Định luật bảo toàn động lượng

Động lượng không tự sinh ra từ hư không và cũng không tự mất đi mà không để lại dấu vết. Nó chỉ có thể truyền từ vật này sang vật khác. Dù hai chiếc xe đẩy đâm vào nhau hay hai người đẩy nhau ra, một bên nhận được động lượng và bên kia mất đi đúng lượng ấy. Tổng hai động lượng vẫn giữ nguyên như trước. Đó là định luật bảo toàn động lượng, một trong những định luật hữu ích nhất của toàn bộ vật lí. Nhờ nó, ta tính được điều gì xảy ra sau va chạm mà không cần biết các lực đã tác dụng trong lúc va chạm, cũng như thời gian chúng tác dụng.

Hệ kín

Để định luật này đúng, trước hết phải nói rõ ta đang xét những vật nào. Ta chọn vài vật mà ta quan tâm, chẳng hạn hai toa tàu, và gọi chúng là một hệ. Các lực mà các vật trong hệ tác dụng lẫn nhau là nội lực. Các lực do thứ gì đó bên ngoài tác dụng lên chúng, chẳng hạn Trái Đất hay đường ray, là ngoại lực.

Hệ là hệ kín (hệ cô lập) khi không có ngoại lực nào tác dụng lên nó, hoặc khi các ngoại lực triệt tiêu nhau và hợp lực của chúng bằng 0. Trên Trái Đất không có hệ kín hoàn hảo, nhưng ta thường đạt được rất gần. Người trượt băng bị Trái Đất kéo xuống và mặt băng đỡ lên với một lực cùng độ lớn, nên hai lực này triệt tiêu nhau. Ma sát của giày trượt nhỏ và ta bỏ qua nó.

Ngược lại, hòn đá rơi từ vách núi không phải là hệ kín. Trái Đất kéo nó, đó là ngoại lực, vì vậy động lượng của nó tăng. Nhưng nếu ta đưa cả Trái Đất vào hệ thì lực giữa hòn đá và Trái Đất trở thành nội lực. Hòn đá kéo Trái Đất về phía mình với lực bằng lực Trái Đất kéo nó, và Trái Đất nhận được động lượng cùng độ lớn theo hướng ngược lại, chỉ là với khối lượng khổng lồ của mình, nó chuyển động với vận tốc vô cùng nhỏ. Quả bóng tennis bật ra khỏi tường cũng tương tự. Động lượng 2,4 kg·m/s mà nó mất đi đã được bức tường tiếp nhận, và cùng với tường là cả Trái Đất, vì khối lượng quá lớn nên Trái Đất chuyển động chậm đến mức không quan sát được.

Tổng động lượng của hệ là tổng vectơ động lượng của mọi vật trong hệ. Với hai vật:

$$\overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2$$

Khi các vật chuyển động trên một đường thẳng, ta chọn chiều dương và cộng các động lượng như các số có dấu. Vật chuyển động ngược chiều dương có động lượng âm.

Vì sao tổng động lượng không thay đổi

Xét hai vật của một hệ kín tác dụng lên nhau trong một thời gian ngắn, dù là va chạm hay đẩy nhau ra. Không có lực nào khác tác dụng lên chúng, hoặc các lực khác triệt tiêu nhau, nên chỉ có lực của vật kia làm thay đổi động lượng của mỗi vật. Vật 2 tác dụng lên vật 1 lực ${\overrightarrow{F}}_1$. Theo định luật III Newton, vật 1 tác dụng lên vật 2 một lực cùng độ lớn và ngược hướng:

$${\overrightarrow{F}}_2=-{\overrightarrow{F}}_1$$

Hai lực xuất hiện cùng một lúc và mất đi cùng một lúc, nên tác dụng trong cùng một khoảng thời gian Δt. Xung lượng của lực bằng độ biến thiên động lượng, vì vậy động lượng của hai vật thay đổi một lượng

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_1& ={\overrightarrow{F}}_1\cdot \mathrm{\Delta }t\\ \mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_2& ={\overrightarrow{F}}_2\cdot \mathrm{\Delta }t=-{\overrightarrow{F}}_1\cdot \mathrm{\Delta }t\end{array}$$

Các độ biến thiên động lượng có độ lớn bằng nhau và ngược hướng. Cộng chúng lại:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_1+\mathrm{\Delta }{\overrightarrow{p}}_2& ={\overrightarrow{F}}_1\cdot \mathrm{\Delta }t-{\overrightarrow{F}}_1\cdot \mathrm{\Delta }t\\ & =\overrightarrow{0}\end{array}$$

Tổng động lượng không thay đổi. Cái mà vật này nhận được thì vật kia mất đi. Lực khi va chạm không phải là không đổi, nhưng điều đó không quan trọng. Ta chia cả quá trình va chạm thành những khoảnh khắc rất ngắn; trong mỗi khoảnh khắc, hai lực có độ lớn bằng nhau và ngược hướng, nên tổng động lượng không thay đổi trong bất kì khoảnh khắc nào.

Bên trong hệ, các vật có thể va chạm, ép vào nhau hay đẩy nhau ra tuỳ ý. Nội lực bao giờ cũng xuất hiện thành từng cặp lực và phản lực, vì vậy chúng không thể làm thay đổi tổng động lượng. Chỉ có ngoại lực mới làm được điều đó. Với nhiều vật cũng vậy, mỗi cặp vật chỉ trao đổi động lượng với nhau. Vì thế nam tước Münchhausen, người kể rằng đã tự túm tóc kéo mình ra khỏi vũng lầy, chỉ bịa chuyện. Bàn tay kéo tóc, tóc kéo bàn tay, cả hai lực đều ở bên trong nam tước và không làm thay đổi tổng động lượng của ông. Như vậy ta đã suy ra định luật:

Tổng động lượng của một hệ kín không thay đổi. Các động lượng trước quá trình (không có dấu phẩy) và sau quá trình (có dấu phẩy) có tổng bằng nhau:

$${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2={\overrightarrow{p}}_1^{\prime }+{\overrightarrow{p}}_2^{\prime }$$

Chú ý rằng chỉ có tổng là không đổi. Động lượng của từng vật có thể thay đổi, và thường là có thay đổi.

Sự giật lùi của súng

Một người thợ săn bắn một khẩu súng trường khối lượng 4 kg. Viên đạn khối lượng 10 g bay ra với tốc độ 800 m/s. Khẩu súng chuyển động về phía sau nhanh thế nào? Tạm thời chưa xét đến tay hay vai của người thợ săn, khẩu súng chỉ đơn giản treo tự do trong không khí.

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =10\mathrm{g}=0,01\mathrm{kg}\\ v_1^{\prime }& =800\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ m_2& =4\mathrm{kg}\\ v_2^{\prime }& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Chọn chiều dương là chiều bay của viên đạn. Trước khi bắn, khẩu súng và viên đạn đều đứng yên, tổng động lượng bằng 0. Sau khi bắn, nó cũng phải bằng 0:

$$m_1\cdot v_1^{\prime }+m_2\cdot v_2^{\prime }=0$$

Trừ đi động lượng của viên đạn rồi chia cho khối lượng khẩu súng:

$$v_2^{\prime }=-\frac{m_1\cdot v_1^{\prime }}{m_2}$$

Thay số:

$$v_2^{\prime }=-\frac{0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{kg}}=-2\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Khẩu súng chuyển động với tốc độ 2 m/s, và dấu trừ cho biết về phía sau, ngược chiều bay của viên đạn. Viên đạn và khẩu súng có động lượng cùng độ lớn, 8 kg·m/s, chỉ khác hướng. Nhưng khẩu súng có khối lượng lớn hơn 400 lần, vì vậy chậm hơn 400 lần. Ta đã bỏ qua động lượng của khí thuốc súng phụt ra khỏi nòng cùng với viên đạn.

2 mét trên giây là hơn 7 ki-lô-mét trên giờ. Ai chỉ cầm súng lỏng tay sẽ bị báng súng thúc vào vai một cú đau điếng. Vì thế báng súng được tì chặt vào vai. Khi đó khẩu súng chuyển động cùng với người bắn, và động lượng 8 kg·m/s được chia cho một khối lượng lớn hơn nhiều. Với người bắn khối lượng 80 kg, ta được

$$v=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{84\mathrm{kg}}\approx 0,1\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Người bắn chỉ bị đẩy nhẹ, và khi tì chân chắc xuống đất thì thậm chí không bị đẩy chút nào.

Hai vận động viên trượt băng

Trên mặt băng, hai vận động viên trượt băng Lan và Thu đứng đối diện nhau. Họ áp lòng bàn tay vào nhau và đẩy nhau ra. Lan có khối lượng 50 kg, Thu 60 kg. Thu trượt đi với tốc độ 1 m/s. Lan trượt đi nhanh thế nào?

Chọn chiều dương là chiều Thu trượt đi, và kí hiệu Lan bằng chỉ số 1. Trước khi đẩy, cả hai đứng yên, vì vậy sau khi đẩy, tổng động lượng cũng bằng 0:

$$m_1\cdot v_1^{\prime }+m_2\cdot v_2^{\prime }=0$$

Rút ra vận tốc của Lan rồi thay số:

$$\begin{array}{rl}{v}_1^{\prime }& =-\frac{m_2\cdot v_2^{\prime }}{m_1}\\ & =-\frac{60\mathrm{kg}\cdot 1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{50\mathrm{kg}}=-1,2\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Lan trượt đi với tốc độ 1,2 m/s về phía ngược lại. Ta kiểm tra xem các động lượng có thực sự triệt tiêu nhau không:

$$50\mathrm{kg}\cdot (-1,2\mathrm{m}/\mathrm{s})+60\mathrm{kg}\cdot 1\mathrm{m}/\mathrm{s}=0$$

Mỗi người nhận được động lượng 60 kg·m/s, mỗi người về một phía.

Tốc độ của hai vận động viên tỉ lệ 1,2:1, tức là 6:5, đó là tỉ số nghịch đảo của khối lượng của họ 50:60. Người nhẹ hơn trượt đi nhanh hơn. Họ đẩy nhau mạnh thế nào không quan trọng. Nếu trong cùng thời gian họ đẩy nhau với lực gấp đôi thì cả hai sẽ trượt đi nhanh gấp đôi, nhưng tỉ số vẫn là 6:5.

Ai là người đẩy cũng không quan trọng. Ta dễ nghĩ rằng nếu chỉ Lan đẩy, còn Thu giữ tay cứng, thì chủ yếu là Thu trượt đi. Nhưng các lực trong cặp luôn có độ lớn bằng nhau, dù ai đẩy, và Lan nhẹ hơn vẫn trượt đi nhanh hơn.

Nhảy từ chiếc thuyền nhỏ lên bờ cũng dựa trên nguyên tắc ấy. Người nhảy đạp vào thuyền và thuyền đẩy người đó, vì vậy trong khi người đó bay về phía trước thì thuyền trôi về phía sau. Nếu thuyền nhẹ, nó trôi đi một đoạn, và người nhảy rơi xuống nước thay vì lên bờ.

Va chạm của các toa tàu

Ở ga lập tàu, một toa tàu khối lượng 20 t chạy với tốc độ 2 m/s và đâm vào một toa đang đứng yên có cùng khối lượng. Khi va chạm, các móc nối tự động sập lại và hai toa tiếp tục chạy cùng nhau. Nhanh thế nào?

Va chạm mà sau đó các vật dính vào nhau và chuyển động cùng nhau gọi là va chạm mềm. Chọn chiều dương là chiều chuyển động của toa thứ nhất.

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =m_2=20\mathrm{t}=20.000\mathrm{kg}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v^{\prime }& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Sau va chạm, hai toa có cùng vận tốc v', vì vậy động lượng của chúng là động lượng của một vật có khối lượng m₁ + m₂. Định luật bảo toàn động lượng:

$$m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=(m_1+m_2)\cdot v^{\prime }$$

Trước va chạm, chỉ toa thứ nhất có động lượng:

$$20.000\mathrm{kg}\cdot 2\mathrm{m}/\mathrm{s}=40.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Sau va chạm, cả hai toa cộng lại phải có đúng động lượng ấy. Chia nó cho tổng khối lượng của chúng:

$$v^{\prime }=\frac{40.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{40.000\mathrm{kg}}=1\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hai toa nối với nhau chạy với tốc độ 1 m/s, bằng một nửa tốc độ ban đầu. Khối lượng tăng gấp đôi còn động lượng giữ nguyên, nên tốc độ phải giảm còn một nửa. Nếu toa tàu đâm vào hai toa đã nối sẵn đang đứng yên thì cùng động lượng ấy được chia cho khối lượng gấp ba, 60.000 kg, và cả ba toa sẽ chạy với tốc độ bằng một phần ba, khoảng 0,67 m/s.

Các dấu màu cam cho biết đầu toa màu đỏ ở đâu sau những khoảng thời gian bằng nhau. Chừng nào toa đỏ chạy một mình, các dấu cách đều nhau. Sau khi nối với toa xanh dương, các khoảng cách vẫn bằng nhau, chỉ còn một nửa.

Bây giờ đến một trường hợp dễ sai hơn. Toa thứ hai không đứng yên mà chạy ngược về phía toa thứ nhất với tốc độ 1 m/s. Ngược chiều dương, nên v₂ = −1 m/s. Sẽ là sai nếu cộng động lượng của hai toa mà không để ý đến hướng, khi đó hai toa nối với nhau sẽ ra tốc độ 1,5 m/s. Vì vậy ta thay vận tốc của toa thứ hai kèm cả dấu trừ:

$$\begin{array}{rl}{v}^{\prime }& =\frac{20.000\mathrm{kg}\cdot 2\mathrm{m}/\mathrm{s}+20.000\mathrm{kg}\cdot (-1\mathrm{m}/\mathrm{s})}{40.000\mathrm{kg}}\\ & =\frac{20.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{40.000\mathrm{kg}}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Hai toa nối với nhau sẽ chạy với tốc độ 0,5 m/s theo chiều mà toa thứ nhất đã chạy. Nếu chúng chạy ngược chiều nhau với cùng tốc độ thì sẽ dừng lại tại chỗ.

Dù sao các toa tàu cũng không phải là hệ kín, bánh xe ma sát với đường ray. Nhưng các ngoại lực này nhỏ và va chạm chỉ kéo dài một phần nhỏ của giây, nên trong thời gian đó chúng làm thay đổi động lượng của các toa không đáng kể. Lực giữa các toa va vào nhau lớn hơn nhiều lần. Vì vậy ta có thể dùng định luật bảo toàn động lượng cho các va chạm, dù hệ không hoàn toàn kín.

Tên lửa

Một tên lửa đứng yên trong vũ trụ, cách xa các hành tinh, và tổng động lượng của nó cùng với nhiên liệu bằng 0. Động cơ đốt nhiên liệu và phụt khí nóng ra sau qua ống phụt với tốc độ khổng lồ. Như vậy khí nhận được động lượng hướng về phía sau, và để tổng động lượng của tên lửa cùng khí vẫn bằng 0, tên lửa phải nhận được động lượng cùng độ lớn hướng về phía trước. Tên lửa thực chất là một khẩu súng mỗi giây bắn ra phía sau một lượng khổng lồ những “viên đạn” nhỏ, và mỗi lần như vậy lại nhanh thêm một chút về phía trước.

Không có gì bên ngoài cần tác dụng lên hệ tên lửa và khí, tên lửa không cần mặt đất hay không khí và tăng tốc được cả trong chân không. Nó đẩy vào lượng khí do chính nó mang theo và tự phụt ra. Mỗi giây nó phụt ra càng nhiều khí và càng nhanh thì càng truyền cho khí nhiều động lượng và bản thân càng tăng tốc nhiều.

Khi va chạm, động lượng chỉ chuyển từ vật này sang vật khác. Lực thực sự lấy đi chuyển động và cuối cùng làm dừng gần như mọi thứ trượt trên mặt đất là ma sát. Bài tiếp theo, Lực ma sát, nói về nó.