Prinsip keabadian momentum

Momentum tidak muncul daripada tiada dan tidak hilang tanpa kesan. Momentum hanya boleh dipindahkan dari satu jasad ke jasad yang lain. Sama ada dua buah troli berlanggar atau dua orang saling menolak, satu memperoleh momentum dan yang satu lagi kehilangan momentum yang sama banyak. Hasil tambah kedua-dua momentum kekal seperti asalnya. Inilah prinsip keabadian momentum, dan prinsip ini antara hukum yang paling berguna dalam seluruh fizik. Dengannya, kita dapat mengira apa yang berlaku selepas perlanggaran tanpa mengetahui daya yang bertindak semasa perlanggaran itu atau masa tindakannya.

Sistem terasing

Supaya prinsip ini berlaku, kita perlu menyatakan dahulu jasad-jasad yang dibincangkan. Kita pilih beberapa jasad yang ingin dikaji, contohnya dua buah gerabak, dan jasad-jasad itu dipanggil sistem. Daya-daya yang dikenakan oleh jasad-jasad dalam sistem terhadap satu sama lain ialah daya dalam. Daya-daya yang dikenakan oleh sesuatu dari luar, contohnya Bumi atau landasan, ialah daya luar.

Sistem dikatakan terasing apabila tiada daya luar yang bertindak padanya, atau apabila daya-daya luar saling membatalkan dan daya paduannya sifar. Sistem yang terasing sempurna tidak wujud di Bumi, tetapi kita sering sangat menghampirinya. Peluncur ais di atas ais ditarik ke bawah oleh Bumi, dan ais menahannya dari bawah dengan daya yang sama besar, maka kedua-dua daya ini saling membatalkan. Geseran kasut luncur kecil dan kita abaikan.

Sebaliknya, batu yang jatuh dari tebing bukan sistem terasing. Batu itu ditarik oleh Bumi, iaitu daya luar, dan oleh itu momentumnya bertambah. Namun, apabila Bumi turut dimasukkan ke dalam sistem, daya antara batu dengan Bumi menjadi daya dalam. Batu menarik Bumi ke arahnya dengan daya yang sama besar seperti Bumi menariknya, dan Bumi memperoleh momentum yang sama besar dengan arah bertentangan, cuma dengan halaju yang sangat kecil kerana jisimnya yang sangat besar. Begitu juga dengan bola tenis yang melantun dari dinding. Momentum 2.4 kg·m/s yang hilang daripadanya diambil alih oleh dinding, dan bersamanya oleh seluruh Bumi, yang kerana jisimnya mula bergerak dengan begitu perlahan sehingga tidak dapat dikesan.

Jumlah momentum sistem ialah hasil tambah vektor momentum semua jasadnya. Bagi dua jasad:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Apabila jasad-jasad bergerak pada garis lurus yang sama, kita pilih arah positif dan menambah momentum seperti nombor bertanda. Jasad yang bergerak bertentangan dengan arah positif mempunyai momentum negatif.

Mengapa jumlah momentum tidak berubah

Ambil dua jasad dalam sistem terasing yang bertindak terhadap satu sama lain seketika, sama ada berlanggar atau saling menolak. Tiada daya lain yang bertindak padanya, atau daya-daya lain saling membatalkan, maka momentum setiap jasad hanya diubah oleh daya jasad yang satu lagi. Jasad 2 mengenakan daya ${\vec{F}}_{1}$ pada jasad 1. Menurut Hukum Gerakan Newton Ketiga, jasad 1 mengenakan daya yang sama besar dengan arah bertentangan pada jasad 2:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Kedua-dua daya muncul pada saat yang sama dan hilang pada saat yang sama, maka kedua-duanya bertindak sama lama, selama Δt. Impuls sama dengan perubahan momentum, maka momentum kedua-dua jasad berubah sebanyak

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Perubahan momentum sama besar dan berlawanan arah. Kita tambahkan:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Jumlah momentum tidak berubah. Apa yang diperoleh oleh satu jasad hilang daripada jasad yang lain. Daya semasa perlanggaran memang tidak malar, tetapi hal ini tidak menjadi masalah. Kita bahagikan seluruh perlanggaran kepada ketika-ketika yang sangat singkat. Pada setiap ketika, kedua-dua daya sama besar dan berlawanan arah, maka jumlah momentum tidak berubah walau pada satu ketika pun.

Di dalam sistem, jasad-jasad boleh berlanggar, menolak dan menolak menjauhi satu sama lain sesuka hati. Daya dalam sentiasa wujud dalam pasangan tindakan dan tindak balas, maka daya dalam tidak dapat mengubah jumlah momentum. Hanya daya luar yang dapat mengubahnya. Hal yang sama berlaku bagi lebih banyak jasad, setiap pasangan hanya bertukar momentum. Jadi, cerita tentang seorang baron yang kononnya menarik dirinya sendiri keluar dari paya dengan menarik rambutnya hanyalah rekaan. Tangan menarik rambut, rambut menarik tangan, dan kedua-dua daya kekal di dalam tubuh baron itu dan tidak mengubah jumlah momentumnya. Dengan ini kita telah membuktikan prinsip itu:

Jumlah momentum sistem terasing tidak berubah. Momentum sebelum peristiwa (tanpa tanda prima) dan selepasnya (dengan tanda prima) mempunyai hasil tambah yang sama:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Awas, yang malar hanyalah hasil tambahnya. Momentum setiap jasad boleh berubah, dan biasanya memang berubah.

Sentakan senapang

Seorang pemburu menembak dengan senapang berjisim 4 kg. Peluru berjisim 10 g terpancut dengan laju 800 m/s. Sepantas manakah senapang bergerak ke belakang? Buat masa ini, kita tidak mengambil kira tangan dan bahu pemburu, senapang itu hanya tergantung bebas di udara.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0.01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Arah positif dipilih mengikut arah gerakan peluru. Sebelum tembakan, senapang dan peluru pegun, jumlah momentum sifar. Selepas tembakan, jumlah momentum juga mesti sifar:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Kita tolak momentum peluru dan bahagikan dengan jisim senapang:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Kita gantikan nilainya:

$v_{2}^{'} = - \frac{0.01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Senapang bergerak dengan laju 2 m/s, dan tanda negatif menyatakan bahawa senapang bergerak ke belakang, bertentangan dengan gerakan peluru. Peluru dan senapang mempunyai momentum yang sama besar, 8 kg·m/s, cuma berlawanan arah. Namun, jisim senapang empat ratus kali ganda, maka laju senapang hanya satu per empat ratus daripada laju peluru. Momentum gas yang keluar dari laras bersama peluru telah diabaikan.

Dua meter per saat ialah lebih daripada tujuh kilometer per jam. Sesiapa yang memegang senapang dengan longgar akan menerima hentakan kuat daripada popornya pada bahu. Oleh itu, popor ditekan dengan kukuh pada bahu. Senapang kemudian mula bergerak bersama penembak, dan momentum 8 kg·m/s diagihkan kepada jisim yang jauh lebih besar. Dengan penembak berjisim 80 kg, kita peroleh

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0.1 m / s .$

Penembak hanya tertolak sedikit, dan jika dia berdiri dengan kukuh, dia tidak tertolak langsung.

Dua orang peluncur ais

Di atas ais, dua orang peluncur ais, Siti dan Mei Ling, berdiri berhadapan. Mereka meletakkan tapak tangan pada tapak tangan dan saling menolak. Jisim Siti ialah 50 kg, dan jisim Mei Ling 60 kg. Mei Ling bergerak pergi dengan laju 1 m/s. Sepantas manakah Siti bergerak pergi?

Arah positif dipilih mengikut arah Mei Ling bergerak pergi, dan Siti ditandakan dengan indeks 1. Sebelum menolak, kedua-duanya pegun, maka jumlah momentum juga sifar selepas itu:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Kita ungkapkan halaju Siti dan gantikan nilainya:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1.2 m / s \end{aligned}$

Siti bergerak pergi dengan laju 1.2 m/s ke arah yang bertentangan. Kita semak bahawa momentum-momentum itu benar-benar memberikan sifar:

$50 kg \cdot (- 1.2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Setiap seorang memperoleh momentum 60 kg·m/s, masing-masing ke arah yang berbeza.

Siti (merah) dan Mei Ling (biru) sebelum menolak (kelabu) dan selepasnya, halaju v⃗_1' dan v⃗_2'

Laju kedua-dua peluncur ais dalam nisbah 1.2:1, iaitu 6:5, dan nisbah ini ialah songsangan nisbah jisim mereka 50:60. Peluncur ais yang lebih ringan bergerak pergi dengan lebih laju. Sekuat mana mereka saling menolak tidak penting. Jika mereka saling menolak selama yang sama dengan daya dua kali ganda, laju kedua-duanya akan menjadi dua kali ganda, tetapi nisbahnya tetap 6:5.

Siapa yang menolak juga tidak penting. Kita mudah menyangka bahawa jika hanya Siti yang menolak dan Mei Ling memegang tangannya dengan kukuh, Mei Linglah yang terutamanya akan bergerak pergi. Namun, daya dalam pasangan itu sama besar tidak kira siapa yang menolak, dan Siti yang lebih ringan sekali lagi bergerak pergi dengan lebih laju.

Prinsip yang sama berlaku apabila melompat dari sebuah sampan kecil ke tebing. Pelompat menolak sampan dan sampan menolaknya, maka semasa dia melayang ke hadapan, sampan bergerak ke belakang. Jika sampan itu ringan, sampan itu bergerak agak jauh, dan pelompat itu jatuh ke dalam air dan bukan ke tebing.

Perlanggaran gerabak

Di sebuah laman langsir kereta api, sebuah gerabak berjisim 20 t bergerak dengan laju 2 m/s dan melanggar sebuah gerabak pegun yang sama jisimnya. Penyambung automatik terkunci semasa perlanggaran, dan gerabak-gerabak itu terus bergerak bersambung. Sepantas manakah gerabak-gerabak itu bergerak?

Perlanggaran yang selepasnya jasad-jasad kekal bercantum dan bergerak bersama dipanggil perlanggaran tak kenyal. Arah positif dipilih mengikut arah gerakan gerabak pertama.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Selepas perlanggaran, kedua-dua gerabak mempunyai halaju yang sama v', maka momentumnya ialah momentum satu jasad berjisim m₁ + m₂. Prinsip keabadian momentum:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Sebelum perlanggaran, hanya gerabak pertama yang mempunyai momentum:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Selepas perlanggaran, kedua-dua gerabak bersama-sama mesti mempunyai momentum yang sama. Kita bahagikan momentum itu dengan jumlah jisimnya:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Gerabak-gerabak yang bersambung bergerak dengan laju 1 m/s, iaitu separuh daripada laju asal. Jisim menjadi dua kali ganda dan momentum kekal sama, maka laju mesti berkurang menjadi separuh. Jika gerabak itu melanggar dua gerabak pegun yang sudah bersambung, momentum yang sama akan diagihkan kepada jisim tiga kali ganda, 60 000 kg, dan ketiga-tiganya akan bergerak dengan satu pertiga laju, kira-kira 0.67 m/s.

Gerabak melanggar gerabak pegun dan gerabak-gerabak yang bersambung terus bergerak dengan separuh laju

Tanda-tanda jingga menunjukkan kedudukan bahagian hadapan gerabak merah selepas selang masa yang sama panjang. Selagi gerabak merah bergerak sendirian, jarak antara tanda sama. Selepas bersambung dengan gerabak biru, jarak antara tanda masih sama, cuma separuh.

Sekarang kes yang lebih mengelirukan. Gerabak kedua tidak pegun, tetapi bergerak ke arah gerabak pertama dengan laju 1 m/s. Gerabak itu bergerak bertentangan dengan arah positif, maka v₂ = −1 m/s. Salah jika kita menambah momentum kedua-dua gerabak tanpa mengambil kira arah, kerana laju gerabak-gerabak yang bersambung akan menjadi 1.5 m/s. Oleh itu, halaju gerabak kedua digantikan bersama tanda negatif:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0.5 m / s \end{aligned}$

Gerabak-gerabak yang bersambung akan bergerak dengan laju 0.5 m/s mengikut arah gerakan gerabak pertama. Jika kedua-duanya bergerak ke arah satu sama lain dengan laju yang sama, kedua-duanya akan berhenti di tempat itu.

Sebenarnya, gerabak-gerabak itu bukan sistem terasing, kerana roda bergeser dengan landasan. Namun, daya-daya luar ini kecil, dan perlanggaran hanya berlangsung selama sebahagian kecil saat, maka dalam masa itu daya-daya itu hanya mengubah momentum gerabak dengan sangat sedikit. Daya antara gerabak yang berlanggar jauh lebih besar. Oleh itu, kita boleh menggunakan prinsip keabadian momentum bagi perlanggaran walaupun sistemnya tidak terasing sepenuhnya.

Roket

Sebuah roket berada di angkasa lepas, jauh dari planet, dan jumlah momentumnya bersama bahan api sifar. Enjin membakar bahan api dan memancutkan gas panas melalui muncung ke belakang dengan laju yang sangat tinggi. Gas itu memperoleh momentum ke belakang, dan supaya jumlah momentum roket bersama gas kekal sifar, roket mesti memperoleh momentum yang sama besar ke hadapan. Sebenarnya, roket ialah senapang yang setiap saat menembak sejumlah besar “peluru” kecil ke belakang dan setiap kali memecut sedikit ke hadapan.

Tiada apa-apa dari luar yang perlu bertindak pada sistem roket dan gas, roket tidak memerlukan tanah atau udara dan memecut walaupun dalam vakum. Roket menolak gas yang dibawa dan dipancutkannya sendiri. Semakin banyak gas yang dipancutkan dalam satu saat dan semakin laju, semakin besar momentum yang dipindahkan kepada gas itu dan semakin besar pecutan roket.

Semasa perlanggaran, momentum hanya berpindah dari satu jasad ke jasad yang lain. Daya yang benar-benar mengurangkan gerakan dan akhirnya menghentikan hampir segala-galanya yang menggelongsor di atas tanah ialah geseran. Geseran dibincangkan dalam artikel seterusnya, Geseran.

« Artikel sebelumnya: Momentum dan impuls

Artikel seterusnya: Geseran »