Gerakan dan pegun

Bayangkan anda sedang duduk membaca di dalam kereta api dari Kuala Lumpur ke Ipoh. Adakah anda bergerak? Penumpang di hadapan anda akan berkata tidak. Sepanjang perjalanan, anda duduk di tempat yang sama, satu meter darinya, dan tidak berganjak walau sekali. Namun, seorang wanita yang berdiri di platform stesen Tapah Road akan berkata bahawa anda sedang melintasinya dengan laju 160 km/h. Kedua-duanya betul.

Di bahagian atas, kita melihat kereta api dari platform, dan di bahagian bawah dari dalam gerabak. Kedua-dua anak panah merah menunjukkan gerakan yang sama, cuma dilihat dari tempat yang berbeza.

Ilusi ini dikenali oleh sesiapa yang pernah duduk di dalam kereta api yang berhenti di stesen: kereta api di landasan sebelah mula bergerak perlahan-lahan, dan seketika anda merasakan bahawa kereta api andalah yang bergerak. Hanya apabila anda memandang bangunan stesen, barulah anda sedar bahawa anda masih pegun. Mata kita memerlukan sesuatu sebagai rujukan untuk menilai gerakan.

Kerangka rujukan

Sama ada sesuatu jasad bergerak atau pegun tidak dapat ditentukan dengan sendirinya. Kita mesti sentiasa menyatakan relatif kepada apa. Jasad yang menjadi rujukan untuk menilai gerakan dipanggil jasad rujukan. Bagi penumpang di dalam kereta api, jasad rujukannya ialah gerabak. Bagi wanita di platform, jasad rujukannya ialah Bumi.

Sesuatu jasad pegun jika kedudukannya relatif kepada jasad rujukan tidak berubah. Relatif kepada gerabak, anda pegun. Relatif kepada Bumi, anda bergerak. Sebaliknya, wanita di platform pegun relatif kepada Bumi, tetapi relatif kepada anda, dia bergerak ke belakang dengan laju 160 km/h. Gerakan dan pegun bersifat relatif, iaitu bergantung pada tempat kita memerhati.

Untuk memperihalkan kedudukan dengan nombor, kita memasang sistem koordinat pada jasad rujukan. Kita memilih satu titik yang dipanggil asalan, dan dari titik itu kita lukis paksi x dan y, sama seperti semasa melukis graf dalam matematik. Di stesen, asalan boleh diletakkan di tempat ketua stesen berdiri, dengan paksi-x di sepanjang landasan dan paksi-y serenjang dengannya. Kedudukan jasad kemudiannya ditentukan oleh dua nombor: sejauh mana jasad itu terletak pada arah satu paksi dan sejauh mana pada arah paksi yang satu lagi. Di dalam kereta api, kita boleh memilih asalan di pintu gerabak. Jasad rujukan, bersama sistem koordinat dan jam yang mengukur masa, secara keseluruhannya dipanggil kerangka rujukan.

Kedudukan anda di dalam gerabak, iaitu titik hitam, ditentukan oleh jarak merah di sepanjang paksi-x dan jarak biru di sepanjang paksi-y.

Dalam kehidupan seharian, kerangka rujukan hampir selalu ialah Bumi, maka kita jarang menyebutnya. Apabila kita mengatakan bahawa sebuah kereta bergerak 90 km/h atau sebuah rumah tidak bergerak, kita maksudkan relatif kepada Bumi. Namun, rumah yang “tidak bergerak” itu pun tidak pegun sepenuhnya. Bumi berputar pada paksinya, maka dalam sehari, sebuah rumah di Malaysia, yang terletak hampir di khatulistiwa, melalui bulatan sepanjang kira-kira 40 000 km. Dalam satu jam, rumah itu bergerak lebih 1 600 km. Selain itu, Bumi mengorbit Matahari dengan laju kira-kira 30 km/s. Sebelum anda habis membaca ayat ini, anda bersama Bumi, rumah dan sofa anda sudah bergerak sejauh kira-kira seratus lima puluh kilometer. Matahari pun tidak pegun, kerana Matahari mengorbit pusat Galaksi. Jasad yang pegun “secara mutlak”, iaitu tanpa menyatakan relatif kepada apa, memang tidak wujud.

Zarah

Sebuah kereta di Lebuhraya Utara–Selatan antara Kuala Lumpur dengan Ipoh panjangnya kira-kira 4.5 m. Seluruh laluan itu sepanjang lebih kurang 205 km. Jika seluruh lebuh raya dilukis di atas kertas sebagai garis sepanjang 20 cm, kereta itu dalam lukisan hanya sepanjang kira-kira 4 µm, iaitu satu per enam belas ketebalan sehelai rambut. Jika kita ingin mengetahui bila kereta itu tiba di Ipoh, panjang kereta, kedudukan stereng atau sama ada tingkapnya terbuka tidak penting. Kita boleh membayangkan kereta itu sebagai satu titik yang bergerak di atas peta.

Penyederhanaan seperti ini dipanggil zarah. Zarah ialah jasad yang saiznya boleh diabaikan dalam situasi tertentu. Kita menggantikannya dengan satu titik yang mempunyai jisim seluruh jasad itu. Dalam fizik, pengiraan dengan zarah jauh lebih mudah berbanding dengan jasad sebenar yang boleh berputar, melentur atau berubah bentuk.

Namun, sama ada sesuatu jasad boleh dianggap sebagai zarah tidak ditentukan oleh jasad itu sendiri, tetapi oleh soalan yang kita tanya. Semasa meletak kenderaan, kereta yang sama bukan lagi zarah. Di situ, saiznya yang penting: sama ada kereta itu muat di antara dua kereta lain dan berapa sentimeter lagi ruang hingga ke bebendul. Bumi pula ialah zarah semasa mengorbit Matahari. Diameternya, kira-kira 12 700 km, boleh diabaikan berbanding dengan jaraknya dari Matahari, iaitu 150 000 000 km. Namun, apabila kita ingin memahami pertukaran siang dan malam, kita mesti mengambil kira bahawa Bumi ialah sfera yang berputar, dan Bumi tidak boleh digantikan dengan satu titik.

Dalam perjalanan jauh di sebelah kiri, kereta cukup digantikan dengan satu titik. Semasa meletak kenderaan di sebelah kanan, saiznya yang menentukan.

Lintasan

Garis yang dilalui oleh zarah semasa bergerak dipanggil lintasan. Kadangkala lintasan itu kelihatan: kapal terbang yang tinggi di langit meninggalkan jalur putih kondensasi, dan bot laju meninggalkan jalur buih di permukaan air. Lintasan boleh berupa garis lurus, bulatan atau sebarang lengkung lain.

Sama seperti gerakan dan pegun, lintasan juga bergantung pada kerangka rujukan. Perhatikan injap tayar pada roda hadapan sebuah basikal. Apabila penunggang basikal memandang ke bawah ke arah roda hadapan semasa menunggang, dia melihat roda itu berputar di tempat yang sama dan injap itu bergerak berpusing-pusing. Lintasannya ialah bulatan. Sebaliknya, kawannya yang berdiri di kaki lima dan melihat basikal itu lalu tidak nampak sebarang bulatan. Roda itu bergolek ke hadapan, injap itu turut bergerak bersamanya, maka injap itu melukis satu siri lengkok.

Di bahagian atas rajah ialah roda dari pandangan penunggang basikal, iaitu dalam kerangka rujukan yang terikat pada rangka basikal. Injap jingga bergerak mengikut bulatan merah. Di bahagian bawah ialah roda yang sama dalam kerangka rujukan yang terikat pada tanah. Bulatan putus-putus kelabu menunjukkan kedudukan roda ketika injap berada di bawah, di permukaan jalan. Sebelum roda membuat satu putaran, injap melukis lengkok merah. Kedua-dua bahagian rajah menunjukkan gerakan yang sama bagi injap yang sama, cuma dari dua kerangka rujukan yang berbeza. Animasi menunjukkannya langkah demi langkah: roda berputar di atas dan pada masa yang sama bergolek di bawah, dan injap melukis kedua-dua kesan serentak.

Lengkung yang dilukis oleh injap jika dilihat dari kaki lima dipanggil sikloid. Bucu-bucunya terletak di bawah, di tempat injap menyentuh jalan. Roda tidak menggelongsor di atas jalan, tetapi bergolek, maka titik yang sedang menyentuh tanah pegun seketika. Injap berhenti di situ, kemudian segera naik semula, mula-mula hampir tegak ke atas. Sebenarnya, injap terletak pada rim beberapa sentimeter lebih dekat ke pusat berbanding permukaan tayar, maka injap tidak menyentuh jalan dan lengkungnya di bawah tidak berbucu, hanya melengkung tajam. Sikloid yang hampir tepat akan dilukis oleh, contohnya, batu kecil yang tersangkut pada bunga tayar.

Berapa jauhkah basikal bergerak dalam satu putaran roda? Jika roda tidak menggelongsor, seluruh lilitannya terbentang di atas jalan seperti pita pengukur. Lilitan bulatan dengan jejari r ialah 2π · r, dengan π ≈ 3.14, maka pusat roda bergerak tepat sejauh 2π · r dalam satu putaran. Lilitan roda basikal sedikit melebihi 2 m, maka bagi setiap kilometer, roda itu membuat hampir lima ratus putaran.

Prinsip yang sama berlaku di dalam kereta api. Jika kereta api bergerak dengan laju malar di atas landasan yang lurus dan anda menjatuhkan sebiji epal di dalam gerabak, epal itu jatuh tepat di kaki anda, tegak ke bawah. Wanita di platform melihat epal itu jatuh dan pada masa yang sama bergerak ke hadapan bersama kereta api, maka baginya epal itu bergerak mengikut lengkok yang condong.

Di sebelah kiri ialah epal yang jatuh seperti yang anda lihat di dalam gerabak, dan di sebelah kanan seperti yang dilihat oleh wanita di platform.

Jarak

Panjang lintasan yang dilalui oleh sesuatu jasad dipanggil jarak dan ditandakan s. Jarak ialah kuantiti skalar, iaitu nombor dengan unit. Jarak diukur oleh odometer di dalam kereta: odometer menambah setiap meter yang dilalui oleh kereta, sama ada kereta itu bergerak lurus, membelok atau mengundur. Oleh itu, jarak tidak pernah berkurang dengan masa. Selepas anda pulang ke rumah, tiada sesiapa yang menolak kilometer yang telah anda jalani.

Sesaran

Ahmad bertolak dari tapak perkhemahan, berjalan 3 km ke timur dan kemudian 4 km ke utara. Secara keseluruhan dia berjalan 7 km, tetapi jaraknya dari tapak perkhemahan hanya 5 km. Anak panah dari tempat dia bermula ke tempat dia berhenti ialah sesarannya. Sekarang kita boleh menamakan kedua-dua kuantiti itu dengan tepat: jarak ialah 7 km, manakala magnitud sesaran ialah 5 km.

Sesaran mudah ditulis menggunakan vektor. Kedudukan jasad dalam kerangka rujukan diperihalkan oleh anak panah dari asalan ke tempat jasad itu berada pada ketika itu. Anak panah ini dipanggil vektor kedudukan dan ditandakan $\overrightarrow{r}$.

Garis hitam dalam rajah ialah lintasan, dan warna jingga menandakan dua tempat yang dilalui oleh jasad secara berturutan. Anak panah biru ialah vektor kedudukan: ${\overrightarrow{r}}_1$ menunjukkan kedudukan jasad pada permulaan, dan ${\overrightarrow{r}}_2$ kedudukannya pada akhir. Bahagian lintasan di antara kedua-duanya ditandakan dengan warna merah, iaitu jarak yang dilalui oleh jasad. Anak panah hijau dari tempat pertama ke tempat kedua ialah sesaran.

Sesaran menyatakan sejauh mana kedudukan telah berubah. Perubahan sesuatu kuantiti fizik ditandakan dengan huruf Yunani besar Δ (delta) di hadapan simbolnya. Oleh itu, sesaran ditulis

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$$

Simbol ini dibaca “delta r”, dan keseluruhannya ialah satu simbol, bukan hasil darab. Mengapa perubahan? Lihat rajah. Anak panah biru ${\overrightarrow{r}}_1$ yang disambung dengan anak panah hijau memberikan anak panah biru ${\overrightarrow{r}}_2$. Beginilah vektor ditambah: anak panah kedua bermula di tempat anak panah pertama berakhir:

$${\overrightarrow{r}}_1+\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2$$

Kita tolak ${\overrightarrow{r}}_1$ daripada kedua-dua belah:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$$

Sesaran ialah beza antara kedudukan akhir dengan kedudukan awal. Jika asalan O diletakkan di tempat lain, kedua-dua anak panah biru akan berubah, tetapi anak panah hijau kekal sama. Jadi, sesaran tidak bergantung pada pilihan asalan, tetapi hanya pada tempat jasad itu bermula dan berhenti. Magnitud sesaran, iaitu panjang anak panah hijau, ditulis $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$.

Terdapat dua perbezaan antara jarak dengan sesaran. Jarak ialah kuantiti skalar, manakala sesaran ialah vektor yang juga mempunyai arah. Selain itu, jarak mengambil kira seluruh perjalanan, manakala sesaran hanya mengambil kira titik permulaan dan titik akhir. Sama ada Ahmad mengambil jalan yang berliku atau berpatah balik tiga kali untuk mengambil telefon bimbit yang tertinggal, sesarannya tetap sama. Jarak terpendek antara dua titik ialah tembereng garis, maka magnitud sesaran tidak pernah melebihi jarak, $|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\le s$. Kedua-duanya sama hanya apabila jasad bergerak mengikut garis lurus dan tidak berpatah balik walau sekali.

Satu pusingan di sekeliling padang

Padang sekolah dikelilingi oleh trek larian berbentuk bulatan sepanjang 400 m. Aisyah mula berlari di garisan permulaan dan menamatkan satu pusingan penuh. Berapakah jarak yang dilaluinya dan berapakah sesarannya?

Jaraknya jelas. Seluruh lintasan sepanjang 400 m, maka s = 400 m. Namun, Aisyah tamat tepat di tempat dia bermula. Titik permulaan dan titik akhir bertindih, dan anak panah dari satu titik ke titik yang sama tidak mempunyai panjang. Anak panah itu ialah vektor sifar:

$$\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=\overrightarrow{0}$$

Aisyah telah berlari sejauh empat ratus meter, namun sesarannya sifar. Jika dia tidak berganjak langsung dari garisan permulaan, sesarannya juga sama. Jadi, jangan sekali-kali mengelirukan jarak dengan sesaran.

Sekarang Aisyah hanya berlari separuh pusingan. Jaraknya ialah separuh daripada 400 m, iaitu s = 200 m. Aisyah berhenti di sebelah lain bulatan, tepat bertentangan dengan garisan permulaan. Anak panah hijau sesaran melalui pusat bulatan, maka panjangnya ialah diameter, iaitu dua kali jejari r. Jejari diperoleh daripada lilitan. Lilitan bulatan ialah 2π · r, dan kita tahu bahawa lilitan itu 400 m:

$$\begin{array}{rcl}2\pi \cdot r& =& 400\mathrm{m}/:2\pi \\ r& =& \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\end{array}$$

Magnitud sesaran ialah dua kali jejari. Angka dua dalam pengangka dibatalkan dengan angka dua dalam penyebut:

$$\begin{array}{rl}|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|& =2\cdot r=2\cdot \frac{400\mathrm{m}}{2\pi }\\ & =\frac{400\mathrm{m}}{\pi }\end{array}$$

Kita gantikan π dengan kira-kira 3.14:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx \frac{400\mathrm{m}}{3.14}\approx 127\mathrm{m}$$

Selepas separuh pusingan, Aisyah berada kira-kira 127 m dari garisan permulaan walaupun dia telah berlari 200 m. Jejari trek itu pula separuh daripadanya, iaitu kira-kira 63.7 m.

Bagaimana pula dengan suku pusingan? Jaraknya ialah satu perempat daripada 400 m, iaitu s = 100 m. Kali ini, sesaran tidak melalui pusat, tetapi condong.

Kita sambungkan garisan permulaan dan kedudukan baharu Aisyah dengan pusat bulatan. Kedua-dua jejari biru saling serenjang kerana Aisyah telah berlari satu perempat bulatan, dan bersama sesaran, kedua-duanya membentuk segi tiga bersudut tegak. Jejari-jejari itu ialah sisi yang mengapit sudut tegak, dan sesaran ialah hipotenus. Kita gunakan teorem Pythagoras seperti dalam perjalanan Ahmad:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}{|}^2=r^2+r^2=2\cdot r^2.$$

Kita cari punca kuasa dua. Punca kuasa dua bagi r² ialah r, maka

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|=\sqrt{2}\cdot r.$$

Kita gantikan jejari 63.7 m dan $\sqrt{2}\approx 1.414$:

$$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|\approx 1.414\cdot 63.7\mathrm{m}\approx 90\mathrm{m}$$

Ketiga-tiga kes dirumuskan seperti berikut:

Jarak sentiasa bertambah, tetapi magnitud sesaran mula-mula bertambah, kemudian berkurang semula hingga sifar. Aisyah berada paling jauh dari garisan permulaan pada separuh pusingan, dan pada akhirnya dia kembali ke garisan permulaan.

Jenis gerakan

Gerakan dikelaskan berdasarkan dua aspek. Aspek pertama ialah bentuk lintasan. Jika lintasan berupa garis lurus, kita menyebutnya gerakan linear. Beginilah cara lif atau epal yang jatuh dari pokok bergerak. Jika lintasan melengkung, gerakan itu ialah gerakan melengkung. Antara gerakan melengkung, yang paling penting ialah gerakan membulat, contohnya pada kuda pusing atau pada hujung jarum jam.

Aspek kedua ialah sepantas mana jasad itu bergerak. Jika jasad sentiasa melalui jarak yang sama dalam selang masa yang sama panjang (sama bagi setiap saat, dan juga bagi setiap persepuluh atau perseratus saat), gerakan itu seragam. Beginilah eskalator di stesen LRT atau kuda pusing yang sedang berputar bergerak. Jika jarak yang dilalui dalam selang masa yang sama panjang berbeza, iaitu jasad itu memecut atau menjadi perlahan, gerakan itu tidak seragam. Epal yang jatuh semakin laju, lif mula bergerak dan membrek sebelum tiba di tingkat, dan kereta dalam kesesakan lalu lintas sekejap merangkak perlahan, sekejap berhenti.

Kedua-dua aspek boleh digabungkan sesuka hati:

Awas, pengelasan ini juga bergantung pada kerangka rujukan. Dari pandangan penunggang basikal yang bergerak dengan laju malar, injap bergerak secara seragam mengikut bulatan. Dari kaki lima, gerakannya melengkung dan tidak seragam: di permukaan jalan, injap hampir berhenti, manakala di bahagian atas, injap meluru dengan laju hampir dua kali ganda laju pusat roda. Hal ini kerana di bahagian atas, gerakan roda ke hadapan ditambah dengan gerakan injap mengelilingi pusat yang juga menghala ke hadapan, manakala di bahagian bawah, gerakan injap mengelilingi pusat menghala ke belakang dan hampir membatalkan gerakan roda. Injap itu tetap sama, cuma kita melihatnya dari tempat yang berbeza.

Setakat ini, kita mengenal pasti gerakan seragam dan tidak seragam hanya berdasarkan jarak yang dilalui oleh jasad dalam selang masa yang sama panjang. Kita masih memerlukan nombor yang menyatakan sepantas mana eskalator bergerak dan sejauh mana injap meluru lebih laju di bahagian atas berbanding di bahagian bawah. Nombor itu ialah laju, dan laju dibincangkan dalam artikel seterusnya, Laju dan halaju.