Cara menyelesaikan soalan kinematik dan dinamik

Sebuah kereta api bergerak di atas landasan yang lurus dengan laju malar 72 km/h. Berapa lamakah masa yang diambil untuk melalui 1.8 km?

Masa ialah jarak dibahagi dengan laju. Namun, sesiapa yang mengambil kalkulator dan membahagikan 1.8 dengan tujuh puluh dua akan memperoleh 0.025 dan tidak tahu apa yang perlu dilakukan dengannya. Nilai itu bukan saat dan bukan juga minit. Sesiapa yang membahagikan 1 800 meter dengan tujuh puluh dua pula memperoleh 25, yang kelihatan agak munasabah, tetapi sebenarnya tidak masuk akal. Soalan seperti ini mudah dikira. Yang lebih sukar ialah tidak melakukan kesilapan. Oleh itu, dalam fizik, kita patut menyelesaikan setiap soalan dengan cara yang sama, langkah demi langkah. Mari kita cuba langkah-langkah ini pada kereta api tadi.

Apa yang diketahui dan apa yang dicari

Mula-mula, kita senaraikan semua kuantiti yang diketahui daripada soalan, setiap satu dengan simbolnya, nombor dan unit. Di bawahnya, kita tulis apa yang dicari, dengan tanda soal sebagai ganti nombor:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1.8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Langkah ini mungkin kelihatan seperti kerja tambahan yang tidak perlu, tetapi sebenarnya langkah ini mengelakkan banyak masalah. Kita segera nampak apa yang ada dan apa yang tiada. Dalam soalan yang ditulis dalam bentuk ayat, nombor mudah terlepas pandang atau tertukar, tetapi dalam lajur tidak. Berdasarkan kuantiti dalam lajur itu, kita juga dapat mengenal pasti rumusnya: jarak, laju dan masa, iaitu s = v · t.

Tukarkan unit

Laju diberi dalam kilometer per jam, dan jarak dalam kilometer. Sebelum mengira, kita tukarkan kedua-duanya kepada unit asas, iaitu meter, saat dan meter per saat. Laju dibahagi dengan 3.6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

dan jarak didarab dengan seribu:

$$1.8\mathrm{km}=1.8\cdot 1000\mathrm{m}=1800\mathrm{m}.$$

Nilai yang telah ditukarkan terus ditambah ke dalam catatan:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1.8\mathrm{km}=1800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Unit dalam kurungan selepas tanda soal menunjukkan unit jawapan yang akan kita peroleh. Apabila kita menggantikan meter dan meter per saat, masa akan diperoleh dalam saat.

Adakah kita mesti menggunakan meter dan saat? Tidak. Kita boleh juga mengira dalam kilometer dan jam. Jarak dalam kilometer dan laju dalam kilometer per jam, maka masa akan diperoleh dalam jam. Yang penting hanya satu: unit tidak boleh dicampuradukkan. Jika kita membahagikan 1 800 m dengan laju 72 yang dalam kilometer per jam, kita memperoleh 25 unit sesuatu yang bukan saat dan bukan jam. Inilah nombor dua puluh lima yang kelihatan munasabah di awal artikel.

Lakaran

Bagi soalan tentang gerakan, melukis rajah hampir sentiasa berbaloi. Rajah itu tidak perlu cantik atau mengikut skala. Cukuplah kereta api dilukis sebagai kotak beroda, anak panah ke arah gerakannya dan bahagian landasan yang perlu dilaluinya.

Anak panah merah ialah halaju v, dan ukuran biru ialah jarak s yang perlu dilalui oleh kereta api. Pada setiap bahagian rajah, kita tulis simbol kuantiti dan, jika ada, nilainya. Bagi sebuah kereta api di atas landasan yang lurus, lakaran ini hampir tidak diperlukan. Namun, apabila dua buah kereta bergerak ke arah satu sama lain atau sebuah kereta api melalui terowong dan panjangnya menjadi penting, rajah sering menunjukkan apa yang sebenarnya berlaku dalam soalan itu lebih awal daripada pengiraan.

Huruf dahulu, nombor kemudian

Kita lebih suka menggantikan nombor dengan segera. Namun, lebih baik kita menyelesaikan seluruh soalan secara umum dahulu, iaitu dengan huruf sahaja, dan menggantikan nombor ke dalam rumus yang sudah siap. Daripada rumus s = v · t, kita ungkapkan masa dengan membahagikan kedua-dua belah dengan laju:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Barulah sekarang kita gantikan nilai yang telah ditukarkan:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Kereta api melalui 1.8 km dalam masa 90 s, iaitu satu setengah minit.

Mengapa banyak langkah begini sedangkan kita boleh terus membahagi? Bagi soalan yang sependek ini, perbezaannya kecil, tetapi penyelesaian umum mempunyai beberapa kelebihan yang cepat kelihatan dalam soalan yang lebih panjang:

• Daripada rumus berhuruf, kita dapat menilai sama ada rumus itu munasabah. Dalam rumus $t=\frac{s}{v}$, jarak berada di pengangka, maka landasan yang lebih panjang bermaksud masa yang lebih lama. Laju berada di penyebut, maka kereta api yang lebih laju sampai lebih awal. Kedua-duanya betul.
• Rumus membolehkan kita menyemak unit. Hal ini akan dibincangkan sebentar lagi.
• Jika kita tersilap, kita tahu di mana hendak mencari. Dalam baris yang penuh dengan nombor, kesilapan lebih mudah tersembunyi.
• Kita hanya menggunakan kalkulator sekali dan hanya membundarkan jawapan akhir. Mengapa hal ini penting akan kita lihat dalam bahagian kesilapan biasa.
• Jika soalan berubah, contohnya kereta api bergerak lebih laju, kita hanya perlu menggantikan semula. Rumusnya sudah ada.

Adakah unitnya betul?

Kita menggantikan nilai bersama unitnya, dan unit dikira sama seperti nombor. Meter dibatalkan dengan meter, dan membahagi dengan pecahan sama dengan mendarab dengan salingan pecahan itu:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Hasilnya saat, iaitu unit masa yang dicari. Dengan kilometer dan jam, hasilnya sama:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Semakan unit juga dapat mengesan rumus yang diungkapkan dengan salah. Sesiapa yang menukar pengangka dengan penyebut dan mengira $t=\frac{v}{s}$ akan memperoleh

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

dan itu bukan unit masa. Kita segera tahu bahawa ada yang tidak kena tanpa perlu mengira apa-apa.

Kedua-dua cara memberikan hasil yang sama

Kita kira sekali lagi kereta api itu dalam kilometer dan jam untuk memastikan cara ini juga berkesan:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0.025\mathrm{h}$$

Inilah nombor misteri 0.025 dari awal artikel. Kali ini kita tahu bahawa nombor itu dalam jam, kerana kilometer dibahagi dengan kilometer per jam memberikan jam. Untuk menukarkannya kepada saat, kita gantikan satu jam dengan 3 600 s:

$$0.025\mathrm{h}=0.025\cdot 3600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Hasilnya 90 s yang sama. Cara manakah yang lebih baik? Hal ini bergantung pada soalan. Dalam kinematik dan dinamik, kita hampir sentiasa menukarkan kepada meter dan saat, kerana pecutan dan daya juga dikira dalam unit tersebut. Bagi perjalanan dengan kereta atau kereta api, apabila semuanya dalam kilometer dan jam, biasanya lebih mudah kekal dengan unit itu.

Adakah jawapannya munasabah?

Akhir sekali, kita anggarkan sama ada jawapan itu masuk akal. Laju 72 km/h bermaksud 72 km dalam enam puluh minit, iaitu 1.2 km dalam satu minit. Jarak 1.8 km ialah satu setengah kali ganda jarak itu, maka kereta api memerlukan satu setengah kali ganda masa satu minit. Satu setengah minit, betul. Jawapan: kereta api melalui 1.8 km dalam masa satu setengah minit.

Selalunya pengalaman biasa sudah mencukupi. Mei Ling berjalan kaki ke sekolah sejauh 1.5 km dan perjalanan itu mengambil masa 18 min. Berapakah lajunya? Sesiapa yang membahagikan meter dengan minit akan memperoleh

$$\frac{1500}{18}\approx 83.3,$$

dan jika dia terlupa bahawa nilai itu dalam meter per minit, bukan per saat, lalu “menukarkannya” kepada kilometer per jam, dia akan memperoleh 83.3 · 3.6 ≈ 300. Mei Ling akan berjalan ke sekolah dengan laju 300 km/h, lebih laju daripada kereta api ETS. Jawapan seperti ini salah walaupun kita tidak tahu di mana kesilapan itu berlaku. Cara yang betul ialah menukarkan minit kepada saat, 18 · 60 s = 1 080 s, dan kita memperoleh

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1500\mathrm{m}}{1080\mathrm{s}}\approx 1.39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Selepas didarab dengan 3.6, hasilnya lebih kurang 5 km/h, iaitu laju berjalan biasa. Untuk semakan kasar, jadual laju sangat berguna: pejalan kaki berjalan kira-kira 5 km/h, penunggang basikal kira-kira 20 km/h, kereta di lebuh raya 130 km/h. Kereta yang bergerak 3 000 km/h atau kereta api yang melalui satu kilometer dalam tiga saat ialah tanda jelas bahawa kita perlu mencari kesilapan.

Ringkasan langkah

Kita telah melalui seluruh langkah dengan contoh kereta api. Ringkasnya:

1. Catatan. Senaraikan apa yang diketahui, setiap kuantiti dengan simbol, nombor dan unit, serta apa yang dicari, dengan tanda soal.

2. Penukaran unit. Tukarkan semuanya kepada unit yang sama, biasanya meter, saat dan meter per saat.

3. Lakaran. Lukis apa yang berlaku dan tulis kuantiti pada rajah.

4. Penyelesaian umum. Daripada rumus, ungkapkan kuantiti yang dicari dengan huruf sahaja.

5. Penggantian. Gantikan nombor bersama unit ke dalam rumus yang sudah siap dan hitung jawapannya.

6. Semakan unit. Semak bahawa unit yang diperoleh ialah unit kuantiti yang dicari.

7. Anggaran. Tanya diri sendiri sama ada jawapan itu munasabah, dan jawab soalan dengan ayat yang lengkap.

Kita akan menggunakan langkah yang sama dalam semua contoh seterusnya, termasuk dalam dinamik. Di sana, daya akan ditambah kepada kuantiti-kuantiti ini, dan lakaran akan menjadi lebih penting kerana kita akan melukis arah tindakan setiap daya.

Kesilapan biasa

Minit digantikan sebagai jam. Seorang pejalan kaki berjalan dengan laju 5 km/h. Sejauh manakah dia berjalan dalam 15 min? Sesiapa yang terus menggantikan lima belas ke dalam s = v · t akan memperoleh

$$s=5\cdot 15=75,$$

dan oleh sebab laju dalam kilometer per jam, dia menulis 75 km. Pejalan kaki itu akan berjalan lebih jauh daripada Kuala Lumpur ke Seremban dalam masa suku jam. Laju dalam kilometer per jam, maka masa mesti dalam jam. Lima belas minit ialah suku jam, 0.25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0.25\mathrm{h}=1.25\mathrm{km}$$

Kesilapan seperti ini mudah terlepas pandang apabila nombor digantikan tanpa unit. Dengan unit, kita akan memperoleh kilometer per jam darab minit, dan unit ini tidak terbatal.

Perpuluhan jam bukan minit. Contohnya, 1.5 h bukan sejam lima puluh minit, tetapi sejam tiga puluh minit, kerana satu jam mempunyai enam puluh minit, bukan seratus. Begitu juga 0.25 h bukan dua puluh lima minit, tetapi lima belas minit. Bahagian perpuluhan jam ditukarkan kepada minit dengan mendarabnya dengan enam puluh:

$$0.25\mathrm{h}=0.25\cdot 60\min =15\min$$

Membundarkan hasil perantaraan. Mari kita lihat semula kereta api yang dikira dalam jam. Kita memperoleh 0.025 h. Sesiapa yang terbiasa membundarkan kepada dua tempat perpuluhan akan menulis 0.03 h dan meneruskan pengiraan:

$$0.03\mathrm{h}=0.03\cdot 3600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Sebagai ganti 90 s, kita memperoleh 108 s, iaitu 18 s lebih. Ralatnya dua puluh peratus, hanya kerana satu pembundaran yang kelihatan tidak berbahaya. Kita hanya menambah lima per seribu jam, tetapi 0.025 ialah nombor yang kecil, dan lima per seribu ialah satu perlima daripadanya. Selepas didarab dengan 3 600, lima per seribu jam menjadi 18 s. Oleh itu, jangan bundarkan hasil perantaraan langsung, atau sekurang-kurangnya kekalkan dua tiga digit lebih daripada yang anda mahu dalam jawapan akhir. Cara yang paling selamat ialah penyelesaian umum: kita mengira dengan nombor hanya pada akhir dan membundarkan sekali sahaja, iaitu jawapan akhir dalam unit yang dikehendaki.

Penunggang basikal dari awal hingga akhir

Akhir sekali, kita selesaikan satu contoh sepenuhnya, langkah demi langkah. Seorang penunggang basikal menunggang di laluan basikal dengan laju malar 18 km/h. Berapa lamakah masa yang diambil untuk melalui 4.5 km?

Kita catat apa yang diketahui dan apa yang dicari:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4.5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Jarak dalam kilometer dan laju dalam kilometer per jam, unit tidak bercampur, maka kali ini kita tidak perlu menukar unit, dan masa akan diperoleh dalam jam. Sebagai semakan, kita akan mengiranya juga dalam saat. Lakarannya hampir sama dengan lakaran kereta api:

Penyelesaian umumnya sudah kita ketahui daripada contoh kereta api, $t=\frac{s}{v}$. Kita gantikan nilainya:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4.5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0.25\mathrm{h}$$

Unitnya betul: kilometer dibahagi dengan kilometer per jam memberikan jam. Suku jam pula sama dengan

$$0.25\mathrm{h}=0.25\cdot 60\min =15\min .$$

Sekarang perkara yang sama dalam unit asas. Kita tukarkan:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4.5\mathrm{km}=4500\mathrm{m}\end{array}$$

dan gantikan:

$$t=\frac{4500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

Satu minit mempunyai enam puluh saat, maka $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Kedua-dua cara memberikan jawapan yang sama.

Adakah jawapan ini munasabah? Dalam satu jam, penunggang basikal itu akan melalui 18 km, maka dalam suku jam dia melalui satu perempat jarak itu, iaitu 4.5 km. Tepat sejauh yang perlu dilaluinya. Kita tulis jawapan dengan ayat yang lengkap: penunggang basikal itu melalui 4.5 km dalam masa 15 min.

Dengan langkah yang sama, kita juga dapat menyelesaikan soalan berayat tentang gerakan yang melibatkan dua buah kereta bertemu atau sebuah kereta mengejar kereta lain. Di situ, lakaran dan penyelesaian umum benar-benar berguna.