, còn bạn để ngón cái và ngón trỏ mở ra hai bên đầu dưới của thước. Người bạn thả thước mà không báo trước, và bạn bắt nó nhanh nhất có thể. Nếu thước kịp rơi 20 cm thì nó đã rơi trong $\sqrt{\frac{2 \cdot 0, 2 m}{9, 81 {m / s}^{2}}} \approx 0, 2 s$ , và đó là thời gian phản ứng của bạn.

Lực cản không khí và người nhảy dù

Nếu không có không khí, người nhảy dù sau 15 giây rơi sẽ có vận tốc v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, hơn 500 km/h, và vẫn tiếp tục nhanh dần. Nhưng người đó không bao giờ rơi nhanh như vậy, vì không khí cản vật rơi, và vật chuyển động càng nhanh thì lực cản càng lớn.

Ngay sau khi nhảy ra khỏi máy bay, người nhảy dù còn chậm, lực cản không khí nhỏ, và người đó rơi gần như tự do. Nhưng tốc độ càng tăng thì lực cản càng mạnh, tốc độ tăng ngày càng chậm cho đến khi ngừng tăng hẳn. Khi đó người nhảy dù rơi với tốc độ không đổi, gọi là tốc độ giới hạn. Khi nằm sấp dang rộng tay chân, tốc độ này vào khoảng 200 km/h. Chiếc dù mở ra làm lực cản tăng vọt và tốc độ giảm xuống còn vài mét mỗi giây, đủ để tiếp đất an toàn.

Không khí cũng có ích khi trời mưa. Nếu không có lực cản không khí, một giọt mưa rơi từ đám mây ở độ cao 2 ki-lô-mét sẽ chạm đất với tốc độ $\sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 2.000 m} \approx 198 m / s$ , hơn 700 km/h, bằng tốc độ của máy bay. Nhưng trong thực tế, ngay cả những giọt mưa lớn cũng chỉ rơi với tốc độ khoảng 9 m/s.

Chiếc lông chim và tờ giấy có tốc độ giới hạn rất nhỏ, đạt được gần như ngay lập tức, vì vậy chúng mới bay xuống chậm như thế. Vì sao hình dạng và khối lượng lại quan trọng như vậy, phần động lực học sẽ cho thấy. Hòn đá rơi xuống giếng hay vận động viên nhảy cầu có tốc độ nhiều nhất khoảng 70 ki-lô-mét trên giờ, và ở tốc độ đó lực cản không khí còn nhỏ, vì vậy các công thức rơi tự do khớp khá tốt.

Máy tính sự rơi tự do

Nhập thời gian rơi, công cụ sẽ cho biết vật rơi từ độ cao bao nhiêu và chạm đất với tốc độ bao nhiêu. Công cụ tính với g = 9,81 m/s² và bỏ qua lực cản không khí.

Ngược lại: nhập độ cao, công cụ sẽ xác định vật rơi trong bao lâu và chạm đất với tốc độ bao nhiêu.

Hòn đá rơi chỉ thực hiện một chuyển động, thẳng đứng xuống dưới. Nhưng nhiều khi một vật thực hiện nhiều chuyển động cùng lúc: chiếc thuyền nhỏ hướng sang bờ bên kia bị dòng nước cuốn đi, còn những giọt mưa rơi thẳng đứng thì nhìn từ ô tô đang chạy lại bay xiên. Thuyền sẽ cập bờ ở đâu và phải hướng mũi thế nào để cập bờ ngay đối diện, ta sẽ tính ở bài tiếp theo, Tổng hợp chuyển động.

« Bài trước: Phanh và quãng đường phanh

Bài tiếp: Tổng hợp chuyển động »