Jatuh bebas

Lepaskan serentak segugus kunci dan sehelai kertas dari tangan anda. Kunci berdenting di lantai hampir dengan segera, manakala kertas masih melayang-layang di udara seketika. Adakah benda yang lebih berat jatuh lebih laju? Itulah yang dipercayai oleh kebanyakan sarjana selama hampir dua ribu tahun, bermula dengan Aristotle. Barulah Galileo Galilei, pada penghujung abad ke-16 dan awal abad ke-17, mendapati bahawa udaralah yang menyebabkan perbezaan itu. Jika tiada udara, batu, tukul dan bulu burung akan jatuh sama laju.

Menurut cerita, Galileo menjatuhkan dua biji bola yang berbeza jisimnya dari Menara Condong Pisa sebagai bukti kepada pelajar-pelajarnya. Ceritanya menarik, tetapi kita hanya mengetahuinya daripada murid dan penulis biografinya, dan ahli sejarah meragui bahawa peristiwa itu benar-benar berlaku. Sebenarnya, Galileo membuat penemuan itu melalui eksperimen yang lebih teliti, yang akan kita bincangkan nanti.

Tukul dan bulu burung di Bulan

Di Bumi, hal ini sukar ditunjukkan kerana udara ada di sekeliling kita. Namun, di Bulan tiada udara. Pada tahun 1971, seorang angkasawan misi Apollo 15 menjatuhkan sebuah tukul geologi dan sehelai bulu burung falkon dari ketinggian yang sama di hadapan kamera televisyen. Bulu itu tidak dipilih secara kebetulan: modul pendaratan misi itu dinamakan Falcon. Kedua-duanya jatuh sama laju dan mendarat di atas debu pada saat yang sama. Angkasawan itu menambah dengan selamba bahawa Galileo memang betul.

Di sebelah kiri ialah Bulan, dan di sebelah kanan, sebagai perbandingan, Bumi yang mempunyai udara.

Gerakan jasad yang dilepaskan dari keadaan pegun dan kemudian jatuh hanya kerana ditarik oleh Bumi (atau Bulan), tanpa sebarang rintangan udara, dipanggil jatuh bebas. Di Bulan, bulu burung dan tukul jatuh bebas. Di Bumi, batu, kunci atau epal yang jatuh sangat hampir dengan jatuh bebas, sekurang-kurangnya selagi benda-benda itu tidak jatuh dari tempat yang sangat tinggi. Bulu burung dan kertas tidak jatuh bebas, kerana udara terlalu banyak memperlahankannya.

Jatuh dengan pecutan g

Galileo menemui satu perkara lagi. Laju jasad yang jatuh bertambah secara seragam, iaitu sama banyak dalam setiap saat. Jadi, jatuh bebas ialah gerakan dengan pecutan seragam dari keadaan pegun. Pecutannya sama bagi semua jasad di tempat yang sama, dipanggil pecutan graviti dan ditandakan g. Hal ini kedengaran pelik, kerana tukul jauh lebih berat daripada bulu burung. Bumi memang menarik tukul dengan lebih kuat, tetapi tukul juga lebih kuat menentang untuk mula bergerak, dan kedua-dua kesan ini tepat seimbang. Sebabnya hanya akan ditunjukkan dalam bahagian tentang daya. Di permukaan Bumi,

$$g\approx 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Laju batu yang jatuh bebas bertambah sebanyak 9.81 m/s setiap saat. Nilai tepatnya berbeza sedikit dari satu tempat ke satu tempat: di khatulistiwa, pecutan graviti kira-kira 9.78 m/s², dan di kutub 9.83 m/s². Untuk anggaran dalam kepala, 10 m/s² sudah mencukupi. Di Bulan, pecutan graviti lebih kurang satu per enam daripada nilai di Bumi, maka tukul dan bulu burung itu jatuh dengan ketara lebih perlahan di Bulan berbanding batu di Bumi.

Jasad jatuh mengikut garis lurus tegak, maka arah positif dipilih ke bawah. Pecutan dan laju kemudiannya positif. Rumus gerakan dengan pecutan seragam v = v₀ + a · t dan $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ menjadi lebih mudah di sini. Jasad bermula dari keadaan pegun, maka laju awal ialah v₀ = 0, dan pecutannya ialah a = g. Jarak akan ditandakan h sebagai tinggi, kerana jarak ini menyatakan berapa meter jasad itu jatuh. Yang tinggal:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Masa t diukur dari saat jasad dilepaskan, v ialah laju pada ketika itu, dan h ialah tinggi yang dijatuhi oleh jasad dalam masa itu. Dalam saat pertama, batu mencapai laju 9.81 m/s dan jatuh sejauh 4.9 m. Selepas dua saat, lajunya 19.6 m/s dan batu telah jatuh 19.6 m. Selepas tiga saat, lajunya 29.4 m/s dan batu sudah berada 44.1 m di bawah tempat ia dilepaskan.

Anda mungkin terfikir untuk mengira tinggi sebagai laju darab masa. Namun, batu hanya mencapai laju 19.6 m/s pada akhir saat kedua, sebelum itu batu jatuh lebih perlahan, dan hasilnya akan menjadi dua kali ganda nilai sebenar. Sebab itulah terdapat separuh dalam rumus itu.

Kesan pada selang masa yang sama

Dalam rajah, sebiji guli jatuh, dalam gerak perlahan supaya sesuatu dapat dilihat, dan selepas setiap selang masa yang sama panjang, contohnya setiap satu per sepuluh saat, guli itu meninggalkan kesan jingga. Kesan-kesan itu semakin berjauhan kerana guli itu menjadi lebih laju pada setiap ketika. Dalam satu bahagian masa, guli itu turun sebanyak satu bahagian jarak, dalam dua bahagian masa sebanyak 2² = 4 bahagian, dalam tiga bahagian 3² = 9 dan dalam empat bahagian 4² = 16 bahagian. Bahagian di antara kesan-kesan itu kemudiannya berukuran 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 dan 16 − 9 = 7 bahagian. Kuasa dua yang bersebelahan berbeza dengan nombor ganjil.

Jatuh bebas terlalu pantas bagi jam pada zaman itu, maka Galileo melepaskan guli di sepanjang alur yang sedikit condong, tempat segala-galanya berlaku dengan lebih perlahan. Dia menemui tepat nombor-nombor ganjil ini, 1 : 3 : 5 : 7.

Berapakah kedalaman perigi?

Di rumah datuk anda di kampung terdapat sebuah perigi lama, dan anda ingin mengetahui kedalaman permukaan airnya. Anda menjatuhkan sebiji batu ke dalamnya dan mengukur dengan jam randik bahawa batu itu berdebur selepas 2 s. Mula-mula, kita senaraikan apa yang diketahui tentang jatuhan itu:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Batu jatuh dari keadaan pegun, maka kita terus menggantikan nilai ke dalam rumus tinggi:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19.6\mathrm{m}\end{array}$$

Saat kuasa dua terbatal, dan yang tinggal ialah meter. Permukaan air terletak kira-kira 19.6 m di bawah bibir perigi, sungguh dalam. Sebagai semakan cepat, kita ambil nilai bundar g ≈ 10 m/s²: separuh daripada sepuluh darab empat ialah dua puluh meter. Betul.

Masa yang diperlukan oleh bunyi debur itu untuk naik semula telah kita abaikan. Bunyi melalui dua puluh meter dalam masa lebih kurang enam per seratus saat, dan hal ini hampir tidak memberi kesan berbanding dua saat. Rintangan udara pun tidak banyak memperlahankan batu dalam jarak dua puluh meter.

Laju batu membentuk garis lurus pada graf yang naik sebanyak 9.81 m/s setiap saat. Kecerunannya ialah pecutan graviti g. Jarak diperoleh sebagai luas di bawah graf, di sini segi tiga merah dengan sisi 2 s dan 19.6 m/s yang mengapit sudut tegak. Luasnya ialah $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19.6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19.6\mathrm{m}$, tepat seperti yang diperoleh daripada rumus.

Terjun dari menara setinggi sepuluh meter

Pelantar tertinggi bagi terjunan ke dalam air berada sepuluh meter di atas permukaan air. Berapa lamakah seorang penerjun jatuh dan dengan laju berapakah dia menghentam air? Sebenarnya, penerjun melompat dari pelantar dan berputar di udara, tetapi kita permudahkan: dia hanya jatuh dari keadaan pegun seperti batu.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Kali ini, kita tahu tinggi dan mencari masa, maka masa perlu diungkapkan daripada rumus tinggi. Mula-mula, kedua-dua belah didarab dengan dua, dan pecahan itu hilang. Kemudian, kedua-dua belah dibahagi dengan pecutan graviti, dan di sebelah kanan hanya tinggal masa kuasa dua:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Setakat ini kita memperoleh masa kuasa dua, tetapi kita memerlukan masa itu sendiri. Punca kuasa dua membantu: kita cari punca kuasa dua bagi kedua-dua belah. Hasil negatif tidak diperlukan, kerana masa sejak jasad dilepaskan sentiasa positif:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Kita gantikan nilainya:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2.04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1.43\mathrm{s}\end{array}$$

Meter terbatal, dan saat kuasa dua berpindah dari penyebut ke pengangka. Punca kuasa duanya memberikan saat. Laju semasa menghentam air kemudian diperoleh daripada rumus laju:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1.43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Penerjun itu jatuh kurang daripada satu setengah saat dan menghentam air dengan laju kira-kira 14 m/s, iaitu lebih kurang 50 km/h. Selaju itulah kereta bergerak di bandar.

Laju semasa menghentam air juga boleh dicari tanpa masa. Daripada hubungan $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ dengan laju awal sifar, pecutan g dan jarak h, kita peroleh $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Selepas penggantian, kita mendapat $\sqrt{196.2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sama seperti tadi.

Awas, ada perangkap. Dari ketinggian dua kali ganda, masa jatuh penerjun tidak menjadi dua kali ganda. Tinggi berada di bawah tanda punca kuasa dalam rumus, maka dari dua puluh meter dia hanya akan jatuh selama kira-kira 2.02 s. Hal ini sepadan dengan perigi tadi: dalam dua saat, batu jatuh hampir dua puluh meter.

Rumus yang sama juga boleh digunakan untuk eksperimen yang menyeronokkan. Seorang kawan memegang pembaris secara tegak, dan ibu jari serta jari telunjuk anda terbuka di sekeliling hujung bawahnya. Kawan anda melepaskannya tanpa amaran, dan anda menangkapnya secepat mungkin. Jika pembaris itu sempat jatuh sejauh 20 cm, pembaris itu jatuh selama $\sqrt{\frac{2\cdot 0.2\mathrm{m}}{9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0.2\mathrm{s}$, dan itulah masa tindak balas anda.

Rintangan udara dan penerjun payung

Jika tiada udara, penerjun payung akan mencapai laju v = 9.81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s selepas jatuh selama lima belas saat, iaitu lebih daripada 500 km/h, dan dia akan terus memecut. Namun, dia tidak pernah jatuh selaju itu kerana udara memberikan rintangan kepada jasad yang jatuh, dan rintangan itu semakin besar apabila jasad bergerak semakin laju.

Sejurus selepas melompat dari kapal terbang, penerjun payung masih perlahan, rintangan udara kecil dan dia jatuh hampir bebas. Namun, rintangan bertambah dengan laju, laju bertambah semakin perlahan, hingga akhirnya laju berhenti bertambah sama sekali. Penerjun payung itu kemudian jatuh dengan laju malar yang dipanggil halaju terminal. Dalam kedudukan meniarap dengan tangan dan kaki terkembang, halaju ini kira-kira 200 km/h. Payung terjun yang dibuka meningkatkan rintangan dengan mendadak, dan laju turun kepada beberapa meter per saat, cukup perlahan untuk mendarat dengan selamat.

Udara juga berguna semasa hujan. Setitis hujan dari awan pada ketinggian dua kilometer, tanpa rintangan udara, akan jatuh dengan laju $\sqrt{2\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lebih daripada 700 km/h, iaitu laju sebuah kapal terbang. Sebenarnya, titisan hujan yang besar pun hanya jatuh dengan laju kira-kira 9 m/s.

Bulu burung dan sehelai kertas mempunyai halaju terminal yang sangat kecil dan mencapainya hampir serta-merta. Sebab itulah benda-benda itu turun dengan begitu perlahan. Mengapa bentuk dan jisim sangat penting akan ditunjukkan dalam bahagian dinamik. Batu yang jatuh ke dalam perigi atau penerjun dari menara mempunyai laju paling tinggi kira-kira tujuh puluh kilometer per jam, dan pada laju itu rintangan udara masih kecil. Oleh itu, rumus jatuh bebas memberikan hasil yang cukup tepat.

Kalkulator jatuh bebas

Isikan masa jatuh, dan kalkulator akan memberitahu dari ketinggian berapakah jasad itu jatuh dan dengan laju berapakah ia mendarat. Kalkulator ini mengira dengan g = 9.81 m/s² dan tanpa rintangan udara.

Dan sebaliknya: masukkan tinggi, dan kalkulator akan menentukan berapa lama jasad itu jatuh dan dengan laju berapakah ia mendarat.

Batu yang jatuh melakukan satu gerakan sahaja, tegak ke bawah. Namun, jasad sering melakukan beberapa gerakan serentak: sampan yang menghala ke tebing seberang dihanyutkan oleh arus, dan titisan hujan yang jatuh tegak kelihatan bergerak condong dari dalam kereta yang sedang bergerak. Ke manakah sampan itu sampai dan ke arah manakah sampan itu perlu dihalakan supaya mendarat tepat di seberang, akan kita kira dalam artikel seterusnya, Gabungan gerakan.