Satah condong

Semasa bercuti di negara bersalji, Hafiz meletakkan kereta luncur salji di atas bukit yang dilitupi salji dan melepaskannya. Kereta luncur itu mula bergerak dan semakin laju di sepanjang perjalanan. Yang menariknya ke bawah hanyalah Bumi, dan berat menghala tegak ke bawah, bukan condong di sepanjang cerun. Mengapakah kereta luncur itu tidak jatuh tegak ke tanah, tetapi bergerak di sepanjang bukit? Dan mengapakah kereta luncur itu turun lebih perlahan dari cerun yang landai berbanding dari cerun yang curam? Kedua-duanya diterangkan oleh satu helah: berat dileraikan kepada dua komponen.

Cerun, gelongsor, tanjakan dan papan condong dalam fizik dipanggil satah condong. Kecondongannya dinyatakan oleh sudut α yang dibentuknya dengan tanah mengufuk, iaitu sudut kecondongan.

Leraian berat

Berat $\vec{W}$ digantikan dengan dua daya yang bersama-sama memberikan kesan yang sama. Satu menghala ke bawah di sepanjang cerun, dan satu lagi serenjang ke dalam cerun. Jadi, berat ialah pepenjuru segi empat tepat yang dibina daripada kedua-dua komponen, sama seperti dalam setiap leraian daya.

Leraian berat W⃗ yang bertindak pada kereta luncur kepada komponen F⃗_1 di sepanjang cerun dan komponen F⃗_2 yang serenjang dengan cerun

Komponen putus-putus biru ${\vec{F}}_{1}$ menarik kereta luncur ke bawah di sepanjang cerun, manakala komponen yang satu lagi, ${\vec{F}}_{2}$ , menekannya ke dalam salji. Komponen ini sahaja tidak menggerakkannya ke mana-mana, kerana salji tidak membenarkan kereta luncur itu menembusinya. Jadi, daripada seluruh berat, hanya bahagian F₁ yang menggerakkan kereta luncur, dan inilah jawapan kepada soalan pertama.

Berapakah magnitud komponen-komponen itu? Berat, komponen ${\vec{F}}_{2}$ dan tembereng garis putus-putus kelabu dari hujung ${\vec{F}}_{2}$ ke hujung $\vec{W}$ membentuk segi tiga bersudut tegak dengan sudut tegak di hujung ${\vec{F}}_{2}$ . Berat ialah hipotenusnya, dan sudut di pusat graviti di antara berat dengan komponen ${\vec{F}}_{2}$ ditandakan α dalam rajah, sama seperti sudut kecondongan cerun. Mengapa demikian akan kita tunjukkan sebentar lagi. Mula-mula, kita ingat semula sinus dan kosinus: sinus sudut dalam segi tiga bersudut tegak ialah nisbah sisi bertentangan kepada hipotenus, dan kosinus ialah nisbah sisi bersebelahan kepada hipotenus. Bertentangan dengan sudut α terletak sisi putus-putus yang sama panjang dengan F₁, dan sisi bersebelahan ialah F₂, maka

$\sin α = \frac{F_{1}}{W}, kos α = \frac{F_{2}}{W} .$

Kedua-dua kesamaan didarab dengan berat:

$\begin{aligned} F_{1} & = W \cdot \sin α \\ F_{2} & = W \cdot kos α \end{aligned}$

Yang tinggal ialah penjelasan yang dijanjikan. Berat serenjang dengan tanah mengufuk, dan komponen ${\vec{F}}_{2}$ serenjang dengan cerun. Bayangkan tanah dan cerun diputar melalui sudut tegak. Tanah menjadi garis tegak, cerun menjadi garis serenjang dengan cerun, dan sudut di antara keduanya tidak berubah semasa diputar. Oleh itu, sudut antara berat dengan garis serenjang kepada cerun sama dengan sudut antara tanah dengan cerun. Hal ini berlaku kerana dua sudut tirus yang lengan-lengannya saling serenjang sama besar.

Sesiapa yang tidak suka memutar boleh mengira. Panjangkan berat secara tegak ke bawah hingga ke tanah. Garis tegak, tanah dan cerun membentuk segi tiga bersudut tegak dengan sudut α di bawah berhampiran tanah, maka di cerun sudutnya ialah 90° − α. Garis serenjang kepada cerun membentuk sudut tegak dengan cerun, maka garis itu menyimpang dari garis tegak sebanyak 90° − (90° − α) = α.

Kita semak kebenarannya dengan kes ekstrem. Di atas tanah mengufuk, α = 0°, sin α = 0 dan kosα = 1. Komponen di sepanjang cerun hilang dan seluruh berat menekan permukaan, tepat seperti yang sepatutnya. Semakin curam cerun, semakin besar sinus dan semakin kuat kereta luncur ditarik ke bawah. Inilah jawapan kepada soalan kedua.

Mari kita cuba dengan kereta luncur Hafiz yang berjisim 10 kg di atas cerun dengan kecondongan 30°. Beratnya ialah

$W = m \cdot g = 10 kg \cdot 9.81 {m / s}^{2} = 98.1 N .$

Kita gantikan sin 30° = 0.5 dan kos30° ≈ 0.866:

$\begin{aligned} F_{1} & = 98.1 N \cdot 0.5 = 49.05 N \\ F_{2} & = 98.1 N \cdot 0.866 \approx 85 N \end{aligned}$

Awas, 49.05 N + 85 N bukan 98.1 N. Komponen ditambah sebagai anak panah, bukan sebagai nombor.

Dalam ujian, sinus dan kosinus sering tertukar. Anda tidak perlu menghafal yang mana satu, cukup fikirkan tanah mengufuk. Di situ, komponen di sepanjang cerun mesti hilang, dan nilai sifar pada 0° diberikan oleh sinus, bukan kosinus. Jadi, komponen di sepanjang cerun ialah komponen dengan sinus.

Tindak balas normal di atas cerun

Salji mengenakan tindak balas normal $\vec{R}$ pada kereta luncur, dan daya ini sentiasa serenjang dengan permukaan, di sini serenjang dengan cerun ke arah luar. Kereta luncur tidak bergerak secara serenjang dengan cerun, tidak terbenam dan tidak terpelanting. Oleh itu, daya-daya pada arah ini berada dalam keseimbangan, dan tindak balas normal mengimbangi komponen ${\vec{F}}_{2}$ :

$R = W \cdot kos α$

Di atas cerun, tindak balas normal lebih kecil daripada berat. Bagi kereta luncur Hafiz, nilainya 85 N, bukan 98.1 N. Di sinilah kesilapan paling kerap berlaku dalam ujian: sesiapa yang mengambil R = m · g daripada lantai mengufuk juga akan memperoleh geseran yang salah di atas cerun.

Semakin curam cerun, semakin kecil kosinus, semakin lemah kereta luncur menekan salji dan semakin kecil geseran. Bagi dinding tegak, kos90° = 0 dan tindak balas normal hilang sepenuhnya.

Kereta luncur tanpa geseran

Kita mulakan dengan cerun yang licin sempurna, contohnya kereta luncur dengan pelari keluli di atas ais. Rintangan udara diabaikan. Tindak balas normal membatalkan komponen ${\vec{F}}_{2}$ , dan hanya tinggal satu daya di sepanjang cerun, iaitu F₁. Menurut hukum daya, daya ini sama dengan jisim darab pecutan:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

Kita bahagikan dengan jisim:

$a = g \cdot \sin α$

Jisim terbatal. Kereta luncur kosong dan kereta luncur yang dinaiki Hafiz akan memecut secara sama di atas cerun yang licin, sama seperti jasad ringan dan berat jatuh dengan pecutan yang sama. Kereta luncur yang lebih besar jisimnya memang ditarik ke bawah oleh daya yang lebih besar, tetapi kereta luncur itu juga lebih sukar mula bergerak dengan kadar yang sama.

Bagi cerun dengan kecondongan 30°:

$a = 9.81 {m / s}^{2} \cdot 0.5 \approx 4.9 {m / s}^{2}$

Tepat separuh daripada pecutan graviti. Kes-kes ekstrem juga betul: di atas tanah mengufuk, sin α = 0 dan kereta luncur tidak bergerak dengan sendirinya, manakala bagi dinding tegak, sin 90° = 1 dan a = g, iaitu jatuh bebas.

Kereta luncur dengan geseran

Namun, di atas salji sebenar, kereta luncur diperlahankan oleh geseran. Daya geseran $\vec{f}$ menghala ke atas di sepanjang cerun, bertentangan dengan gerakan, dan berkadar dengan tindak balas normal. Di atas cerun, yang dimasukkan ke dalam rumus bukan seluruh berat, tetapi hanya bahagiannya W · kosα, iaitu tindak balas normal:

$f = μ \cdot R = μ \cdot W \cdot kos α$

Bagi pelari di atas salji yang padat, kita ambil μ = 0.1. Pelari keluli atau plastik menggelongsor di atas salji jauh lebih baik berbanding, contohnya, getah. Kereta luncur Hafiz diperlahankan oleh daya

$f = 0.1 \cdot 85 N \approx 8.5 N .$

Semua daya yang bertindak pada kereta luncur di atas cerun: berat W⃗ bersama komponennya, tindak balas normal R⃗ dan daya geseran f⃗, dilukis bagi geseran yang lebih besar daripada geseran kereta luncur di atas salji

Daya paduan di sepanjang cerun ialah komponen F₁ yang dikurangkan oleh geseran, kira-kira 49.05 N − 8.5 N ≈ 40.6 N, dan pecutannya ialah

$a = \frac{40.6 N}{10 kg} \approx 4.06 {m / s}^{2} .$

Secara umum: hukum daya di sepanjang cerun ialah

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot kos α,$

dan apabila persamaan dibahagi dengan jisim, kita memperoleh rumus pecutan di atas cerun dengan geseran:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot kos α)$

Di sini juga jisim terbatal. Selepas menggantikan 9.81 m/s² · (0.5 − 0.1 · 0.866), kita memperoleh sekali lagi 4.06 m/s².

Di atas cerun yang lebih landai dengan kecondongan 10°, sin 10° ≈ 0.174 dan kos10° ≈ 0.985, maka

$\begin{aligned} a & = 9.81 {m / s}^{2} \cdot (0.174 - 0.1 \cdot 0.985) \\ \approx 0.74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

Kecondongannya satu pertiga, tetapi pecutannya kurang daripada satu perlima. Di sini, geseran mengambil sebahagian besar komponen di sepanjang cerun. Dan di atas cerun dengan kecondongan 5°, nilai dalam kurungan akan menjadi negatif: kereta luncur yang sedang bergerak akan menjadi semakin perlahan hingga berhenti. Mengapa kereta luncur itu kemudian kekal pegun diterangkan dalam bahagian seterusnya.

Bilakah jasad kekal pegun

Hafiz dan adiknya menarik kereta luncur kembali ke atas dan berehat seketika di bahagian laluan yang lebih landai. Kereta luncur berada di situ dan tidak menggelongsor turun. Kereta luncur itu ditahan oleh geseran statik, yang sentiasa tepat sebesar yang diperlukan untuk mengimbangi daya yang menarik kereta luncur ke bawah, di sini komponen F₁. Nilainya paling besar ialah μ_s · R, dengan μ_s ialah pekali geseran statik. Jadi, kereta luncur kekal pegun selagi

$W \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot W \cdot kos α .$

Nisbah sinus kepada kosinus dipanggil tangen, $\tan α = \frac{\sin α}{kos α}$ . Dalam segi tiga bersudut tegak, tangen ialah nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan. Berat terbatal, dan selepas dibahagi dengan kosinus, yang tinggal ialah

$\tan α \leq μ_{s} .$

Sama ada jasad di atas cerun menggelongsor turun tidak ditentukan oleh jisim, tetapi hanya oleh kecondongan dan permukaan. Sudut daripada nilai tangen yang diketahui diberikan oleh butang tan⁻¹ pada kalkulator.

Di atas cerun dengan kecondongan 5°, tan 5° ≈ 0.087, kurang daripada 0.1, dan geseran statik lebih besar lagi daripada geseran kinetik. Oleh itu, kereta luncur yang sudah berhenti tidak akan bergerak semula dengan sendirinya di situ. Rumus dengan pecutan negatif hanya memperihalkan gerakan menuruni cerun.

Daripada sini diperoleh satu eksperimen yang mudah. Letakkan sebuah blok kayu daripada set mainan binaan di atas papan dan angkat satu hujung papan itu perlahan-lahan. Bagi kayu di atas kayu, μ_s ≈ 0.5, maka blok itu mula bergerak apabila tan α mencapai 0.5, iaitu lebih kurang pada 27°.

Begitu juga dengan kereta yang diletakkan dengan roda dibrek. Di atas jalan tar yang kering, kereta itu dapat ditahan walaupun di jalan yang sangat curam. Namun, di atas jalan berais, pekali geseran statik hanya kira-kira 0.1, dan tan α = 0.1 sepadan dengan kecondongan kurang daripada 6°. Bukit seperti itu terdapat di hampir setiap bandar, dan kereta akan menggelongsor turun di atas ais, sama ada ringan atau berat.

Geseran kinetik lebih kecil daripada geseran statik. Oleh itu, pada kecondongan kira-kira 20°, blok itu kekal pegun dengan sendirinya, tetapi selepas diketuk, blok itu mula bergerak dan terus memecut, kerana tan 20° ≈ 0.36 lebih besar daripada nilai kinetik μ = 0.3.

Contoh soalan ujian langkah demi langkah

Sebuah peti epal berjisim 20 kg terletak di atas papan kayu yang menghubungkan bak lori dengan tanah secara condong. Papan itu sepanjang 2 m dan membentuk sudut 35° dengan tanah. Pekali geseran kinetik kayu di atas kayu ialah 0.3, dan pekali geseran statik 0.5. Adakah peti itu akan mula bergerak dengan sendirinya? Berapakah pecutannya dan dengan laju berapakah peti itu sampai ke tanah?

Catat maklumat yang diberi. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ = 0.3, μ_s = 0.5, g = 9.81 m/s². Kita cari a dan v. Unitnya unit asas, maka tiada apa-apa yang perlu ditukar.

Lukis daya-daya. Daya-dayanya sama seperti bagi kereta luncur.

Adakah peti akan bergerak? tan 35° ≈ 0.70 lebih besar daripada μ_s = 0.5. Geseran statik tidak dapat menahan peti itu.

Leraikan berat. Untuk gambaran dalam nombor: W = m · g = 196.2 N, sin 35° ≈ 0.5736 dan kos35° ≈ 0.8192. Di sepanjang papan, peti ditarik oleh F₁ ≈ 112.5 N, dan ke dalam papan ditekan oleh F₂ ≈ 160.7 N. Namun, selepas ini kita mengira dengan huruf dan menggantikan nombor hanya pada akhir.

Tambahkan daya di sepanjang papan. Secara serenjang dengan papan, daya-daya seimbang, maka R = m · g · kosα dan daya geseran ialah f = μ · m · g · kosα. Di sepanjang papan, F₁ menarik ke bawah dan geseran ke atas:

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ \cdot m \cdot g \cdot kos α$

Ungkapkan pecutan. Selepas dibahagi dengan jisim:

$a = g \cdot (\sin α - μ \cdot kos α)$

Laju pada akhir. Peti bermula dari keadaan pegun dan memecut secara seragam, maka v² = 2 · a · s dan

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

Gantikan nilainya. Pecutan dibiarkan tidak dibundarkan dalam kalkulator:

$\begin{aligned} a & = 9.81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0.3 \cdot kos 35 °) \\ \approx 3.22 {m / s}^{2} \\ v & \approx \sqrt{2 \cdot 3.216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ \approx 3.6 m / s \end{aligned}$

Semakan: pecutan lebih kecil daripada g · sin 35° ≈ 5.6 m/s² tanpa geseran, seperti yang sepatutnya.

Peti itu mula bergerak dengan sendirinya, memecut kira-kira 3.22 m/s² dan sampai ke tanah dengan laju kira-kira 3.6 m/s, hampir 13 km/h. Demi epal-epal itu, sebaiknya ada seseorang yang menyambut peti itu di bawah.

Jadi, di atas satah condong, kita hanya perlu meleraikan berat, dan selebihnya dikira seperti di atas tanah mengufuk: keseimbangan secara serenjang dengan permukaan, hukum daya di sepanjang permukaan. Namun, semua jasad setakat ini bergerak mengikut garis lurus.

Apakah yang diperlukan supaya kereta luncur atau kereta membelok akan ditunjukkan dalam artikel seterusnya, Daya memusat.

« Artikel sebelumnya: Geseran

Artikel seterusnya: Daya memusat »