Laju dan halaju

Rekod dunia lari pecut 100 meter lelaki dicatat di Berlin pada tahun 2009: 100 m dalam masa 9.58 s. Sepantas manakah larian itu? Jika pelari itu mengekalkan rentak yang sama sepanjang masa, dia melalui setiap saat

$$\frac{100\mathrm{m}}{9.58\mathrm{s}}\approx 10.44\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

iaitu lebih sepuluh meter setiap saat. Berapakah nilainya dalam kilometer per jam?

$$10.44\mathrm{m}/\mathrm{s}=10.44\cdot 3.6\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 37.6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Di jalan yang had lajunya 50, pelari itu dapat menyaingi kereta seketika. Sekurang-kurangnya sejauh seratus meter, kerana dia tidak mampu mengekalkan rentak itu lebih lama.

Rumus laju

Jika anda hanya mencari rumus, laju v dikira dengan membahagikan jarak s dengan masa t yang diambil oleh jasad untuk melalui jarak itu:

$$v=\frac{s}{t}$$

Laju menyatakan jarak yang dilalui oleh jasad dalam satu unit masa, contohnya dalam satu saat atau satu jam. Semakin jauh jarak yang dilalui dalam masa yang sama, semakin besar lajunya. Jika jarak yang sama dilalui dalam masa yang lebih lama, laju berkurang, kerana masa terletak di penyebut.

Unitnya diperoleh dengan membahagikan unit jarak dengan unit masa. Jarak dalam meter dan masa dalam saat memberikan meter per saat, m/s. Jarak dalam kilometer dan masa dalam jam memberikan kilometer per jam, km/h. Kedua-dua unit ditukarkan dengan nombor 3.6: daripada m/s kepada km/h kita darab, dan sebaliknya kita bahagi.

Laju purata

Perjalanan dari Kuala Lumpur ke Ipoh melalui lebuh raya sejauh kira-kira 205 km. Keluarga Farah mengambil masa 2.5 h, termasuk berhenti rehat di hentian sebelah. Sepantas manakah mereka bergerak?

Mari kita kira:

$$v=\frac{205\mathrm{km}}{2.5\mathrm{h}}=82\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Namun, meter laju di dalam kereta hampir tidak pernah menunjukkan 82 km/h. Di lebuh raya, meter laju menunjukkan kira-kira 110 km/h, dalam kesesakan berhampiran Rawang 20 km/h, dan di hentian sebelah sifar. Nombor 82 km/h ialah laju purata: laju yang perlu dikekalkan oleh kereta sepanjang masa tanpa henti supaya tiba di Ipoh dalam masa yang sama. Laju purata ditandakan $\overline{v}$ dan dikira sebagai jumlah jarak dibahagi dengan jumlah masa:

$$\overline{v}=\frac{s}{t}$$

Jumlah masa merangkumi semuanya, termasuk masa berhenti. Jika keluarga Farah berehat sejam lebih lama di hentian sebelah, mereka akan melalui 205 km yang sama dalam masa 3.5 h, dan laju purata akan turun kepada

$$\overline{v}=\frac{205\mathrm{km}}{3.5\mathrm{h}}\approx 58.6\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Laju 10.44 m/s pemegang rekod dunia di awal artikel juga laju purata. Dia bermula dari blok permulaan dengan laju sifar dan memecut pada beberapa meter yang pertama, maka dia berlari lebih perlahan pada permulaan dan lebih laju pada akhir larian. Dalam pengukuran di Berlin, dia melalui bahagian antara meter ke-60 dengan meter ke-80, iaitu 20 m, dalam masa 1.61 s:

$$\overline{v}=\frac{20\mathrm{m}}{1.61\mathrm{s}}\approx 12.42\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 44.7\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Jadi, pada bahagian pendek dalam separuh kedua perlumbaan, dia jauh lebih laju daripada purata bagi keseluruhan seratus meter.

Pergi 60, balik 40

Soalan ini sering diberikan dalam ujian dan peperiksaan kerana hampir semua orang tersilap pada percubaan pertama. Encik Raju memandu ke kampung halamannya yang terletak 120 km jauhnya dengan laju 60 km/h. Dalam perjalanan pulang, jalan sesak, maka dia hanya dapat memandu 40 km/h. Berapakah laju puratanya bagi seluruh perjalanan pergi dan balik?

Kita mudah tergoda untuk menambah kedua-dua laju dan membahagikannya dengan dua:

$$\frac{60\mathrm{km}/\mathrm{h}+40\mathrm{km}/\mathrm{h}}{2}=50\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Namun, jawapan ini salah. Laju purata bukan purata laju-laju itu, tetapi jumlah jarak dibahagi dengan jumlah masa. Oleh itu, kita perlu mencari dahulu berapa lama dia memandu dalam setiap arah. Semasa pergi, dia melalui 120 km dengan laju 60 km/h. Daripada rumus $v=\frac{s}{t}$, kita ungkapkan masa dengan mendarab kedua-dua belah dengan t dan membahagikannya dengan v:

$$t=\frac{s}{v}$$

Perjalanan pergi mengambil masa

$$t_1=\frac{120\mathrm{km}}{60\mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\mathrm{h}$$

dan perjalanan balik

$$t_2=\frac{120\mathrm{km}}{40\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Secara keseluruhan, dia melalui 240 km dalam masa 5 h. Laju puratanya ialah

$$\overline{v}=\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}.$$

Encik Raju memandu dengan laju purata 48 km/h, bukan 50 km/h. Ke manakah hilangnya dua kilometer per jam itu? Rajah berikut memberikan jawapannya.

Setiap segi empat tepat mewakili satu jam pemanduan, dan nombor di dalamnya menunjukkan jarak dalam kilometer yang dilalui oleh Encik Raju dalam jam itu. Perjalanan pergi, berwarna merah, mengambil masa dua jam, manakala perjalanan balik, berwarna biru, tiga jam. Kedua-dua perjalanan sama jauh, iaitu 120 km, tetapi dia memandu lebih lama dengan laju yang perlahan. Apabila kita mengambil purata bagi lima jam itu, nombor empat puluh mendapat tiga undi, manakala nombor enam puluh hanya dua:

$$\begin{array}{rl}\overline{v}& =\frac{(60+60+40+40+40)\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}\\ & =\frac{240\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=48\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Baris hijau menunjukkan bahawa lima jam pada 48 km/h memberikan 240 km yang sama. Purata 50 km/h hanya diperoleh jika Encik Raju memandu dengan kedua-dua laju itu dalam tempoh yang sama, contohnya sejam pada 60 dan sejam pada 40. Di sini, dia memandu sejauh yang sama, bukan selama yang sama, maka purata itu condong ke arah laju yang lebih perlahan.

Soalan yang sama secara terbalik lebih mengelirukan. Encik Raju memandu semasa pergi dengan laju 60 km/h juga, dan dia ingin mencapai purata 80 km/h bagi seluruh perjalanan. Berapakah laju yang perlu dicapainya semasa balik? Jawapan 100 km/h mudah terlintas, tetapi kita sudah tahu bahawa laju tidak boleh dipuratakan dengan cara itu. Seluruh perjalanan 240 km dengan laju purata 80 km/h mengambil masa

$$t=\frac{240\mathrm{km}}{80\mathrm{km}/\mathrm{h}}=3\mathrm{h}.$$

Dua jam sudah digunakan untuk perjalanan pergi. Bagi perjalanan balik sejauh 120 km, hanya tinggal satu jam, maka dia mesti memandu 120 km/h. Bagaimana pula jika dia mahu purata 120 km/h? Dia mesti menamatkan seluruh perjalanan dalam masa dua jam, dan dua jam itu sudah pun berlalu. Dia perlu tiba semula di rumah dalam masa sifar, maka hal ini mustahil, walau selaju mana pun dia memandu.

Laju seketika

Meter laju di dalam kereta tidak menunjukkan laju purata bagi seluruh perjalanan. Meter laju menunjukkan sepantas mana kereta itu bergerak pada saat ini. Laju ini dipanggil laju seketika. Namun, bagaimana kita mengiranya jika rumus memerlukan jarak dan masa, sedangkan satu ketika tidak mempunyai tempoh langsung?

Kita gunakan laju purata pada bahagian yang semakin pendek. Sebuah kereta mula bergerak dari lampu isyarat, dan sebatang lampu jalan berdiri 100 m di hadapan. Kita ingin mengetahui sepantas mana kereta itu bergerak tepat di lampu jalan. Di lampu jalan, kita pasang get cahaya, seperti yang digunakan untuk mengukur masa dalam olahraga, dan sebuah get lagi berturut-turut 100 m, 10 m dan 1 m selepas lampu jalan. Get-get itu mengukur masa yang diambil oleh kereta untuk melalui setiap bahagian, dan daripadanya kita kira laju purata:

Bagi bahagian seratus meter, laju purata ialah 24.14 m/s. Namun, kereta itu memecut sepanjang seratus meter itu, maka pada akhir bahagian, kereta itu bergerak jauh lebih laju berbanding di lampu jalan, dan puratanya menjadi lebih besar. Dalam sepuluh meter, kereta itu memecut kurang, dan dalam satu meter hampir tidak memecut langsung. Semakin pendek bahagian itu, semakin sedikit perubahan laju di dalamnya, dan semakin hampir laju purata dengan laju di lampu jalan. Hasilnya menghampiri 20 m/s. Bagi bahagian 10 cm, kita akan memperoleh 20.005 m/s, dan bagi satu milimeter lebih kecil lagi. Oleh itu, laju seketika kereta di lampu jalan ialah 20 m/s, iaitu 20 · 3.6 km/h = 72 km/h. Itulah nilai yang ditunjukkan oleh meter laju pada ketika itu.

Jadi, laju seketika diperoleh sebagai laju purata pada bahagian yang sangat pendek. Bahagian jarak yang dilalui oleh jasad ditulis Δs, dan masa yang diambil untuk melaluinya Δt. Huruf Yunani Δ bermaksud perubahan. Maka

$$v=\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t},$$

dengan masa Δt mestilah cukup pendek supaya laju tidak berubah dengan ketara di dalamnya. Sependek mana yang cukup pendek bergantung pada gerakan itu. Kereta yang bergerak di lebuh raya dengan kawalan pelayaran hanya mengubah lajunya sedikit sahaja dalam satu saat. Kereta yang merempuh dinding berhenti dalam masa satu per sepuluh saat.

Gerakan seragam ialah gerakan yang jasadnya melalui jarak yang sama dalam selang masa yang sama panjang. Sekarang kita boleh memperihalkannya dengan cara lain: gerakan ini ialah gerakan yang laju seketikanya tidak berubah. Meter laju sentiasa menunjukkan nombor yang sama, dan laju purata pada sebarang bahagian sama dengan laju seketika. Dalam gerakan tidak seragam, laju seketika berubah, dan laju purata hanyalah satu nombor di antara laju seketika yang terkecil dengan yang terbesar.

Untuk yang ingin tahu: terbitan

Sesiapa yang sudah mengenali had dan terbitan akan mengenal pasti apa yang kita lakukan dalam jadual tadi. Kita memendekkan masa Δt dan memerhatikan nilai yang dihampiri oleh hasil bahagi $\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}$. Ahli matematik akan berkata bahawa laju seketika ialah had bagi hasil bahagi ini, iaitu terbitan jarak terhadap masa:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=s^{\prime }(t)$$

Kereta dalam jadual melalui jarak s = 1 m/s² · t² dari lampu isyarat dalam masa t, dan kereta itu tiba di lampu jalan selepas sepuluh saat. Terbitan bagi t² ialah 2t, maka

$$v=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot t=2\cdot 1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 10\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s},$$

dan inilah tepat nilai yang dihampiri dalam jadual. Selain itu, kita tidak memerlukan terbitan dalam seluruh kategori ini.

Halaju sebagai vektor

Sebuah kereta mengelilingi bulatan jalan raya, dan meter lajunya sentiasa menunjukkan 30 km/h yang sama. Adakah halaju kereta itu berubah atau tidak?

Halaju ialah vektor. Tidak cukup untuk mengetahui sepantas mana kereta itu bergerak, arahnya juga penting. Anak panah halaju ditandakan $\overrightarrow{v}$. Magnitudnya $v=|\overrightarrow{v}|$, iaitu laju, ialah nilai yang ditunjukkan oleh meter laju. Anak panah itu menghala ke arah jasad sedang bergerak.

Dalam rajah, kereta bergerak mengikut bulatan putus-putus kelabu. Anak panah merah menunjukkan halajunya. Anak panah yang lebih cerah, ${\overrightarrow{v}}_1$ hingga ${\overrightarrow{v}}_4$, menunjukkan halaju kereta di empat tempat, setiap satu selepas suku pusingan. Dalam animasi, kereta itu mengelilingi bulatan jalan raya, dan anak panahnya bertindih dengan setiap anak panah itu satu demi satu. Anak panah itu sentiasa sama panjang kerana meter laju sentiasa menunjukkan 30 km/h. Namun, arahnya berubah secara berterusan.

Sekarang kita pindahkan keempat-empat anak panah ke satu titik. Anak panah boleh dianjak asalkan tidak diputar dan panjangnya tidak diubah, maka vektor-vektornya tetap sama.

Keempat-empat anak panah berakhir pada bulatan putus-putus yang sama, maka magnitudnya sama, $|{\overrightarrow{v}}_1|=|{\overrightarrow{v}}_2|=|{\overrightarrow{v}}_3|=|{\overrightarrow{v}}_4|=30\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Namun, setiap satunya menghala ke arah yang berbeza, maka keempat-empatnya ialah vektor yang berlainan, ${\overrightarrow{v}}_1\ne {\overrightarrow{v}}_2$. Jadi, jawapan kepada soalan tadi ialah: halaju kereta itu berubah, walaupun meter laju sentiasa menunjukkan nilai yang sama. Yang berubah ialah arahnya. Meter laju hanya menunjukkan laju, iaitu magnitud halaju, dan tidak dapat menunjukkan arah.

Kita mengenal pasti gerakan seragam berdasarkan jarak, dan jarak tidak mempunyai arah. Oleh itu, gerakan seragam ialah gerakan yang lajunya tidak berubah. Jadi, kereta di bulatan jalan raya bergerak secara seragam, namun halajunya sebagai vektor berubah. Perbezaan ini penting, dan anda dapat merasakannya sendiri di dalam kereta: di selekoh anda perlu menahan badan walaupun pemandu tidak menekan pedal minyak atau brek. Sebabnya akan diterangkan kemudian dalam artikel tentang pecutan.

Yang tinggal ialah menerangkan mengapa anak panah itu menghala mengikut tangen, iaitu garis lurus yang hanya menyentuh lintasan di tempat itu. Kita kembali kepada laju purata, kali ini sebagai vektor, iaitu halaju purata. Dalam masa Δt, kereta bergerak dari titik A ke suatu titik lain pada lintasan. Sesarannya ialah anak panah $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$, dan halaju purata sebagai vektor ialah

$$\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}.$$

Awas, secara amnya magnitud vektor ini tidak sama dengan jarak dibahagi dengan masa. Sesaran biasanya lebih pendek daripada jarak, dan hanya sama dengan jarak pada bahagian yang sangat pendek.

Membahagikan vektor dengan nombor sama dengan mendarabnya dengan nombor $\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}$. Anak panah itu hanya dipendekkan atau dipanjangkan, arahnya kekal, maka halaju purata menghala ke arah yang sama dengan sesaran.

Rajah menunjukkan lintasan hitam yang dilalui oleh kereta dari kiri ke kanan. Anak panah hijau ialah sesaran dari titik A dalam masa yang semakin singkat, ke titik-titik yang semakin dekat dengan A. Sesaran yang panjang menghala condong ke atas, sesaran yang lebih pendek kurang condong, dan semakin singkat masanya, semakin rapat anak panah itu dengan tangen putus-putus kelabu. Halaju seketika ialah halaju purata pada bahagian yang sangat pendek, maka halaju seketika menghala mengikut tangen, iaitu dalam rajah mengikut arah anak panah merah.

Tangen kepada lintasan malah boleh dilihat. Percikan api daripada mesin pengisar terpelanting dari cakera mengikut tangen, iaitu ke arah kepingan logam itu bergerak pada ketika ia tercabut dari cakera. Titisan air yang terpelanting dari payung yang dipusingkan berkelakuan dengan cara yang sama. Jika kereta di bulatan jalan raya melalui tompokan minyak dan tayarnya hilang cengkaman, kereta itu akan terus bergerak lebih kurang lurus mengikut arah anak panah halajunya, bukan mengikut bulatan.

Sepantas manakah benda-benda bergerak

Untuk gambaran, berikut beberapa laju yang lazim, dibundarkan:

Laju bunyi dalam jadual merujuk kepada udara pada suhu 20 °C. Bunyi sangat perlahan berbanding cahaya. Oleh itu, anda melihat kilat sebelum mendengar guruh: cahaya sampai kepada anda hampir serta-merta, manakala bunyi mengambil masa kira-kira tiga saat untuk melalui satu kilometer. Jika anda mengira sembilan saat antara kilat dengan guruh, ribut itu berada kira-kira tiga kilometer jauhnya. Cahaya ialah yang paling laju antara semuanya. Cahaya dari Bulan sampai kepada kita dalam masa sedikit melebihi satu saat, dan dari Matahari dalam masa kira-kira lapan minit.

Kalkulator

Masukkan jarak dan masa, dan kalkulator akan mengira laju purata. Nilai yang telah diisi diambil daripada perjalanan keluarga Farah ke Ipoh.

Gerakan yang paling mudah ialah gerakan yang halajunya tidak berubah langsung, sama ada magnitud atau arahnya. Gerakan seperti ini ialah gerakan linear dengan halaju seragam, dan gerakan ini dibincangkan dalam artikel seterusnya, Gerakan linear dengan halaju seragam.