Закон за запазване на импулса

Импулсът не възниква от нищо и не изчезва безследно. Може само да се предаде от едно тяло на друго. Независимо дали се сблъскат две колички, или двама души се отблъснат един от друг, единият получава импулс, а другият губи точно толкова. Сборът на двата импулса остава какъвто е бил. Това се нарича закон за запазване на импулса и е сред най-полезните закони на цялата физика. Благодарение на него можем да пресметнем какво ще се случи след сблъсъка, без да знаем силите, които са действали при него, нито времето на действието им.

Изолирана система

За да важи законът, първо трябва да кажем за какви тела говорим. Избираме няколко тела, които ни интересуват, например два вагона, и тях ще наричаме система. Силите, с които телата от системата действат едно на друго, са вътрешни сили. Силите, с които върху тях действа нещо отвън, например Земята или релсите, са външни сили.

Системата е изолирана, когато върху нея не действат никакви външни сили или когато външните сили взаимно се уравновесяват и равнодействащата им е нула. Съвършено изолирана система на Земята няма, но често много ѝ се доближаваме. Земята тегли кънкьора на леда надолу и ледът го държи отдолу със същата по големина сила, така че тези две сили се уравновесяват. Триенето на кънките е малко и го пренебрегваме.

Камъкът, който пада от скала, напротив, не е изолирана система. Тегли го Земята, това е външна сила, и импулсът му затова расте. Ако обаче в системата включим и Земята, силата между камъка и Земята става вътрешна. Камъкът тегли Земята към себе си със същата по големина сила, с която Земята тегли него, и Земята получава същия по големина импулс в обратна посока, само че при огромната си маса с нищожна скорост. Подобно е и с тенис топката, отскочила от стената. Импулсът 2,4 kg·m/s, който е загубила, е поет от стената и с нея от цялата Земя, която поради масата си се е задвижила неусетно бавно.

Общият импулс на системата е векторен сбор от импулсите на всички нейни тела. При две тела:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Когато телата се движат по една права, избираме положителна посока и импулсите събираме като числа със знак. Тяло, което се движи срещу положителната посока, има отрицателен импулс.

Защо общият импулс не се променя

Нека вземем две тела от изолирана система, които за кратко действат едно на друго, независимо дали се сблъскват, или се отблъскват. Други сили не действат върху тях или се уравновесяват, така че импулсът на всяко от тях се променя само от силата на другото. Тяло 2 действа върху тяло 1 със сила ${\vec{F}}_{1}$ . По третия закон на Нютон тяло 1 действа върху тяло 2 със същата по големина сила с противоположна посока:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

И двете сили възникват в един и същ момент и в един и същ момент изчезват, така че действат еднакво дълго, през времето Δt. Импулсът на силата е равен на промяната на импулса, затова импулсите на двете тела се променят с

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Промените на импулса са еднакви по големина и противоположни. Събираме ги:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Общият импулс не се е променил. Каквото е получило едното тяло, второто го е загубило. Силата при сблъсъка наистина не е постоянна, но това не пречи. Целия сблъсък разделяме на съвсем кратки мигове; във всеки от тях двете сили са еднакви по големина и противоположни, така че общият импулс не се променя в нито един.

Вътре в системата телата могат да се сблъскват, натискат и отблъскват, както си искат. Вътрешните сили идват винаги по двойки действие и противодействие, така че не могат да променят общия импулс. Може да го промени само външна сила. Същото важи за повече тела, всяка двойка само си разменя импулс. Барон Мюнхаузен, който уж се е извадил сам за косата от блатото, следователно си го е измислил. Ръката тегли косата, косата ръката и двете сили остават вътре в барона и не променят общия му импулс. С това изведохме закона:

Общият импулс на изолирана система не се променя. Импулсите преди процеса (без прим) и след него (с прим) имат един и същ сбор:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Внимавай, постоянен е само сборът. Импулсът на отделните тела може да се променя и обикновено се променя.

Откат на пушка

Ловец стреля с пушка с маса 4 kg. Куршум с маса 10 g излита със скорост 800 m/s. С каква скорост пушката се отмества назад? Засега не отчитаме ръцете и рамото на ловеца, пушката просто виси свободно във въздуха.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Положителната посока избираме по посоката на полета на куршума. Преди изстрела пушката и куршумът стоят, общият импулс е нула. Нула трябва да е и след изстрела:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Изваждаме импулса на куршума и делим на масата на пушката:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Заместваме:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Пушката тръгва със скорост 2 m/s и минусът казва, че назад, срещу полета на куршума. Куршумът и пушката имат импулс с една и съща големина, 8 kg·m/s, само с противоположна посока. Пушката обаче има четиристотин пъти по-голяма маса и затова е четиристотин пъти по-бавна. Импулса на газовете, които излитат от цевта заедно с куршума, пренебрегнахме.

Два метра в секунда са над седем километра в час. Който държи пушката само небрежно, получава с приклада силен удар в рамото. Затова прикладът се опира здраво в рамото. Пушката тогава потегля заедно със стрелеца и импулсът 8 kg·m/s се разпределя върху много по-голяма маса. Със стрелец с маса 80 kg е

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Това само леко побутва стрелеца и ако се опре здраво в земята, дори това не.

Две кънкьорки

На леда една срещу друга стоят кънкьорките Теодора и Люба. Опират длани в длани и се отблъскват. Теодора има маса 50 kg, Люба 60 kg. Люба се отдалечава със скорост 1 m/s. С каква скорост се отдалечава Теодора?

Положителната посока избираме по посоката, накъдето се отдалечава Люба, а Теодора означаваме с индекс 1. Преди отблъскването и двете стоят, така че общият импулс е нула и след това:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Изразяваме скоростта на Теодора и заместваме:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Теодора се отдалечава със скорост 1,2 m/s в обратната посока. Ще проверим, че сборът на импулсите наистина е нула:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Всяка от тях е получила импулс 60 kg·m/s, всяка на друга страна.

Теодора (в червено) и Люба (в синьо) преди отблъскването (в сиво) и след него, скорости v⃗_1' и v⃗_2'

Скоростите на кънкьорките са в отношение 1,2:1, тоест 6:5, а това е обратното на отношението на масите им 50:60. По-леката кънкьорка се отдалечава по-бързо. Не зависи от това колко силно са се отблъсквали. Ако се бяха отблъсквали еднакво дълго с два пъти по-голяма сила, двете щяха да се отдалечат два пъти по-бързо, но отношението остава 6:5.

Не зависи и от това коя от тях е бутала. Примамливо е да се мисли, че когато бута само Теодора, а Люба държи ръцете здраво, ще се отдалечи главно Люба. Силите в двойката обаче са еднакви по големина, който и да бута, и по-леката Теодора пак се отдалечава по-бързо.

На същия принцип се основава и скокът от малка лодка на брега. Скачачът се отблъсква от лодката и лодката от него, така че докато той лети напред, лодката се отдалечава назад. Когато е лека, тя се отдалечава доста и скачачът вместо на брега попада във водата.

Сблъсък на вагони

На маневрената гара вагон с маса 20 t се движи със скорост 2 m/s и се блъсва в стоящ вагон със същата маса. Автоматичните съединители при удара се захващат и вагоните продължават свързани. С каква скорост?

Сблъсък, след който телата остават свързани и продължават заедно, се нарича нееластичен сблъсък. Положителната посока избираме по посоката на движение на първия вагон.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

След сблъсъка двата вагона имат една и съща скорост v', така че импулсът им е импулс на едно тяло с маса m₁ + m₂. Законът за запазване на импулса:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Преди сблъсъка импулс има само първият вагон:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Същия импулс трябва да имат след сблъсъка двата вагона заедно. Делим го на общата им маса:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Свързаните вагони се движат със скорост 1 m/s, половината от първоначалната. Масата се е удвоила, а импулсът е останал същият, така че скоростта е трябвало да спадне наполовина. Ако вагонът се блъсне в стояща двойка свързани вагони, същият импулс би се разпределил върху утроената маса 60 000 kg и трите биха се движили с една трета от скоростта, около 0,67 m/s.

Вагон се блъсва в стоящ вагон и свързаните вагони продължават с половината от скоростта

Оранжевите маркировки показват къде е бил предният край на червения вагон след равни интервали от време. Докато червеният вагон се движи сам, те са на еднакво разстояние. След свързването със синия вагон разстоянията пак са еднакви, само че два пъти по-малки.

Сега идва по-коварният случай. Вторият вагон не стои, а се движи срещу първия със скорост 1 m/s. Срещу положителната посока, така че v₂ = −1 m/s. Грешка би било импулсите на двата вагона да се съберат без оглед на посоката, свързаните вагони тогава биха излезли със скорост 1,5 m/s. Скоростта на втория вагон затова заместваме със знака минус:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Свързаните вагони ще се движат със скорост 0,5 m/s по посоката, в която се е движил първият вагон. Ако се движеха един срещу друг еднакво бързо, щяха да спрат на място.

Вагоните все пак не са изолирана система, колелата се трият в релсите. Тези външни сили обаче са малки и сблъсъкът трае само част от секундата, така че за това време променят импулса на вагоните незначително. Силите между сблъскващите се вагони са многократно по-големи. Затова можем да използваме закона за запазване на импулса при сблъсъци, макар системата да не е напълно изолирана.

Ракета

Ракета стои в космоса далече от планетите и общият ѝ импулс заедно с горивото е нула. Двигателят изгаря гориво и изхвърля горещи газове през дюзата назад с огромна скорост. Газовете така получават импулс назад и за да остане общият импулс на ракетата с газовете нула, ракетата трябва да получи импулс със същата големина напред. Ракетата е всъщност пушка, която всяка секунда изстрелва назад огромно количество дребни „куршуми“ и сама всеки път малко ускорява напред.

Върху системата ракета и газове не е нужно да действа нищо отвън, ракетата не се нуждае от земя, нито от въздух и ускорява и във вакуум. Отблъсква се от газовете, които сама носи и сама изхвърля. Колкото повече газ на секунда изхвърли и колкото по-бързо, толкова по-голям импулс му предава и толкова повече сама ускорява.

Импулсът при сблъсък само се прелива от тяло на тяло. Силата, която наистина отнема движението и накрая спира почти всичко, което се плъзга по земята, е триенето. За него е следващата статия, Триене.

« Предишна: Импулс на тяло и импулс на сила

Следваща: Триене »