Primo principio della dinamica

Un giocatore di hockey lancia il disco su una pista di ghiaccio appena rifatta. Il disco scivola, percorre quasi tutta la pista e rallenta soltanto un poco, anche se ormai nessuno lo spinge più. Se il ghiaccio fosse perfettamente liscio e la pista infinita, il disco andrebbe avanti per sempre con la stessa velocità e in linea retta. È questo il nucleo del primo principio della dinamica, detto anche principio d’inerzia.

Il principio d’inerzia

Isaac Newton lo formulò nel 1687 più o meno così:

Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, finché non è costretto da forze esterne a cambiare quello stato.

Questo non significa che sul corpo non debba agire nessuna forza. Basta che sia nulla la risultante di tutte le forze che agiscono su di esso. Il disco è tirato verso il basso dalla Terra e spinto verso l’alto dal ghiaccio con una forza di pari modulo. L’attrito sul ghiaccio è così piccolo che quasi non lo notiamo. Le forze sono quindi praticamente in equilibrio e il disco si comporta come se su di esso non agisse niente. In breve:

$$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$$

Se la risultante $\overrightarrow{F}$ è nulla, la velocità $\overrightarrow{v}$ non cambia. Non cambia il suo modulo, quindi il corpo non accelera né rallenta, e non cambia la sua direzione, quindi il corpo non curva. La quiete è solo un caso particolare, quello in cui la velocità resta nulla. Il libro appoggiato resta fermo, il disco in moto continua a scivolare.

Vale anche il contrario: se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, la risultante delle forze su di esso è nulla. E se la velocità di un corpo cambia, nel modulo o nella direzione, la risultante non è nulla.

La capacità di un corpo di conservare la propria velocità è l’inerzia. Ce l’ha ogni corpo: un sasso, un disco, un autobus e anche tu.

Perché allora le cose si fermano?

L’esperienza di ogni giorno dice però il contrario. Smetti di pedalare e dopo un po’ la bicicletta si ferma. Anche un pallone che rotola sull’erba si ferma. Il filosofo greco Aristotele, nel IV secolo avanti Cristo, insegnava che lo stato naturale dei corpi terrestri è la quiete. Perché un corpo si muova, qualcosa deve spingerlo di continuo, e appena la spinta cessa il corpo si ferma da solo. Sembra ragionevole e la gente ci ha creduto per quasi duemila anni. Se lo pensavi anche tu, sei in buona compagnia. In realtà le cose stanno diversamente.

Galileo Galilei risolse la questione nel Seicento con un esperimento mentale su due piani inclinati.

La pallina lasciata andare dal piano di sinistra scende e su quello di fronte risale fino all’altezza da cui è partita, indicata dalla linea grigia tratteggiata. Lì si ferma per un istante. Più dolce è il piano di destra, più strada deve percorrere la pallina per raggiungere quell’altezza. Sul piano ripido blu poca, su quello dolce verde molta di più e per più tempo. E se il piano di destra non sale affatto, come il percorso orizzontale rosso? Allora la pallina non raggiunge mai l’altezza di partenza e perciò continua a rotolare con la stessa velocità, finché non esce dalla figura.

Una pallina vera risale solo fin quasi all’altezza di partenza e sul percorso orizzontale alla fine si ferma. La frenano l’attrito e la resistenza dell’aria, forze che agiscono contro il moto. Sono proprio loro a fermare la bicicletta e il pallone sull’erba. Un corpo non si ferma mai da solo, c’è sempre una forza che lo frena. Sul ghiaccio l’attrito è piccolo e per questo il disco arriva così lontano.

A questo si aggiunge un altro errore diffuso. Quando lanci una palla, è facile pensare che continui a volare perché dentro di essa è rimasta la forza della mano, che durante il volo si «esaurisce». Nella palla non c’è nessuna forza del genere. La mano agisce sulla palla solo fino al momento in cui la lasci. Dopo agiscono su di essa soltanto la Terra e la resistenza dell’aria, e in avanti non la spinge niente. Vola in avanti grazie all’inerzia. La forza serve a cambiare la velocità, non a mantenere il moto.

L’autobus parte

Sei in piedi su un autobus, senza tenerti, e l’autobus parte di scatto. Vieni strattonato all’indietro. Sembra che qualcosa ti tiri indietro, ma all’indietro su di te non agisce nulla. Il pavimento è partito e si è portato dietro i tuoi piedi, perché le scarpe vi aderiscono. Il resto del corpo non è costretto da niente a cambiare moto e quindi, per il principio d’inerzia, rimane fermo rispetto alla strada. I piedi vanno avanti, il corpo resta indietro e tu ti inclini all’indietro.

Appena l’autobus raggiunge una velocità costante e viaggia su una strada dritta, ci stai in piedi tranquillamente anche senza tenerti. La tua velocità è uguale a quella dell’autobus e niente deve cambiarla.

Per lo stesso motivo, in un’auto che accelera bruscamente, il sedile ti preme sulla schiena. Quella spinta è la forza che ti mette in moto insieme all’auto. Senza di essa resteresti fermo e l’auto ti sfuggirebbe da sotto.

L’autobus frena

La frenata è l’esatto contrario. L’autobus rallenta, ma tu continui ad andare con la stessa velocità finché qualcosa non ti ferma. Rispetto all’autobus ti sposti quindi in avanti.

Di quanto tempo disponi? Un pullman frena bruscamente con una decelerazione $|a|=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$. Un passeggero senza cintura ha davanti lo schienale del sedile, a 0,4 m di distanza. L’attrito con il sedile lo frena un po’, ma in una frenata brusca non basta, quindi lo trascuriamo.

Calcoliamo nel sistema di riferimento solidale con la strada. Nell’istante in cui l’autista preme il freno, l’autobus e il passeggero viaggiano con la stessa velocità v₀. Il passeggero continua di moto uniforme e nel tempo t percorre

$$s_1=v_0\cdot t.$$

L’autobus frena, è un moto uniformemente accelerato con accelerazione negativa, e percorre di meno:

$$s_2=v_0\cdot t-\frac{1}{2}\cdot |a|\cdot t^2$$

La differenza degli spazi percorsi dice di quanto il passeggero si è spostato rispetto all’autobus. La indichiamo con x:

$$x=s_1-s_2=\frac{1}{2}\cdot |a|\cdot t^2$$

La velocità iniziale si è semplificata, perciò non importa affatto a che velocità andasse l’autobus. Ricaviamo il tempo:

$$t=\sqrt{\frac{2\cdot x}{|a|}}$$

Sostituiamo:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 0,4\mathrm{m}}{5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\\ & =\sqrt{0,16{\mathrm{s}}^2}=0,4\mathrm{s}\end{array}$$

In questo tempo l’autobus rallenta di $|a|\cdot t=5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 0,4\mathrm{s}=2\mathrm{m}/\mathrm{s}$, mentre il passeggero non rallenta affatto. Contro lo schienale va quindi a sbattere a 2 m/s, cioè a circa 7 km/h, come se camminando a passo svelto ti scontrassi con un muro. E tutto in meno di mezzo secondo, quindi non c’è il tempo di aggrapparsi a qualcosa.

Per questo i pullman hanno le cinture di sicurezza.

L’autobus va verso destra e da quando si accende la luce rossa dei freni rallenta. Sotto la strada compaiono dei segni a intervalli di tempo uguali: quelli arancioni indicano dove si trovava il passeggero, quelli blu dove si trovava la parte anteriore dell’autobus. I segni arancioni all’inizio sono equidistanti, perché il passeggero non rallenta. Le distanze tra quelli blu durante la frenata si accorciano. Il passeggero si sposta quindi in avanti rispetto all’autobus, finché non si appoggia alla cintura verde. Solo la cintura lo rallenta e da lì in poi prosegue insieme all’autobus. Nell’animazione la cintura è molto allentata, per rendere ben visibile lo spostamento.

La tovaglia sfilata da sotto i piatti

Un trucco famoso: la tavola è apparecchiata, il prestigiatore strappa di colpo la tovaglia e i piatti restano sul piano nudo. I piatti potrebbe trascinarli con sé solo l’attrito tra la tovaglia e il piatto. Se si strappa abbastanza in fretta, agisce solo per una frazione di secondo e in un tempo così breve il piatto non si mette quasi in moto. L’inerzia lo tiene al suo posto. Chi tira piano lascia all’attrito abbastanza tempo e i piatti finiscono a terra con la tovaglia.

Prova, ma meglio non con il servizio buono della nonna. Appoggia una cartolina su un bicchiere e una moneta sopra la cartolina. Poi dai un colpetto secco alla cartolina in orizzontale. La cartolina vola via e la moneta cade nel bicchiere con un tintinnio.

Cinture e poggiatesta

In auto vale lo stesso che nell’autobus in frenata, solo che tutto è molto più violento. Quando l’auto urta un ostacolo, si ferma in circa un decimo di secondo. Ma il conducente senza cintura continua alla velocità che l’auto aveva prima dell’urto e a fermarlo sono il volante o il parabrezza. La cintura lo trattiene al sedile, quindi si ferma insieme all’auto e distribuisce la forza che lo ferma sul torace e sul bacino.

Il poggiatesta protegge negli urti da dietro. Immagina che un’altra auto vada a sbattere contro la tua, ferma: l’auto e il sedile scattano bruscamente in avanti e il sedile si porta dietro il tuo corpo. Nulla spinge la testa, che rimane quindi al suo posto. Il corpo le sfugge in avanti e il collo si piega bruscamente all’indietro. Il poggiatesta spinge la testa in avanti insieme al corpo. Per questo deve essere regolato abbastanza in alto da trovarsi dietro la testa, non dietro il collo.

Il sistema di riferimento inerziale

Guardiamo il passeggero senza cintura con gli occhi del vicino. Finché l’autobus viaggia a velocità costante, il passeggero rispetto a lui è fermo. Appena l’autobus comincia a frenare, il passeggero parte da solo in avanti, e di moto uniformemente accelerato, $x=\frac{1}{2}\cdot |a|\cdot t^2$. Nel sistema di riferimento solidale con l’autobus in frenata il principio d’inerzia dunque non vale: il passeggero si è messo in moto senza che sia comparsa alcuna nuova forza.

Se il principio d’inerzia vale o no, lo dice un test. Appoggia sul pavimento dell’autobus una pallina e non toccarla. Se resta ferma, nell’autobus il principio vale. Se si mette a rotolare da sola, non vale, perché in orizzontale niente la spinge. Dalla strada si vede il perché: la pallina conserva la sua velocità, è l’autobus sotto di lei che rallenta o curva.

Un sistema di riferimento in cui vale il principio d’inerzia si chiama sistema di riferimento inerziale, dal latino inertia, inerzia.

I primi due autobus dall’interno sembrano del tutto uguali. Per questo su un treno che viaggia dolcemente su un binario rettilineo, a occhi chiusi non capisci se si muove o sta fermo. È quindi inerziale ogni veicolo che rispetto alla strada va dritto a velocità costante: la pallina vi rimane ferma.

Neanche la strada è un sistema inerziale in senso stretto: la Terra ruota e orbita attorno al Sole. L’accelerazione dovuta alla rotazione però è al massimo circa 0,034 m/s², perciò considereremo la Terra un sistema inerziale.

Il principio d’inerzia dice che cosa fa un corpo su cui agisce una risultante nulla. Che cosa succede quando non è nulla, e perché un corpo di massa maggiore è più difficile da mettere in moto, lo spiega il prossimo articolo, il secondo principio della dinamica.