Gerakan dengan pecutan seragam

Sebuah tren LRT berhenti di stesen, pintunya ditutup, dan tren itu mula bergerak dengan pecutan 1 m/s². Setiap saat, tren itu bergerak lebih laju sebanyak 1 m/s: selepas saat pertama 1 m/s, selepas saat kedua 2 m/s, selepas saat kesepuluh 10 m/s. Gerakan pada garis lurus dengan pecutan yang kekal malar dipanggil gerakan linear dengan pecutan seragam. Seragam kerana laju bertambah secara seragam, sama banyak dalam setiap saat. Tiada tren atau kereta yang mempunyai pecutan yang benar-benar malar, tetapi kereta yang mula bergerak apabila lampu bertukar hijau atau batu yang dilepaskan dari tangan sangat hampir dengannya.

Laju pada sebarang ketika

Berapakah laju tren itu selepas tujuh saat? Anda mungkin menjawab 7 m/s, dan jawapan anda betul. Rumus amnya diperoleh daripada rumus pecutan $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$. Jam randik dimulakan ketika kita mula memerhatikan gerakan, maka masa Δt hanyalah masa t pada jam randik. Perubahan laju ialah v − v₀, dengan v₀ ialah laju awal jasad ketika jam randik dimulakan. Kedua-dua belah didarab dengan masa, dan laju awal ditambah:

$$\begin{array}{rcl}a& =& \frac{v-v_0}{t}/\cdot t\\ a\cdot t& =& v-v_0/+v_0\\ v_0+a\cdot t& =& v\end{array}$$

Jadi, laju pada masa t ialah

$$v=v_0+a\cdot t$$

Setiap saat, a ditambah kepada laju asal, maka dalam t saat, a · t ditambah. Tren itu bertolak dari keadaan pegun, v₀ = 0 m/s, dan selepas sepuluh saat lajunya

$$v=1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=10\mathrm{m}/\mathrm{s}=36\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Meter per saat kuasa dua didarab dengan saat memberikan meter per saat, unitnya betul. Untuk menukar kepada kilometer per jam, kita darabkan dengan 3.6.

Graf laju ialah garis lurus

Rumus v = v₀ + a · t kelihatan sama dengan s = s₀ + v · t, iaitu rumus jarak bagi laju malar. Rumus ini ialah fungsi linear y = a · x + b, cuma masa sebagai ganti x, laju sebagai ganti y, pecutan sebagai kecerunan dan b ialah laju awal. Oleh itu, graf laju ialah garis lurus.

Garis lurus merah ialah graf tren. Garis ini bermula di asalan dan naik sebanyak 1 m/s dalam satu saat. Garis lurus biru ialah graf sebuah kereta yang bergerak perlahan di belakang sebuah traktor dengan laju 10 m/s, iaitu 36 km/h. Pemandu hilang sabar, menekan pedal minyak dan mahu memotong traktor itu. Kini kereta itu mempunyai pecutan 2 m/s². Grafnya bermula pada paksi mencancang pada ketinggian v₀ = 10 m/s dan kecerunannya dua kali ganda kecerunan graf tren. Kecerunan graf laju ialah pecutan, sama seperti kecerunan graf jarak ialah laju.

Jarak ialah luas di bawah graf

Berapa meterkah yang dilalui oleh kereta semasa memotong? Bagi laju malar, jarak tersembunyi dalam luas di bawah graf laju. Di sana, graf itu mengufuk dan luas di bawahnya berbentuk segi empat tepat. Adakah hal ini juga bermakna bagi graf yang menaik? Kita potong masa kepada jalur-jalur nipis, contohnya setiap satu per seratus saat. Dalam satu per seratus saat, laju kereta hanya berubah sebanyak 0.02 m/s, maka dalam setiap jalur kereta bergerak dengan laju yang hampir malar dan melalui jarak yang sama dengan luas jalur itu, iaitu tinggi darab lebar. Semakin nipis jalur-jalur itu, semakin tepat hal ini. Apabila jarak dalam semua jalur ditambah, kita memperoleh seluruh luas di bawah graf.

Di bawah graf laju terdapat sebuah trapezium. Garis putus-putus mengufuk memotongnya kepada segi empat tepat biru dan segi tiga merah. Segi empat tepat biru itu selebar t dan setinggi v₀. Luasnya, v₀ · t, sepadan dengan jarak yang akan dilalui oleh kereta jika kereta itu tidak memecut langsung.

Segi tiga merah ialah ganjaran kerana memecut, iaitu jarak tambahan berbanding bergerak dengan laju asal. Segi tiga ini bersudut tegak. Satu sisinya yang mengapit sudut tegak ialah masa t, dan sisi yang satu lagi ialah pertambahan laju Δv = a · t. Segi tiga seperti ini ialah separuh daripada segi empat tepat dengan sisi yang sama, maka luasnya ialah

$$\frac{1}{2}\cdot t\cdot a\cdot t=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2.$$

Segi empat tepat dan segi tiga bersama-sama memberikan jarak bagi gerakan dengan pecutan seragam:

$$s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$$

Apabila jasad bertolak dari keadaan pegun, segi empat tepat itu hilang dan yang tinggal hanya segi tiga, $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Dalam sepuluh saat, tren itu melalui

$$s=\frac{1}{2}\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (10\mathrm{s}{)}^2=50\mathrm{m}.$$

Saat kuasa dua terbatal, dan yang tinggal ialah meter.

Kita mungkin tergoda untuk mengira dengan cara yang lebih mudah, s = v · t dengan laju akhir: 10 m/s · 10 s = 100 m. Hasil ini dua kali ganda nilai sebenar, kerana tren itu hanya bergerak 10 m/s pada akhir sekali. Dalam graf, kita akan mengukur seluruh segi empat tepat sebagai ganti segi tiga, dan luas segi empat tepat itu dua kali ganda.

Memotong traktor

Sekarang kita lalui seluruh proses memotong langkah demi langkah. Kereta itu memecut selama lima saat. Berapakah lajunya kemudian dan berapa meterkah jarak yang dilaluinya dalam masa itu? Mula-mula maklumat yang diberi:

$$\begin{array}{rl}{v}_0& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ a& =2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =5\mathrm{s}\\ v& =?,s=?\end{array}$$

Unitnya unit asas, dan rumus am sudah ada. Nombor digantikan dahulu ke dalam rumus laju:

$$v=10\mathrm{m}/\mathrm{s}+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 5\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}=72\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Kemudian ke dalam rumus jarak:

$$\begin{array}{rl}s& =10\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 5\mathrm{s}+\frac{1}{2}\cdot 2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (5\mathrm{s}{)}^2\\ & =50\mathrm{m}+25\mathrm{m}=75\mathrm{m}\end{array}$$

Jadi, segi empat tepat biru dalam rajah mempunyai luas 50 m dan segi tiga merah 25 m. Adakah jawapan ini munasabah? Jika kereta itu bergerak dengan laju asal 10 m/s sepanjang masa, kereta itu akan melalui 50 m. Jika kereta itu bergerak dengan laju akhir 20 m/s sepanjang masa, kereta itu akan melalui 100 m. Jawapannya terletak di antara kedua-dua nilai ini. Dalam lima saat, kereta itu memecut hingga 72 km/h dan melalui 75 m.

Dalam masa yang sama, traktor terus bergerak dengan laju 10 m/s dan melalui 50 m, sama dengan segi empat tepat biru. Jadi, dalam lima saat, kereta itu mendahului traktor sebanyak 25 m, iaitu sebanyak luas segi tiga merah. Jika traktor itu menarik treler yang panjang, pemandu kereta perlu memecut lebih lama.

Laju purata tepat di tengah-tengah

Luas trapezium juga boleh dikira sekali gus: purata kedua-dua sisi selari darab tinggi. Di sini, sisi-sisi selari ialah v₀ dan v, dan tingginya ialah masa:

$$s=\frac{v_0+v}{2}\cdot t$$

Namun, jarak juga boleh ditulis sebagai laju purata darab masa, $s=\overline{v}\cdot t$. Oleh itu, bagi gerakan dengan pecutan seragam,

$$\overline{v}=\frac{v_0+v}{2}.$$

Laju purata terletak tepat di tengah-tengah antara laju awal dengan laju akhir. Bagi kereta itu, nilainya 15 m/s, dan 15 m/s · 5 s sekali lagi ialah 75 m. Hal ini hanya berlaku kerana graf laju ialah garis lurus. Dalam situasi lain, laju purata tidak semestinya terletak di tengah-tengah, contohnya dalam perjalanan pergi 60, balik 40.

Jarak antara tanda 1 : 3 : 5 : 7

Apabila kereta yang mula bergerak meninggalkan tanda setiap saat, jarak antara tanda-tanda bertambah dalam nisbah 1:3:5:7:9. Pada graf laju, hal ini dapat dilihat dengan sekali pandang.

Luas di bawah graf tren dipotong kepada jalur satu saat, berselang-seli merah dan biru. Luas setiap jalur ialah jarak yang dilalui oleh tren dalam saat itu. Garis-garis putih membahagikan luas itu kepada segi tiga kecil yang sama, setiap satunya separuh daripada segi empat sama kecil 1 s darab 1 m/s. Dalam jalur pertama terdapat satu segi tiga kecil, dalam jalur kedua tiga, dalam jalur ketiga lima dan dalam jalur keempat tujuh. Setiap jalur berikutnya lebih tinggi sebanyak satu segi empat sama kecil, maka dua segi tiga kecil ditambah di dalamnya. Jarak dalam setiap saat, dan bersamanya jarak antara tanda-tanda, berada dalam nisbah 1:3:5:7.

Apabila jalur-jalur ditambah, kita memperoleh jarak dari garisan permulaan: selepas satu saat satu segi tiga kecil, selepas dua saat 1 + 3 = 4, selepas tiga saat 1 + 3 + 5 = 9, selepas empat saat 16. Setiap kali hasilnya ialah kuasa dua bilangan saat, tepat mengikut rumus $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$. Pecutan yang berbeza akan menjadikan graf lebih curam atau lebih landai, tetapi bilangan segi tiga kecil tetap sama.

Graf jarak ialah parabola

Kita tuliskan jarak tren $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ bagi setiap saat genap. Dalam satu saat, tren itu melalui 0.5 m, dalam dua saat 2 m, dalam tiga saat 4.5 m, dalam empat saat 8 m dan dalam sepuluh saat 50 m. Masa dua kali ganda memberikan jarak empat kali ganda, dan masa tiga kali ganda memberikan jarak sembilan kali ganda, kerana masa dalam rumus dikuasaduakan.

Titik-titik tidak lagi terletak pada garis lurus, tetapi pada lengkung yang dipanggil parabola. Mengapakah lengkung ini melengkung ke atas? Kecerunan graf jarak ialah laju, dan laju tren sentiasa bertambah. Pada mulanya tren itu pegun dan graf mengufuk, kemudian graf semakin curam. Garis lurus putus-putus kelabu ialah graf gerakan dengan laju purata malar 5 m/s yang berakhir di titik yang sama selepas sepuluh saat. Tren itu pada mulanya ketinggalan, dan menjelang akhir dapat menebus kekurangannya.

Ahli matematik akan berkata bahawa jarak ialah fungsi kuadratik bagi masa, kerana masa kuasa dua terdapat di dalamnya. Graf bagi setiap fungsi kuadratik ialah parabola, termasuk bagi kereta yang tidak bertolak dari keadaan pegun. Namun, grafnya $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ tidak bermula secara mengufuk. Kereta itu sudah bergerak 10 m/s pada permulaan, maka graf bermula dari asalan terus dengan kecerunan 10 m/s, kemudian naik semakin curam. Maklumat lanjut tentang parabola terdapat dalam artikel fungsi kuadratik.

Laju tanpa masa

Tren itu memecut hingga 50 km/h dalam masa kira-kira empat belas saat. Berapa meterkah yang dilaluinya dalam masa itu? Jarak ini boleh dikira melalui masa, tetapi boleh juga tanpa masa: terdapat rumus yang tidak mengandungi masa langsung. Daripada rumus v = v₀ + a · t, kita ungkapkan masa, $t=\frac{v-v_0}{a}$, dan masukkan ke dalam rumus dengan laju purata:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{v+v_0}{2}\cdot \frac{v-v_0}{a}\\ & =\frac{(v+v_0)\cdot (v-v_0)}{2\cdot a}\end{array}$$

Dalam pengangka, kita kembangkan kurungan, dan sebutan-sebutan di tengah saling membatalkan:

$$\begin{array}{rl}(v+v_0)\cdot (v-v_0)& =v^2-v\cdot v_0+v_0\cdot v-v_0^2\\ & =v^2-v_0^2\end{array}$$

Jadi, $s=\frac{v^2-v_0^2}{2\cdot a}$. Kedua-dua belah didarab dengan 2 · a dan $v_0^2$ ditambah:

$$v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$$

Kita semak dengan contoh kereta: (10 m/s)² + 2 · 2 m/s² · 75 m = 100 m²/s² + 300 m²/s² = 400 m²/s², dan nilai ini memang (20 m/s)².

Tren itu bertolak dari keadaan pegun, maka v² = 2 · a · s dan jaraknya ialah $s=\frac{v^2}{2\cdot a}$. Kita tidak akan membundarkan laju, sebaliknya memasukkannya ke dalam rumus sebagai pecahan:

$$\begin{array}{rl}s& =\frac{{\left(\frac{50}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)}^2}{2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 96\mathrm{m}\end{array}$$

Untuk mencapai lima puluh, tren itu memerlukan hampir seratus meter landasan.

Rumus yang sama juga berlaku bagi membrek, cuma dengan pecutan negatif apabila arah positif menghala mengikut arah gerakan. Jika kereta membrek hingga berhenti, laju akhir sifar, dan hubungan $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ menyatakan berapa meter yang diperlukan untuk berhenti. Inilah jarak brek, yang bertambah dengan laju jauh lebih cepat daripada yang disukai oleh pemandu.

Berapa meterkah yang sebenarnya diperlukan oleh kereta apabila masa sebelum pemandu menekan brek turut diambil kira, dan mengapa kereta yang bergerak dengan laju dua kali ganda memerlukan jarak brek empat kali ganda, akan kita kira dalam artikel seterusnya, Membrek dan jarak brek.