Gerakan linear dengan halaju seragam

Di lebuh raya, anda menetapkan kawalan pelayaran pada 108 km/h. Kini kereta bergerak sama laju sepanjang masa, lurus ke hadapan, dan jarum meter laju langsung tidak bergerak. Berapa meterkah yang dilalui oleh kereta dalam satu saat? Kita tukarkan laju kepada meter per saat, iaitu kita bahagikan dengan 3.6:

$$108\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{108}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Setiap saat, kereta itu bergerak sejauh 30 m. Dalam dua saat 60 m, dalam tiga saat 90 m, dan seterusnya, setiap saat bertambah tiga puluh meter.

Di sebelah kiri, kita melihat jalan dari atas, dan kereta bergerak ke atas. Setiap kali genap satu saat, kereta kita meninggalkan tanda jingga di atas jalan, contohnya setitis cat. Semua tanda itu sama jarak antara satu sama lain, iaitu 30 m, kerana kereta melalui jarak yang sama dalam setiap saat. Di sebelah kanan ialah graf. Paksi mengufuk menunjukkan masa t dalam saat, dan paksi mencancang menunjukkan jarak s dalam meter yang telah dilalui oleh kereta dari tanda pertama. Paksi mencancang mempunyai skala yang sama dengan jalan, maka titik merah pada graf sentiasa sama tinggi dengan kereta. Dalam animasi, enam saat perjalanan berlalu, dan setiap saat bertambah satu tanda di atas jalan dan satu titik jingga pada graf.

Gerakan pada garis lurus yang laju jasadnya tidak berubah dipanggil gerakan linear dengan halaju seragam. Gerakan linear ialah gerakan yang lintasannya berupa garis lurus. Gerakan seragam ialah gerakan yang jasadnya melalui jarak yang sama dalam selang masa yang sama panjang, iaitu sama dengan laju seketika yang malar. Kereta yang bergerak dengan laju malar pada garis lurus tidak boleh membelok kerana kereta itu akan terkeluar dari garis lurus, dan tidak boleh berpatah balik kerana kereta itu perlu memperlahankan lajunya hingga sifar untuk berbuat demikian. Jadi, arah halajunya juga tidak berubah. Tidak seperti kereta di bulatan jalan raya, seluruh halaju sebagai vektor kekal malar, iaitu magnitud dan arahnya.

Tiada benda yang bergerak tepat seperti ini: sentiasa ada sedikit angin atau jalan yang mula mendaki bukit. Namun, kereta dengan kawalan pelayaran di lebuh raya yang rata, eskalator di stesen LRT atau kereta api di landasan yang lurus sangat hampir dengan gerakan linear dengan halaju seragam.

Rumus jarak

Jika anda hanya mencari rumus, jarak s yang dilalui oleh jasad dalam gerakan seragam dengan laju v dalam masa t dikira sebagai

$$s=v\cdot t$$

Rumus ini diperoleh daripada rumus laju $v=\frac{s}{t}$ yang sudah kita kenali. Kita hanya perlu mendarab kedua-dua belah dengan masa t:

$$\begin{array}{rcl}v& =& \frac{s}{t}/\cdot t\\ v\cdot t& =& s\end{array}$$

Dengan kata lain: jika kereta bergerak sejauh 30 m setiap saat, dalam sepuluh saat kereta itu bergerak sepuluh kali ganda jauhnya. Dalam satu minit, iaitu 60 s, kereta dengan kawalan pelayaran itu bergerak sejauh

$$s=30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 60\mathrm{s}=1800\mathrm{m}=1.8\mathrm{km}.$$

Unit dikira seperti nombor. Saat di penyebut dibatalkan dengan saat yang kita darabkan, dan yang tinggal ialah meter:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \mathrm{s}=\mathrm{m}$$

Jika anda memperoleh, contohnya, meter darab saat, anda tahu bahawa terdapat kesilapan di mana-mana.

Awas, rumus s = v · t hanya berlaku bagi gerakan seragam. Jika laju berubah-ubah, kita tidak tahu laju mana yang perlu digantikan ke dalam rumus. Yang dapat membantu hanyalah laju purata, $s=\overline{v}\cdot t$. Keluarga Farah memandu ke Ipoh dengan laju purata 82 km/h selama 2.5 h, maka mereka melalui 82 km/h · 2.5 h = 205 km, walaupun meter laju mereka menunjukkan pelbagai nilai daripada sifar hingga seratus sepuluh.

Berapa lamakah masanya?

Apabila rumus s = v · t dibahagi dengan laju v, kita memperoleh masa:

$$t=\frac{s}{v}$$

Lebuh raya dari Kuala Lumpur ke Ipoh sepanjang kira-kira 205 km. Jika kereta bergerak sepanjang perjalanan dengan laju malar 100 km/h, perjalanan itu mengambil masa

$$t=\frac{205\mathrm{km}}{100\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2.05\mathrm{h}.$$

Lebuh raya itu memang tidak selurus pembaris, tetapi hal ini tidak menjejaskan rumus. Jarak diukur di sepanjang lintasan, maka s = v · t berlaku bagi setiap gerakan seragam, termasuk bagi kereta yang melalui selekoh dengan laju malar.

Berapakah 2.05 h dalam jam dan minit? Pastinya bukan dua jam lima minit. Satu jam mempunyai enam puluh minit, bukan seratus. Kita kekalkan dua jam penuh dan tukarkan baki lima per seratus jam kepada minit:

$$0.05\mathrm{h}=0.05\cdot 60\min =3\min$$

Perjalanan itu mengambil masa 2 h dan 3 min.

Yang tinggal ialah kuantiti ketiga, iaitu laju. Laju dikira dengan rumus $v=\frac{s}{t}$. Siti menunggang basikal di laluan basikal yang lurus di tebing sungai dengan rentak yang sama, dan dia melalui 6 km dalam masa 20 min. Dua puluh minit ialah satu pertiga jam:

$$v=\frac{6\mathrm{km}}{\frac{1}{3}\mathrm{h}}=18\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Membahagi dengan satu pertiga sama dengan mendarab dengan tiga, maka hasilnya 6 · 3 = 18. Sesiapa yang tidak suka pecahan boleh menukarkan semuanya kepada meter dan saat. Dua puluh minit ialah 20 · 60 s = 1 200 s:

$$v=\frac{6000\mathrm{m}}{1200\mathrm{s}}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kedua-dua cara memberikan hasil yang sama, kerana 5 m/s darab 3.6 ialah 18 km/h.

Graf jarak ialah garis lurus

Kita tuliskan jarak yang dilalui oleh kereta dengan kawalan pelayaran dari awal artikel dalam jadual:

Setiap baris jadual ialah satu titik pada graf: masa diukur pada paksi mengufuk dan jarak pada paksi mencancang. Beginilah titik-titik jingga dalam animasi di atas terbentuk. Kesemuanya terletak pada satu garis lurus yang bermula dari asalan. Mengapakah garis lurus?

Dari setiap titik ke titik berikutnya terdapat anak tangga yang sama: satu saat ke kanan (biru) dan 30 m ke atas (merah). Semua anak tangga sama lebar dan sama tinggi, maka garis yang menyambungkan titik-titik bersebelahan mempunyai kecerunan yang sama dan bersambung tanpa patah. Jadi, semua titik terletak pada satu garis lurus. Jika kereta memecut di mana-mana, anak tangga di situ lebih tinggi dan garis itu akan patah ke atas. Hal yang sama berlaku di antara saat-saat genap. Dalam setengah saat, kereta bergerak 15 m, dalam satu per sepuluh saat 3 m, dan semua titik ini terletak pada garis lurus yang sama. Oleh itu, graf dilukis dengan garis penuh, bukan hanya sebagai tujuh titik.

Kecuraman garis lurus itu dapat dilihat daripada sejauh mana garis itu naik apabila kita bergerak sedikit ke kanan. Lebar anak tangga, iaitu perubahan masa, ditulis Δt, dan tinggi anak tangga, iaitu perubahan jarak, Δs. Nisbah kedua-duanya memberikan kecerunan:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{30\mathrm{m}}{1\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hasilnya nombor yang sudah kita kenali: laju kereta. Kecerunan graf jarak ialah laju. Inilah tepat rumus $v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$ bagi laju seketika, cuma dalam gerakan seragam kita tidak perlu memastikan bahagian itu pendek. Jika kita mengambil bahagian graf yang lebih panjang, kecerunannya tetap sama. Antara saat pertama dengan saat kelima, 4 s telah berlalu, dan dalam masa itu kereta bergerak 150 m − 30 m = 120 m:

$$\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{120\mathrm{m}}{4\mathrm{s}}=30\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ahli matematik akan berkata bahawa jarak ialah fungsi linear bagi masa. Fungsi linear ditulis dalam bentuk y = a · x + b, dan grafnya sentiasa garis lurus. Nombor a menyatakan sebanyak mana y bertambah apabila x bertambah satu, dan nombor ini dipanggil kecerunan. Nombor b menentukan ketinggian tempat garis lurus itu menyilang paksi mencancang. Rumus kita s = v · t ialah fungsi linear dengan masa sebagai ganti x, jarak sebagai ganti y, laju sebagai kecerunan dan b = 0, maka garis lurus itu melalui asalan. Hubungan seperti ini ialah ubahan langsung: dalam masa dua kali ganda, kereta bergerak sejauh dua kali ganda, dan dalam masa tiga kali ganda, sejauh tiga kali ganda.

Kereta lebih laju, graf lebih curam

Di atas sebuah jambatan, kereta kita dengan kawalan pelayaran memotong sebuah lori yang bergerak 72 km/h, iaitu

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Masa dan jarak kedua-duanya diukur dari jambatan, dan kedua-dua graf dilukis dalam satu rajah.

Garis lurus merah kereta lebih curam daripada garis lurus biru lori kerana kereta bergerak lebih jauh setiap saat. Semakin curam graf jarak, semakin laju gerakannya. Jika lori itu berhenti, grafnya akan mengufuk dengan kecerunan sifar.

Nilai juga boleh dibaca daripada graf, sebab itulah grid dilukis. Di manakah lori itu selepas 3 s? Pada paksi mengufuk, kita cari angka tiga, kemudian naik mengikut garis putus-putus hingga bertemu garis lurus biru. Dari situ, kita bergerak ke kiri ke paksi mencancang dan membaca 60 m. Sebaliknya, kita bertanya bilakah kereta itu berada 120 m selepas jambatan. Pada paksi mencancang, kita cari 120, bergerak ke kanan ke garis lurus merah dan kemudian ke bawah ke paksi masa: selepas 4 s. Kedua-duanya boleh disemak dengan pengiraan:

$$20\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 3\mathrm{s}=60\mathrm{m},\frac{120\mathrm{m}}{30\mathrm{m}/\mathrm{s}}=4\mathrm{s}$$

Jarak mencancang antara kedua-dua garis lurus menunjukkan sejauh mana kereta berada di hadapan lori. Selepas enam saat, jaraknya 180 m − 120 m = 60 m. Jarak pendahuluan ini bertambah 10 m setiap saat, iaitu tepat beza antara kedua-dua laju, 30 m/s − 20 m/s = 10 m/s.

Apabila kereta tidak bermula dari sifar

Setakat ini, kita mengukur jarak dari tempat jam randik dimulakan. Namun, jam randik sering dimulakan apabila jasad sudah melalui sebahagian perjalanan. Di sepanjang lebuh raya terdapat batu tanda kilometer, iaitu tiang bernombor yang menunjukkan jarak dalam kilometer dari permulaan lebuh raya. Sebuah kereta melepasi batu tanda kilometer ke-21, dan mulai saat itu kereta itu bergerak dengan laju malar 90 km/h. Pada kilometer ke berapakah kereta itu berada selepas dua jam?

Dalam dua jam, kereta itu bergerak 90 km/h · 2 h = 180 km. Namun, batu tanda kilometer tidak akan menunjukkan 180 kerana kereta itu tidak bermula dari sifar. Kita mengira seolah-olah kereta itu sudah melalui 21 km ketika jam randik dimulakan, kerana batu tanda kilometer mengukur dari permulaan lebuh raya. Jarak ini dipanggil kedudukan awal dan ditandakan s₀. Jarak pada masa t diperoleh dengan menambah jarak yang dilalui oleh kereta sejak jam randik dimulakan kepada kedudukan awal:

$$s=s_0+v\cdot t$$

Kita gantikan nilainya:

$$\begin{array}{rl}s& =21\mathrm{km}+90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 2\mathrm{h}\\ & =21\mathrm{km}+180\mathrm{km}=201\mathrm{km}\end{array}$$

Selepas dua jam, kereta itu berada pada kilometer ke-201. Jika kedudukan awal sifar, kita memperoleh semula rumus asal s = v · t.

Graf tidak lagi bermula di asalan, tetapi pada paksi mencancang pada ketinggian s₀ = 21 km yang ditunjukkan oleh tembereng garis biru. Kecerunannya masih laju: setiap jam, graf naik sebanyak 90 km. Garis lurus putus-putus kelabu ialah graf bagi kereta yang bergerak sama laju tetapi bertolak dari permulaan lebuh raya. Kedua-dua garis lurus selari kerana kecerunannya sama. Garis merah hanya lebih tinggi sebanyak s₀. Dalam bahasa fungsi linear y = a · x + b, a ialah laju dan b ialah kedudukan awal.

Sekarang sebaliknya: bilakah kereta itu tiba di kilometer ke-156? Kita mudah tergoda untuk membahagikan 156 dengan sembilan puluh, tetapi dengan cara itu kita akan memperoleh masa yang diperlukan untuk tiba dari permulaan lebuh raya. Kita bermula daripada rumus dan mengungkapkan masa daripadanya:

$$\begin{array}{rcl}{s}_0+v\cdot t& =& s/-s_0\\ v\cdot t& =& s-s_0/:v\\ t& =& \frac{s-s_0}{v}\end{array}$$

Kita gantikan nilainya:

$$t=\frac{156\mathrm{km}-21\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\frac{135\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1.5\mathrm{h}$$

Kereta itu tiba di kilometer ke-156 selepas satu setengah jam, iaitu selepas 1 h dan 30 min.

Sebenarnya, nombor pada batu tanda kilometer tidak menyatakan jarak yang telah dilalui oleh kereta, tetapi kedudukannya di lebuh raya. Selagi kereta bergerak ke hadapan sahaja, nombor itu sama dengan jarak yang akan dilaluinya dari permulaan lebuh raya. Mengapa hal ini penting akan kita lihat di akhir artikel.

Graf laju

Laju juga boleh dilukis pada graf. Kereta dengan kawalan pelayaran sentiasa bergerak 30 m/s pada sebarang masa, maka graf lajunya ialah garis mengufuk pada ketinggian 30.

Jarak tidak terdapat pada mana-mana paksi graf ini. Jarak tersembunyi dalam luas di bawah graf. Di bawah garis itu, bagi sepuluh saat pertama, terbentuk segi empat tepat merah selebar 10 s dan setinggi 30 m/s. Luasnya, iaitu lebar darab tinggi, ialah

$$30\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 10\mathrm{s}=300\mathrm{m}.$$

Inilah tepat jarak s = v · t yang dilalui oleh kereta dalam sepuluh saat. Luas di sini bukan dalam meter persegi, tetapi dalam meter, kerana sisi-sisi segi empat tepat itu bukan panjang, tetapi laju dan masa. Garis-garis putih membahagikan segi empat tepat itu kepada sepuluh jalur, satu bagi setiap saat. Setiap jalur mempunyai luas 30 m/s · 1 s = 30 m, sama seperti tiga puluh meter antara tanda-tanda bersebelahan di atas jalan dalam animasi di awal artikel.

Mengapa perlu bersusah payah dengan luas sedangkan pendaraban sudah mencukupi? Kerana luas di bawah graf laju bermaksud jarak walaupun graf itu tidak mengufuk. Apabila kita sampai kepada gerakan dengan pecutan, graf laju akan menaik, dan di bawahnya akan terbentuk segi tiga atau trapezium dan bukan lagi segi empat tepat. Jarak kemudian dikira sebagai luasnya, dan rumus luas segi tiga dan segi empat tepat sudah mencukupi kerana trapezium boleh dibahagi kepada kedua-dua bentuk itu.

Berhenti atau bergerak balik?

Pada waktu pagi, Hafiz bertolak dari rumah dengan basikal di sepanjang jalan yang lurus. Selama dua jam, dia menunggang dengan laju malar 20 km/h, kemudian dia makan tengah hari di sebuah restoran selama sejam, dan akhirnya dia pulang ke rumah dengan laju yang sama.

Kali ini, paksi mencancang tidak menunjukkan jarak, tetapi kedudukan. Di sepanjang jalan, kita lukis paksi x dan meletakkan asalan di rumah Hafiz. Kedudukan x kemudiannya menyatakan sejauh mana Hafiz dari rumah di sepanjang jalan, sama seperti batu tanda kilometer menunjukkan kedudukan kereta di jalan. Garis putus-putus kelabu ialah jarak yang telah dilalui oleh Hafiz, seperti yang ditunjukkan oleh komputer basikal pada hendal. Hingga tamat makan tengah hari, garis itu bertindih dengan kedudukan. Bahagian merah sudah kita kenali. Dalam dua jam, Hafiz bergerak sejauh 40 km, dan graf menaik dengan kecerunan 20 km/h.

Bahagian biru mengufuk. Masa berlalu, tetapi Hafiz kekal 40 km dari rumah, maka dia pegun. Graf mengufuk bermaksud pegun, kecerunannya sifar dan lajunya juga sifar.

Bahagian hijau menurun. Hafiz pulang, dan kedudukannya x berkurang sebanyak 20 km setiap jam. Graf yang menurun bermaksud gerakan balik. Laju Hafiz dapat dilihat daripada sebanyak mana graf menurun dalam satu jam, di sini sebanyak 20 km, maka dia bergerak 20 km/h. Halajunya kini berlawanan arah dengan halajunya pada waktu pagi. Oleh itu, ahli fizik kadangkala memberikan halaju ini tanda negatif, yang menyatakan bahawa kedudukan x berkurang dengan masa.

Sekarang jelas mengapa kita membezakan, semasa membincangkan batu tanda kilometer, antara kedudukan jasad dengan jarak yang telah dilaluinya. Komputer basikal mengukur jarak, dan jarak tidak pernah berkurang dengan masa. Oleh itu, garis putus-putus terus menaik selepas makan tengah hari dan pada waktu petang berakhir pada 80 km, manakala graf kedudukan berakhir pada sifar kerana Hafiz sudah kembali ke rumah. Semasa bergerak dalam satu arah, kedudukan dan jarak hanya berbeza dengan nilai awal, sebab itulah rumus jarak s = s₀ + v · t sudah mencukupi bagi batu tanda kilometer. Apabila jasad berpatah balik, kita mesti mengira dengan kedudukan.

Seluruh perjalanan Hafiz bukan gerakan seragam. Perjalanan itu terdiri daripada tiga bahagian yang seragam. Laju purata bagi seluruh hari ialah jumlah jarak dibahagi dengan jumlah masa, termasuk makan tengah hari. Jumlah jarak bukan kedudukan akhir, kerana kedudukan akhir sifar. Jumlah jarak ialah 80 km, iaitu tempat graf putus-putus berakhir, atau 40 km + 0 km + 40 km:

$$\overline{v}=\frac{80\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=16\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Bahagian graf yang tegak tidak akan pernah wujud. Bahagian seperti itu bermaksud Hafiz berpindah ke tempat lain dalam masa sifar. Graf yang melengkung ke kiri pula bermaksud masa bagi Hafiz berjalan ke belakang. Setakat ini, kedua-duanya belum pernah berjaya dilakukan oleh sesiapa.

Kalkulator

Kalkulator pertama mengira jarak daripada laju dan masa, manakala kalkulator kedua mengira masa daripada jarak dan laju. Nilai yang telah diisi diambil daripada contoh dalam artikel: sepuluh saat dengan kawalan pelayaran pada 108 km/h dan perjalanan dari Kuala Lumpur ke Ipoh dengan laju malar seratus.

Dengan rumus s = s₀ + v · t dan graf jarak, kita juga boleh menyelesaikan soalan berayat yang melibatkan sebuah kereta mengejar kereta lain atau dua buah kereta api bergerak ke arah satu sama lain. Setiap kenderaan mempunyai garis lurusnya sendiri pada graf, dan tempat kenderaan-kenderaan itu bertemu ialah titik persilangan garis-garis lurus itu. Kita akan sampai kepada soalan seperti ini nanti.

Sebelum itu, dalam artikel Cara menyelesaikan soalan kinematik dan dinamik, kita akan meneliti langkah-langkah yang berguna bagi setiap soalan fizik: mencatat maklumat yang diberi, menukar unit, melukis lakaran dan penyelesaian umum.