Momentum dan impuls

Di halaman sebuah gudang, sebuah lori mengundur dengan laju 10 km/h, lebih kurang rentak seorang pelari santai. Di lapang sasar pula, sebutir peluru terpancut dengan laju 800 m/s. Antara kedua-duanya, yang manakah lebih sukar dihentikan? Peluru menang dari segi laju, lori menang dari segi jisim. Fizik mempunyai kuantiti untuk pertandingan ini yang menggabungkan jisim dengan halaju. Kuantiti ini dipanggil momentum dan merupakan hasil darab jisim dengan halaju:

$$p=m\cdot v$$

Secara mudah, momentum menyatakan berapa banyak gerakan yang ada dalam sesuatu jasad. Unitnya ialah kilogram darab meter per saat, kg·m/s. Tidak seperti newton, unit ini tidak mempunyai nama sendiri.

Jasad yang jisimnya dua kali ganda mempunyai momentum dua kali ganda pada halaju yang sama, dan begitu juga jasad yang halajunya dua kali ganda dengan jisim yang sama. Hal ini sesuai dengan pengalaman. Bola ubat lebih sukar ditangkap daripada bola sepak yang dibaling sama laju, dan bola yang disepak secara voli lebih sukar ditangkap daripada bola yang hanya dihulurkan kepada anda.

Lori atau peluru?

Jisim lori ialah 40 t = 40 000 kg. Laju ditukarkan kepada meter per saat, 10 km/h ≈ 2.78 m/s, dan kita gantikan:

$$p=40000\mathrm{kg}\cdot 2.78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Jisim peluru ialah 10 g = 0.01 kg:

$$p=0.01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Momentum lori yang perlahan hampir empat belas ribu kali ganda momentum peluru yang laju. Laju peluru memang kira-kira tiga ratus kali ganda laju lori, tetapi jisim lori empat juta kali ganda. Peluru dihentikan oleh sebuah guni pasir, tetapi lori akan menolak guni itu ke tepi. Mengapa momentum yang menentukan sesukar mana sesuatu jasad dihentikan akan kita lihat sebentar lagi.

Halaju ialah vektor, maka momentum juga vektor:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Jisim ialah nombor positif, maka momentum sentiasa menghala ke arah yang sama dengan halaju. Dua buah lori yang sama yang bergerak sama laju ke arah satu sama lain mempunyai momentum yang sama besar tetapi berlawanan arah. Pada garis lurus, kita pilih arah positif, dan momentum yang menghala bertentangan dengannya diberi tanda negatif, sama seperti halaju.

Cara mengubah momentum

Momentum jasad hanya berubah apabila halajunya berubah, dan untuk itu daya diperlukan. Kita bermula daripada Hukum Gerakan Newton Kedua F = m · a dan menggantikan pecutan dengan perubahan halaju dalam suatu masa, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Jisim tidak berubah, maka jisim darab perubahan halaju ialah perubahan momentum. Pada mulanya jasad mempunyai halaju v₀ dan momentum p₀ = m · v₀, dan pada akhirnya halaju v dan momentum p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Selepas menggantikannya ke dalam hukum daya, kita memperoleh Hukum Gerakan Newton Kedua yang ditulis melalui momentum:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Daya ialah perubahan momentum per unit masa, sama seperti pecutan ialah perubahan halaju per unit masa. Dalam bentuk vektor $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, maka momentum berubah mengikut arah daya paduan. Newton sendiri menyatakan hukum ini melalui momentum: yang dimaksudkannya dengan perubahan gerakan ialah perubahan momentum.

Impuls

Rumus itu didarab dengan masa Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Hasil darab daya dengan masa tindakannya dipanggil impuls, I = F · Δt. Unitnya ialah newton darab saat, dan unit ini sama dengan unit momentum:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Impuls sama dengan perubahan momentum. Daripada sini diperoleh satu perkara penting: apabila jasad mesti kehilangan momentum tertentu, contohnya berhenti, impulsnya sudah ditentukan. Daya yang besar dapat melakukannya dalam masa yang singkat, daya yang kecil dalam masa yang panjang. Masa dua kali ganda bermaksud separuh daya, masa sepuluh kali ganda bermaksud satu per sepuluh daya.

Kini kita tahu mengapa guni pasir dapat menghentikan peluru tetapi tidak dapat menghentikan lori. Peluru berhenti di dalam pasir dalam masa kira-kira satu per seribu saat, maka guni itu memperlahankannya dengan daya purata

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.001\mathrm{s}}=8000\mathrm{N}.$$

Daya ini tidak kecil, tetapi pasir dapat menahannya. Jika guni itu perlu menghentikan lori dengan daya yang sama besar, guni itu mesti memperlahankannya selama

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Peluru diperlahankan dalam jarak kira-kira 400 m/s · 0.001 s = 0.4 m (laju purata darab masa). Dalam empat belas saat, lori yang bergerak dengan laju purata 1.39 m/s akan melalui hampir 20 m. Guni itu perlu sepanjang dua puluh meter, maka lori hanya menolaknya ke tepi dan terus bergerak.

Impuls juga berlaku sebaliknya, iaitu apabila jasad mula bergerak. Seorang pemain bola sepak menyepak bola pegun berjisim 0.45 kg, dan bola itu melayang dengan laju 30 m/s. Bola itu memperoleh momentum 0.45 kg · 30 m/s = 13.5 kg·m/s. Sentuhan kaki berlangsung kira-kira satu per seratus saat, maka kaki mengenakan daya purata pada bola

$$F=\frac{13.5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.01\mathrm{s}}=1350\mathrm{N}.$$

Sesiapa yang ingin menyepak dengan lebih kuat mesti mengenakan daya yang lebih besar pada bola atau bertindak lebih lama. Sebab itulah atlet lontar peluru tidak melontar peluru dengan pergelangan tangan sahaja, tetapi menolaknya di sepanjang lintasan tangan yang panjang.

Daya semasa hentaman tidak malar, tetapi meningkat dengan cepat dan menurun semula. Daripada perubahan momentum, kita mengira puratanya, dan purata itu sudah mencukupi bagi kita.

Beg udara

Bayangkan sebuah kereta yang bergerak dengan laju 50 km/h melanggar dinding. Penumpang berjisim 70 kg memakai tali pinggang keledar, dan beg udara mengembang di hadapannya. Tali pinggang keledar bersama beg udara menghentikannya dalam masa lebih kurang 0.1 s. Dengan daya berapakah kedua-duanya bertindak padanya?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0.1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Arah positif ialah arah gerakan. Penumpang itu kehilangan seluruh momentum yang dimilikinya:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13.9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Perubahan momentum ialah Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Tanda negatif hanya menyatakan bahawa daya menghala bertentangan dengan arah gerakan. Magnitud daya:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.1\mathrm{s}}=9730\mathrm{N}$$

Apabila kilogram darab meter per saat dibahagi dengan saat, kita memperoleh kg·m/s², iaitu newton. Daya kira-kira 9 700 N bertindak pada penumpang itu. Beratnya ialah 70 kg · 9.81 m/s² ≈ 690 N, maka tali pinggang keledar dan beg udara memperlahankannya dengan daya kira-kira empat belas kali ganda beratnya. Besar, tetapi masih boleh diharungi.

Jika dia tidak memakai tali pinggang keledar dan tiada beg udara, dia akan menghentam stereng dan papan pemuka dan berhenti dalam masa kira-kira 0.01 s. Momentum yang hilang sama, cuma dalam satu per sepuluh masa:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.01\mathrm{s}}=97300\mathrm{N}$$

Daya ini kira-kira 97 000 N, sepuluh kali ganda daya tadi dan kira-kira seratus empat puluh kali ganda beratnya. Beg udara tidak mengurangkan momentum yang hilang daripada penumpang, kerana momentum itu ditentukan oleh jisim dan halajunya. Beg udara hanya mengambil momentum itu dalam masa yang lebih lama, maka dengan daya yang lebih kecil. Zon renyuk kereta melakukan perkara yang sama: zon itu remuk secara beransur-ansur semasa perlanggaran dan memanjangkan masa untuk berhenti.

Pendaratan yang lembut

Seorang ahli gimnastik, Farah, yang berjisim 40 kg melompat turun dari palang imbangan dan mendarat dengan laju 4 m/s. Sejurus sebelum mendarat, momentumnya ialah

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Di atas lantai yang keras, dia berhenti dalam masa kira-kira 0.05 s walaupun dengan lutut dibengkokkan, dan di atas tilam yang melendut di bawahnya, dalam masa kira-kira 0.25 s. Daya paduan yang memperlahankannya:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.05\mathrm{s}}=3200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

Di atas tilam, daya itu hanya satu per lima, kerana pendaratan berlangsung lima kali ganda lamanya. Dalam kedua-dua kes, Farah kehilangan seluruh momentumnya. Tilam tidak mengubah jumlah momentum yang hilang, tilam hanya mengambilnya dengan lebih perlahan.

Segi empat tepat merah ialah pendaratan di atas lantai, dan yang biru di atas tilam. Tinggi segi empat tepat ialah daya purata, dan lebarnya ialah masa pendaratan, maka luas segi empat tepat ialah daya darab masa, iaitu impuls. Tinggi segi empat tepat merah lima kali ganda tinggi segi empat tepat biru, dan lebarnya hanya satu per lima. Kedua-duanya mempunyai luas yang sama, 160 N·s, kerana kedua-dua pendaratan mengambil momentum yang sama daripada Farah. Daya sebenar semasa mendarat meningkat dengan mendadak dan menurun semula. Impuls kemudiannya ialah luas di bawah lengkungnya, dan daya purata ialah tinggi segi empat tepat yang mempunyai luas yang sama.

Pada masa yang sama, lantai dan tilam mesti menolak lebih kuat lagi sebanyak berat Farah, kira-kira 390 N, kerana Bumi tetap menariknya ke bawah semasa mendarat. Daya paduan ialah beza antara daya yang dikenakan oleh permukaan ke atas dengan berat.

Prinsip yang sama digunakan oleh pasir dalam lompat jauh, tilam dalam lompat bergalah, atau lutut yang dibengkokkan apabila anda melompat turun dari tembok.

Mengapa tangan ditarik semasa menangkap

Semasa menangkap bola yang dibaling dengan kuat, tangan dengan sendirinya berundur bersama bola ke arah badan. Dengan cara ini, bola diperlahankan dalam masa yang lebih lama dan dengan daya yang lebih kecil, dan tapak tangan tidak sakit. Sesiapa yang menghulurkan tangan dengan kaku akan menghentikan bola dalam masa yang sangat singkat, dengan daya yang besar, dan bola sering melantun. Perkara ini paling diketahui oleh sesiapa yang pernah menangkap telur mentah.

Tanda-tanda jingga merekodkan kedudukan bola selepas selang masa yang sama panjang. Di atas, bola berhenti hampir serta-merta pada tangan merah yang kaku. Di bawah, tangan biru berundur bersama bola, dan bola menjadi perlahan secara beransur-ansur, tanda-tandanya semakin rapat. Garis bentuk kelabu menunjukkan kedudukan permulaan tangan. Hentian di bawah mengambil masa yang jauh lebih lama, maka tangan memperlahankan bola dengan daya yang jauh lebih kecil.

Sebiji bola baling berjisim 0.4 kg melayang dengan laju 15 m/s dan mempunyai momentum 6 kg·m/s. Tangan yang kaku menghentikannya dalam masa kira-kira 0.01 s dengan daya 600 N, manakala tangan yang longgar dalam masa 0.1 s dengan daya hanya 60 N.

Melantun lebih teruk daripada berhenti

Anda membaling sebiji bola plastisin berjisim 0.06 kg ke dinding dengan laju 20 m/s. Arah positif dipilih ke arah dinding. Bola itu melekat, maka momentumnya berubah daripada 1.2 kg·m/s kepada sifar:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1.2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1.2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Sekarang ambil sebiji bola tenis dengan jisim dan laju yang sama. Dalam kes ideal, bola itu melantun dan bergerak balik dengan laju yang sama, 20 m/s, iaitu bertentangan dengan arah positif, dan momentumnya ialah −1.2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1.2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1.2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2.4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Perubahan momentum menjadi dua kali ganda. Dinding mesti menghentikan bola tenis dahulu, kemudian menghantarnya balik. Oleh itu, dengan masa sentuhan yang sama panjang, dinding menolak bola tenis dengan daya dua kali ganda berbanding bola plastisin. Salah jika kita mengatakan bahawa momentum tidak berubah kerana bola tenis masih bergerak sama laju. Lajunya sama, tetapi arahnya bertentangan, dan momentum ialah vektor. Sebab itulah juga bola yang melantun dari tangan anda yang kaku lebih menyakitkan berbanding jika bola itu kekal di tapak tangan.

Namun, ke manakah perginya momentum yang hilang daripada bola tenis semasa melantun? Dan bagaimana pula jika bola itu melanggar jasad lain yang boleh mula bergerak, bukan dinding?

Cara mengiranya, mengapa senapang menyentak bahu penembak semasa menembak dan sepantas manakah gerabak yang bercantum bergerak ditunjukkan dalam artikel seterusnya, Prinsip keabadian momentum.