Soalan berayat tentang gerakan

Pada pukul lapan pagi, sebuah kereta bertolak dari Kuala Lumpur melalui lebuh raya dengan laju 90 km/h. Pada masa yang sama, sebuah kereta lain bertolak dari Ipoh ke arahnya dengan laju 115 km/h. Jarak lebuh raya antara kedua-dua bandar ialah 205 km. Bila dan di manakah kedua-dua kereta itu bertemu?

Soalan tentang gerakan kelihatan berbeza setiap kali, tetapi hampir semuanya dapat diselesaikan dengan helah yang sama. Bagi setiap kenderaan, kita tulis kedudukannya pada masa t, kemudian kita cari ketika kedua-duanya berada di tempat yang sama. Semuanya bergerak dengan laju malar, maka kita hanya memerlukan rumus gerakan linear dengan halaju seragam dan langkah biasa untuk menyelesaikan soalan.

Dua buah kereta bergerak ke arah satu sama lain

Kita catat apa yang diketahui dan apa yang dicari. Kereta dari Kuala Lumpur diberi indeks 1, dan kereta dari Ipoh indeks 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =90\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =115\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =205\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Semuanya dalam kilometer dan jam, unit tidak bercampur, maka kita tidak perlu menukar unit. Masa akan diperoleh dalam jam.

Lakaran sangat membantu. Di sepanjang lebuh raya, kita lukis paksi x. Asalan diletakkan di Kuala Lumpur, maka Ipoh terletak pada 205 km.

Kereta merah bergerak mengikut arah paksi, maka kedudukannya hanyalah jarak yang telah dilaluinya:

$$x_1=v_1\cdot t$$

Kereta biru bermula pada 205 km dan bergerak melawan arah paksi. Oleh itu, kedudukannya berkurang sebanyak 115 km setiap jam:

$$x_2=s-v_2\cdot t$$

Tanda negatif di sini muncul atas sebab yang sama seperti graf Hafiz yang menurun semasa dia pulang ke rumah. Ahli fizik boleh sahaja mengatakan bahawa kereta biru mempunyai halaju −115 km/h. Kita kekalkan laju sebagai positif, seperti yang ditunjukkan oleh meter laju, dan arahnya ditulis dengan tanda dalam rumus.

Kedua-dua kereta bertemu apabila kedua-duanya berada di tempat yang sama, iaitu apabila x₁ = x₂. Kita selesaikan soalan ini secara umum:

$$\begin{array}{rcl}{v}_1\cdot t& =& s-v_2\cdot t/+v_2\cdot t\\ v_1\cdot t+v_2\cdot t& =& s\\ t\cdot (v_1+v_2)& =& s/:(v_1+v_2)\\ t& =& \frac{s}{v_1+v_2}\end{array}$$

Baris kedua bermakna walaupun tanpa persamaan. Ungkapan v₁ · t ialah jarak yang dilalui oleh kereta merah, v₂ · t jarak yang dilalui oleh kereta biru, dan bersama-sama kedua-duanya melalui seluruh jarak antara kedua-dua bandar. Setiap jam, kedua-dua kereta semakin dekat sebanyak 90 km + 115 km = 205 km. Kita gantikan nilainya:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{205\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}+115\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{205\mathrm{km}}{205\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1\mathrm{h}\end{array}$$

Unitnya betul: kilometer dibahagi dengan kilometer per jam ialah jam. Tempat pertemuan diperoleh dengan menggantikan masa itu ke dalam kedudukan mana-mana kereta:

$$x_1=90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1\mathrm{h}=90\mathrm{km}$$

Sebagai semakan: pada ketika itu, kereta biru berada pada 205 km − 115 km = 90 km, iaitu di tempat yang sama. Anggarannya juga betul. Jika kedua-dua kereta bergerak sama laju, kedua-duanya akan bertemu di pertengahan jalan. Kereta dari Ipoh lebih laju, maka kedua-duanya bertemu lebih dekat dengan Kuala Lumpur. Jawapan: kedua-dua kereta bertemu pada pukul sembilan, 90 km dari Kuala Lumpur. Pemandu-pemandu itu mungkin tidak sempat melambai, kerana kedua-dua kereta meluru ke arah satu sama lain dengan kadar 205 km sejam itu.

Titik persilangan graf

Soalan yang sama boleh diselesaikan tanpa persamaan. Kedudukan kedua-dua kereta dilukis dalam satu graf, sama seperti kereta dan lori sebelum ini.

Garis lurus merah bermula dari asalan dan menaik dengan kecerunan 90 km/h. Garis lurus biru bermula pada ketinggian 205 km dan menurun kerana kereta itu bergerak melawan arah paksi. Garis itu menurun lebih curam berbanding garis merah menaik kerana kereta dari Ipoh lebih laju. Kereta itu tiba di Kuala Lumpur, tempat kedudukannya sifar, dalam masa kurang daripada dua jam.

Di tempat kedua-dua garis lurus bersilang, kedua-dua kereta mempunyai kedudukan yang sama pada masa yang sama. Inilah saat pertemuan itu. Dari titik persilangan jingga, kita turun ke paksi masa dan membaca 1 h, kemudian ke kiri ke paksi mencancang dan membaca 90 km.

Menyelesaikan persamaan x₁ = x₂ sama dengan mencari titik persilangan dua garis lurus, cuma kita mengira dan bukan melukis. Graf menunjukkan apa yang berlaku dalam soalan dan memberikan anggaran yang cepat. Persamaan memberikan nombor yang tepat walaupun titik persilangan jatuh di antara garisan grid.

Mengejar

Seorang penunggang basikal bertolak dari Seremban dengan laju malar 18 km/h. Sejam kemudian, sebuah kereta bertolak melalui jalan yang sama dengan laju 54 km/h. Bila dan di manakah kereta itu dapat mengejar penunggang basikal itu?

Mari kita tentukan dari bila masa akan diukur. Cara paling mudah ialah memulakan jam randik ketika kereta bertolak. Pada ketika itu, penunggang basikal sudah menunggang selama sejam, iaitu dia mendahului sejauh 18 km. Inilah kedudukan awalnya s₀ dalam rumus s = s₀ + v · t. Penunggang basikal hanya bergerak ke hadapan dan bertolak dari asalan paksi, maka kedudukan awal ini juga ialah jarak yang telah dilaluinya. Paksi dilukis di sepanjang jalan dengan asalan di Seremban. Penunggang basikal diberi indeks 1, dan kereta indeks 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s_0& =18\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Kedua-duanya bergerak mengikut arah paksi, maka kedudukan mereka ialah

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =s_0+v_1\cdot t,\\ x_2& =v_2\cdot t.\end{array}$$

Kereta mengejar penunggang basikal apabila kedua-duanya berada di tempat yang sama, x₂ = x₁:

$$\begin{array}{rcl}{v}_2\cdot t& =& s_0+v_1\cdot t/-v_1\cdot t\\ t\cdot (v_2-v_1)& =& s_0/:(v_2-v_1)\\ t& =& \frac{s_0}{v_2-v_1}\end{array}$$

Kali ini, penyebutnya ialah beza laju. Setiap jam, kereta mengurangkan jarak pendahuluan sebanyak 54 km − 18 km = 36 km, sama seperti jarak pendahuluan kereta di hadapan lori sebelum ini bertambah sebanyak beza laju kedua-duanya. Kita kira:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{18\mathrm{km}}{54\mathrm{km}/\mathrm{h}-18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{18\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0.5\mathrm{h}\end{array}$$

Kereta dapat mengejar penunggang basikal dalam masa setengah jam, iaitu 30 min. Tempat pertemuan dibaca daripada kedudukan kereta:

$$x_2=54\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0.5\mathrm{h}=27\mathrm{km}$$

Pada ketika yang sama, penunggang basikal berada pada 18 km + 18 km/h · 0.5 h = 27 km, betul. Jawapan: kereta dapat mengejar penunggang basikal setengah jam selepas kereta itu bertolak, 27 km dari Seremban.

Di sini juga, kita lukis graf kedudukan. Kali ini, paksi masa menunjukkan minit sejak kereta bertolak supaya nombor perpuluhan tidak muncul dalam rajah.

Garis lurus biru penunggang basikal tidak bermula dari asalan, tetapi pada ketinggian 18 km, sama seperti graf kereta yang melepasi batu tanda kilometer. Garis lurus merah kereta bermula dari sifar dan lebih curam. Jarak mencancang antara kedua-dua garis lurus ialah jarak pendahuluan penunggang basikal. Jarak ini berkurang setiap minit, sehingga pada titik persilangan, pada 30 min dan 27 km, jarak itu hilang sepenuhnya. Selepas titik persilangan, garis lurus merah berada di atas garis biru: kereta telah memotong penunggang basikal dan semakin menjauh.

Awas dengan apa yang kita jawab. Setengah jam itu diukur sejak kereta bertolak. Pada ketika itu, penunggang basikal sudah mengayuh selama satu setengah jam. Jika jam randik dimulakan bersama penunggang basikal, jawapannya ialah satu setengah jam. Kedua-duanya betul, cuma setiap masa diukur dari ketika yang berbeza, dan oleh itu ketika itu mesti dinyatakan dalam jawapan.

Rumus ini memberitahu kita satu perkara lagi. Jika kereta hanya bergerak 18 km/h, penyebutnya menjadi sifar. Kita tidak boleh membahagi dengan sifar, dan kereta itu tidak akan dapat mengejar penunggang basikal walaupun hingga ke Melaka.

Kereta api di dalam terowong

Sebuah kereta api sepanjang 200 m melalui sebuah terowong sepanjang 1 km dengan laju malar 72 km/h. Berapa lamakah masa yang diambil untuk melalui terowong sepenuhnya, iaitu dari ketika lokomotif masuk hingga gerabak terakhir keluar?

Kita mudah tergoda untuk membahagikan panjang terowong dengan laju. Namun, di sini kereta api tidak boleh dianggap sebagai zarah, kerana panjangnya yang menentukan jawapan, dan tanpa lakaran hal ini mudah terlepas pandang.

Kita hanya perlu memerhatikan satu titik pada kereta api, iaitu bahagian hadapan lokomotif (jingga). Pada mulanya, titik itu berada di pintu masuk terowong. Apabila gerabak terakhir keluar dari terowong, bahagian hadapan sudah berada sejauh panjang kereta api selepas pintu keluar. Jadi, titik itu telah melalui panjang terowong (biru) ditambah panjang kereta api (hijau):

$$s=1000\mathrm{m}+200\mathrm{m}=1200\mathrm{m}$$

Panjang dalam meter, maka laju ditukarkan kepada meter per saat:

$$v=72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3.6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Masa ialah jarak dibahagi dengan laju:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1200\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$$

Meter dibahagi dengan meter per saat ialah saat, maka kereta api melalui terowong dalam masa satu minit. Sesiapa yang hanya mengambil panjang terowong akan memperoleh 50 s. Namun, pada ketika itu lokomotif baru keluar, dan seluruh kereta api di belakangnya masih di dalam terowong. Anggarannya betul: kereta api melalui satu kilometer dalam lima puluh saat, dan dua ratus meter tambahan dalam sepuluh saat lagi.

Cuba kira pula berapa lama seluruh kereta api berada di dalam terowong. Tempoh ini bermula ketika gerabak terakhir masuk ke terowong, iaitu ketika bahagian hadapan berada 200 m selepas pintu masuk. Tempoh ini berakhir apabila bahagian hadapan tiba di pintu keluar. Bahagian hadapan melalui 1 000 m − 200 m = 800 m, dan hal ini mengambil masa 40 s. Kali ini, panjang kereta api ditolak.

Mengikut arus dan melawan arus

Sebuah bot pelancong belayar di Sungai Rajang. Relatif kepada air, bot itu bergerak dengan laju 15 km/h, dan sungai mengalir dengan laju 3 km/h. Berapa lamakah masa yang diambil untuk sampai ke jeti sejauh 36 km mengikut arus, dan berapa lamakah masa untuk kembali?

Laju bot diukur relatif kepada air. Jika jurumudi mematikan enjin, air akan menghanyutkan bot dengan laju 3 km/h. Seperti biasa, semuanya bergantung pada apa yang menjadi rujukan gerakan. Relatif kepada tebing, semasa mengikut arus, bot melalui 15 km dalam satu jam dengan kuasanya sendiri, dan air menolaknya sejauh 3 km lagi. Bot diberi indeks 1, dan arus indeks 2. Masa mengikut arus ditandakan $t_{+}$ kerana laju-laju ditambah, dan masa melawan arus $t_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =3\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =36\mathrm{km}\\ t_{+}& =?\\ t_{-}& =?\end{array}$$

Semasa mengikut arus, laju-laju ditambah, dan perjalanan mengambil masa

$$\begin{array}{rl}{t}_{+}& =\frac{s}{v_1+v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =2\mathrm{h}.\end{array}$$

Semasa melawan arus, air menarik bot ke belakang sejauh 3 km setiap jam, dan laju-laju ditolak:

$$\begin{array}{rl}{t}_{-}& =\frac{s}{v_1-v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =3\mathrm{h}\end{array}$$

Kilometer dibahagi dengan kilometer per jam memberikan jam. Bot itu sampai ke jeti dalam masa dua jam dan kembali dalam masa tiga jam.

Jika laju arus menyamai laju bot relatif kepada air, penyebut rumus kedua akan menjadi sifar, sama seperti kereta yang mengikut penunggang basikal dengan laju hanya 18 km/h. Semasa melawan arus, bot itu akan kekal di tempat yang sama relatif kepada tebing, dan jurumudi boleh membiarkan enjin hidup sepanjang hari, tetapi jeti asal tidak akan menjadi lebih dekat walau satu meter pun.

Sekarang soalan perangkap. Berapakah laju purata bot bagi seluruh perjalanan pergi dan balik? Sesiapa yang menjawab 15 km/h, kerana arus sekali membantu dan sekali menghalang dengan sama banyak, telah terperangkap seperti dalam soalan pergi 60, balik 40. Bot itu melalui 72 km dalam masa 5 h:

$$\overline{v}=\frac{72\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=14.4\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Bot itu belayar melawan arus lebih lama, tiga jam dan bukan dua, maka purata itu condong ke arah laju yang lebih perlahan. Di air yang tenang, bot itu akan melalui 72 km yang sama dalam masa 4.8 h, iaitu 4 h dan 48 min. Arus yang membantu dan menghalang sama banyak sentiasa memanjangkan perjalanan pergi dan balik.

Dalam semua soalan dalam artikel ini, kereta, kereta api dan bot bergerak dengan laju malar. Namun, kereta sebenar mesti memecut dahulu dan membrek semula sebelum sampai ke destinasi. Cara memperihalkan gerakan yang lajunya berubah akan ditunjukkan dalam artikel seterusnya, Pecutan.