Kuantiti skalar dan kuantiti vektor

“Suhu di luar 20 °C.” Tiada apa-apa lagi yang perlu ditambah. Semua orang tahu sama ada perlu membawa baju sejuk. Suhu diperihalkan oleh nombor dan unit. Namun, cuba tunjukkan jalan kepada seseorang dengan ayat “jalan 100 m”. Dia akan segera bertanya: ke mana? Lurus, ke kiri atau ke belakang? Seratus meter ke utara membawanya ke stesen kereta api, seratus meter ke selatan terus ke dalam kolam. Bagi kuantiti seperti ini, nombor tidak mencukupi. Kita juga memerlukan arah.

Skalar atau vektor?

Kuantiti yang diperihalkan sepenuhnya oleh nombor dan unit dipanggil kuantiti skalar. Suhu, masa, jisim dan jarak ialah kuantiti skalar. Apabila anda mengatakan bahawa jisim sebuah beg ialah 5 kg atau sebuah filem berlangsung selama 2 h, anda tidak perlu menambah apa-apa lagi. Jisim tidak menghala ke kiri atau ke atas.

Kuantiti yang juga bergantung pada arah dipanggil kuantiti vektor. Contoh biasa vektor ialah daya. Sesiapa yang pernah mengalihkan almari tahu bahawa menolaknya ke arah dinding berbeza daripada menolaknya menjauhi dinding. Halaju juga vektor: sebuah kereta yang bergerak 90 km/h menuju ke Johor Bahru dan sebuah kereta yang bergerak 90 km/h meninggalkan Johor Bahru mempunyai laju yang sama, tetapi setiap satunya menuju ke tempat yang berbeza.

Vektor dikenal pasti melalui anak panah di atas simbolnya. Daya sebagai vektor ditulis $\overrightarrow{F}$. Kadangkala arah tidak penting dan kita hanya ingin mengetahui besarnya daya. Bahagian ini dipanggil magnitud vektor dan ditulis sama ada dengan garis tegak atau hanya dengan simbol tanpa anak panah:

$$|\overrightarrow{F}|=F$$

Magnitud daya ialah kuantiti skalar, contohnya F = 300 N. Newton N ialah unit daya, dan buat masa ini kita tidak memerlukan maklumat lanjut tentangnya. Di sini, daya digunakan terutamanya sebagai contoh vektor.

Vektor sebagai anak panah

Vektor dilukis sebagai anak panah. Anak panah itu menghala ke arah vektor, dan panjangnya sepadan dengan magnitud vektor. Untuk melukis anak panah, kita memilih skala, contohnya satu sentimeter di atas kertas mewakili 100 N. Maka, daya 300 N ialah anak panah sepanjang tiga sentimeter, manakala daya 50 N hanya sepanjang setengah sentimeter.

Rajah ini menunjukkan tiga anak panah merah. Kesemuanya mempunyai panjang dan arah yang sama, maka ketiga-tiganya mewakili satu vektor yang sama $\overrightarrow{u}$, cuma dilukis di tiga tempat yang berbeza. Vektor ditentukan hanya oleh magnitud dan arah. Titik mula anak panah tidak penting. Oleh itu, anak panah boleh dianjak sesuka hati, asalkan tidak diputar, dipendekkan atau dipanjangkan. Hal ini akan berguna semasa menambah vektor.

Anak panah biru $\overrightarrow{w}$ sama panjang dengan anak panah merah, tetapi menghala ke arah lain. Jadi, anak panah itu mewakili vektor yang berbeza. Kedua-dua vektor mempunyai magnitud yang sama, $|\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{w}|$, namun $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{w}$.

Penambahan vektor

Ahmad bertolak dari tapak perkhemahan dan berjalan sejauh 3 km ke timur. Kemudian dia membelok dan berjalan sejauh 4 km lagi ke utara. Berapakah jaraknya dari tapak perkhemahan?

Mari kita lukis. Dalam rajah, utara berada di atas, timur di kanan, dan satu petak mewakili satu kilometer. Titik jingga ialah tapak perkhemahan, anak panah merah ialah bahagian pertama perjalanan dan anak panah biru ialah bahagian kedua.

Anak panah biru tidak bermula di tapak perkhemahan, tetapi di hujung anak panah merah. Hal ini kerana Ahmad berjalan ke utara dari tempat dia sampai selepas berjalan ke timur. Beginilah cara vektor ditambah: anak panah kedua dianjak supaya bermula di hujung anak panah pertama. Hasil tambahnya ialah anak panah dari pangkal anak panah pertama ke hujung anak panah kedua. Dalam rajah, anak panah ini berwarna hijau dan menunjukkan tempat Ahmad berhenti. Animasi menunjukkannya langkah demi langkah: anak panah biru mula-mula bermula di tempat yang sama dengan anak panah merah, kemudian dianjak ke hujungnya, dan barulah anak panah hijau muncul.

Jika kita menambah nombor biasa dan bukan vektor, kita memperoleh 3 km + 4 km = 7 km. Ahmad memang berjalan sejauh tujuh kilometer, tetapi dia tidak berada sejauh itu dari tapak perkhemahan. Dia mengambil jalan yang berliku, manakala anak panah hijau ialah jalan pintas. Oleh itu, anak panah hijau lebih pendek daripada jumlah kedua-dua bahagian perjalanan.

Berapakah panjang anak panah hijau? Anak panah merah, biru dan hijau membentuk sebuah segi tiga bersudut tegak, iaitu segi tiga yang mempunyai satu sudut tegak. Dua sisi yang mengapit sudut tegak ialah sisi yang lebih pendek, manakala sisi ketiga yang paling panjang dan bertentangan dengan sudut tegak ialah hipotenus. Bagi segi tiga bersudut tegak, teorem Pythagoras berlaku: kuasa dua hipotenus sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain. Kedua-dua sisi itu berukuran 3 km dan 4 km, maka bagi hipotenus c

$$c^2=(3\mathrm{km}{)}^2+(4\mathrm{km}{)}^2.$$

Kita kuasa duakan. Unit juga dikuasaduakan: kilometer darab kilometer ialah kilometer persegi:

$$c^2=9{\mathrm{km}}^2+16{\mathrm{km}}^2=25{\mathrm{km}}^2$$

Kemudian kita cari punca kuasa dua:

$$c=\sqrt{25{\mathrm{km}}^2}=5\mathrm{km}$$

Ahmad berada 5 km dari tapak perkhemahan. Dalam fizik, anak panah dari tempat kita bermula ke tempat kita berhenti dipanggil sesaran. Tidak seperti jarak kilometer yang dilalui, sesaran ialah vektor: selain lima kilometer, sesaran juga menyatakan arah tapak perkhemahan itu. Kita akan kembali kepada arah ini di akhir artikel.

Hasil tambah boleh ditulis seperti nombor, cuma dengan anak panah. Apabila dua vektor $\overrightarrow{u}$ dan $\overrightarrow{w}$ ditambah, kita memperoleh vektor baharu $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}$. Awas, secara amnya magnitud hasil tambah bukan hasil tambah magnitud. Jika bahagian pertama perjalanan Ahmad ditandakan sebagai $\overrightarrow{u}$ dan bahagian kedua sebagai $\overrightarrow{w}$, magnitud hasil tambahnya ialah

$$|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}|=5\mathrm{km},$$

manakala hasil tambah magnitudnya ialah

$$|\overrightarrow{u}|+|\overrightarrow{w}|=3\mathrm{km}+4\mathrm{km}=7\mathrm{km}.$$

Hukum segi empat selari

Seorang lelaki membawa dua ekor anjing dengan tali. Setiap anjing menarik ke arah yang berbeza, seekor dengan daya ${\overrightarrow{F}}_1$ dan seekor lagi dengan daya ${\overrightarrow{F}}_2$. Kedua-dua daya bertindak pada tangan yang memegang tali. Ke manakah kedua-dua anjing itu menarik lelaki itu bersama-sama?

Daya-daya itu bertindak pada titik yang sama, maka cara paling semula jadi ialah melukis anak panah dari titik permulaan yang sama. Daya paduan diperoleh dengan hukum segi empat selari. Dari hujung setiap anak panah, kita lukis garis putus-putus yang selari dengan anak panah yang satu lagi. Maka terbentuklah sebuah segi empat selari, dan pepenjurunya yang bermula dari titik sepunya ialah hasil tambah yang dicari, $\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2$.

Mengapakah kaedah ini berkesan? Sisi putus-putus di sebelah kanan segi empat selari itu sama panjang dan selari dengan anak panah biru. Jadi, sisi itu ialah anak panah biru ${\overrightarrow{F}}_2$ yang dianjak ke hujung anak panah merah ${\overrightarrow{F}}_1$. Kita sudah mengenalinya daripada bahagian sebelum ini: anak panah kedua dianjak ke hujung anak panah pertama. Kedua-dua kaedah, iaitu segi empat selari dan penyambungan anak panah, sentiasa memberikan hasil yang sama. Penyambungan anak panah sesuai untuk peristiwa yang berlaku secara berturutan (mula-mula ke timur, kemudian ke utara), manakala segi empat selari sesuai untuk daya yang bertindak serentak pada titik yang sama.

Anak panah hijau menunjukkan arah tarikan anjing-anjing itu. Daya ini dipanggil daya paduan. Oleh sebab setiap anjing menarik ke arah yang sedikit berbeza, daya paduan lebih kecil berbanding jika kedua-duanya menarik ke arah yang sama. Magnitudnya boleh diukur pada rajah mengikut skala. Buat masa ini, kita hanya dapat mengiranya dalam dua kes: apabila daya-daya itu saling serenjang, seperti dua bahagian perjalanan Ahmad, atau apabila daya-daya itu terletak pada garis lurus yang sama (lihat di bawah).

Vektor pada garis lurus yang sama

Pengiraan paling mudah apabila vektor terletak pada garis lurus yang sama. Dua orang sahabat menolak sebuah kereta yang rosak. Seorang menolak dengan daya 300 N dan seorang lagi dengan daya 250 N, kedua-duanya ke hadapan. Anak panah disambung satu demi satu, dan kita memperoleh anak panah yang panjangnya ialah hasil tambah:

$$F=300\mathrm{N}+250\mathrm{N}=550\mathrm{N}$$

Anak panah merah dan biru ialah daya kedua-dua sahabat itu, manakala anak panah hijau ialah daya paduan.

Situasi lain: tarik tali. Satu pasukan menarik ke kanan dengan daya 300 N, manakala pasukan yang satu lagi menarik ke kiri dengan daya 250 N. Kedua-dua daya bertindak pada simpulan di tengah-tengah tali dan menghala tepat bertentangan. Anak panah bermula dari simpulan ke arah yang bertentangan. Oleh itu, daya paduan ialah bezanya:

$$F=300\mathrm{N}-250\mathrm{N}=50\mathrm{N}$$

Dalam rajah, daya pasukan pertama berwarna merah, daya pasukan kedua berwarna biru dan daya paduan berwarna hijau. Daya paduan 50 N menghala ke kanan, iaitu ke arah pasukan yang lebih kuat. Jika kedua-dua pasukan menarik sama kuat, daya paduan menjadi sifar dan daya-daya itu seimbang. Hanya apabila vektor menghala ke arah yang sama atau tepat bertentangan, magnitudnya boleh ditambah dan ditolak seperti nombor biasa.

Vektor negatif dan pendaraban dengan nombor

Vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan $\overrightarrow{u}$ tetapi menghala tepat bertentangan dipanggil vektor negatif dan ditulis $-\overrightarrow{u}$. Dalam rajah di bawah, vektor ini berwarna biru. Jika kita menambah sesuatu vektor dengan vektor negatifnya, kita kembali ke tempat permulaan dan memperoleh vektor sifar:

$$\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}$$

Beginilah kesudahan tarik tali antara dua pasukan yang sama kuat. Dengan vektor negatif, penolakan juga boleh dilakukan: menolak $\overrightarrow{w}$ bermaksud menambah $-\overrightarrow{w}$, iaitu $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{w})$.

Vektor juga boleh didarab dengan nombor. Vektor hijau $2\overrightarrow{u}$ menghala ke arah yang sama dengan $\overrightarrow{u}$, tetapi dua kali ganda panjangnya. Vektor ini sama dengan $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}$, iaitu dua anak panah yang sama disambung satu demi satu. Apabila didarab dengan nombor negatif, arah vektor juga diterbalikkan: vektor jingga $-2\overrightarrow{u}$ dua kali ganda panjangnya dan menghala ke arah bertentangan. Sebenarnya, vektor negatif $-\overrightarrow{u}$ ialah vektor $\overrightarrow{u}$ yang didarab dengan nombor −1.

Dalam fizik, hal ini bermaksud: jika daya digandakan dua dan arahnya dikekalkan, kita memperoleh daya $2\overrightarrow{F}$. Magnitudnya menjadi dua kali ganda, arahnya kekal.

Sinus dan kosinus

Vektor yang condong sering lebih mudah dileraikan kepada dua vektor yang saling serenjang, contohnya satu mengufuk dan satu mencancang. Untuk itu, kita perlu memperkenalkan dua konsep baharu, iaitu sinus dan kosinus. Kedua-duanya berasaskan segi tiga bersudut tegak.

Segi tiga dalam rajah mempunyai sudut tegak di bucu C, dan hipotenusnya ialah sisi hitam c. Kita lihat sudut α di bucu A. Sisi merah a terletak bertentangan dengan sudut itu, maka sisi ini dipanggil sisi bertentangan. Sisi biru b mengapit sudut α bersama hipotenus, maka sisi ini dipanggil sisi bersebelahan.

Sinus sudut α ialah nisbah sisi bertentangan kepada hipotenus, manakala kosinus ialah nisbah sisi bersebelahan kepada hipotenus:

$$\sin \alpha =\frac{a}{c},\mathrm{kos}\alpha =\frac{b}{c}$$

Apakah gunanya nisbah ini? Besarkan seluruh segi tiga dua kali ganda. Semua sisi menjadi dua kali ganda panjangnya, tetapi sudut-sudutnya kekal. Nisbah $\frac{a}{c}$ tidak berubah kerana pengangka dan penyebut kedua-duanya menjadi dua kali ganda. Oleh itu, sinus dan kosinus tidak bergantung pada saiz segi tiga yang dilukis, tetapi hanya pada saiz sudut α. Sinus sudut 30° sentiasa sama, sama ada anda melukis segi tiga itu di dalam buku latihan atau di padang sekolah.

Dalam segi tiga bersudut tegak, hipotenus ialah sisi yang paling panjang. Maka, kedua-dua nisbah sentiasa kurang daripada satu. Sinus dan kosinus bagi sudut tirus tidak pernah melebihi satu.

Sinus dan kosinus bagi sebarang sudut boleh dikira dengan kalkulator yang mempunyai butang sin dan kos. Namun, pastikan kalkulator anda mengira dalam darjah. Jika paparan tidak menunjukkan DEG tetapi RAD atau GRAD, kalkulator mengira dalam unit sudut yang lain dan hasilnya tidak masuk akal. Inilah salah satu kesilapan yang paling kerap berlaku semasa ujian. Di laman ini anda boleh menggunakan kalkulator sinus atau kosinus. Sifat lain kedua-dua fungsi ini terdapat dalam artikel Sinus dan kosinus.

Tiga sudut tanpa kalkulator

Bagi sudut 30°, 45° dan 60°, sinus dan kosinus boleh dikira tanpa kalkulator. Kita hanya memerlukan segi tiga sama sisi dan segi empat sama.

Di sebelah kiri terdapat segi tiga sama sisi dengan sisi 2. Semua sudutnya bersaiz 60°. Garis tinggi putus-putus membahagikannya kepada dua segi tiga bersudut tegak yang kongruen. Segi tiga merah mempunyai hipotenus 2, sisi bawah 1 kerana sisi ini separuh daripada sisi segi tiga asal, serta sudut 60° di bawah dan 30° di atas kerana garis tinggi membahagi dua sama sudut atas. Panjang garis tinggi diperoleh daripada teorem Pythagoras: $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$. Sekarang kita gantikan ke dalam takrif. Sisi 1 terletak bertentangan dengan sudut 30°, maka

$$\sin 30°=\frac{1}{2},\mathrm{kos}30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866.$$

Bagi sudut 60°, keadaannya terbalik. Garis tinggi $\sqrt{3}$ terletak bertentangan dengannya:

$$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0.866,\mathrm{kos}60°=\frac{1}{2}.$$

Di sebelah kanan terdapat segi empat sama dengan sisi 1 yang dibahagi oleh pepenjuru. Pepenjuru membahagi dua sama sudut tegak, maka segi tiga biru mempunyai sudut 45°, dua sisi sepanjang 1 dan hipotenus $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Sinus dan kosinusnya sama:

$$\sin 45°=\mathrm{kos}45°=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$$

Kesemuanya dirumuskan dalam jadual berikut:

Menariknya, sinus 30° sama dengan kosinus 60° dan sebaliknya. Hal ini bukan kebetulan: sisi bertentangan bagi satu sudut tirus ialah sisi bersebelahan bagi sudut tirus yang satu lagi.

Leraian vektor kepada komponen

Hafiz menarik sebuah kereta mainan besar yang dinaiki adik perempuannya. Dia memegang tali dengan tangan, maka tali itu tidak mengufuk, tetapi condong ke atas dan membentuk sudut 30° dengan tanah. Hafiz menarik tali dengan daya 100 N. Namun, kereta mainan itu bergerak di atas tanah, bukan condong ke udara. Berapakah bahagian daya itu yang benar-benar menarik ke hadapan?

Daya condong $\overrightarrow{F}$ digantikan dengan sepasang daya, satu mengufuk dan satu mencancang. Kedua-duanya dipanggil komponen dan ditandakan ${\overrightarrow{F}}_x$ dan ${\overrightarrow{F}}_y$ mengikut paksi x dan y. Komponen dipilih supaya hasil tambahnya tepat sama dengan daya asal:

$$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_x+{\overrightarrow{F}}_y$$

Rajah menunjukkan daya hijau $\overrightarrow{F}$ dan komponen-komponennya, iaitu komponen mengufuk berwarna merah dan komponen mencancang berwarna biru. Segi empat tepat dilengkapkan dengan garis putus-putus. Sisi putus-putus di sebelah kanan ialah komponen biru yang dianjak ke hujung komponen merah, maka anak panah merah dan biru yang disambung memang memberikan anak panah hijau. Inilah hukum segi empat selari secara terbalik: di sana kita menggabungkan dua daya menjadi satu, di sini kita memecahkan satu daya menjadi dua. Dalam kes ini, segi empat selari itu ialah segi empat tepat kerana komponen-komponennya saling serenjang.

Komponen merah, sisi putus-putus di sebelah kanan dan daya hijau membentuk segi tiga bersudut tegak. Hipotenusnya ialah daya $\overrightarrow{F}$ dengan magnitud F. Komponen mengufuk ialah sisi bersebelahan bagi sudut α, dan komponen mencancang sama panjang dengan sisi bertentangan. Daripada takrif sinus dan kosinus,

$$\mathrm{kos}\alpha =\frac{F_x}{F},\sin \alpha =\frac{F_y}{F}.$$

Kedua-dua persamaan didarab dengan magnitud daya F, dan kita memperoleh rumus bagi magnitud komponen:

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cdot \mathrm{kos}\alpha \\ F_y& =F\cdot \sin \alpha \end{array}$$

Kita gantikan nilai-nilai daripada contoh Hafiz. Komponen mengufuk ialah

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{kos}30°\\ & \approx 100\mathrm{N}\cdot 0.866=86.6\mathrm{N}\end{array}$$

dan komponen mencancang ialah

$$\begin{array}{rl}{F}_y& =100\mathrm{N}\cdot \sin 30°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0.5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Hanya kira-kira 86.6 N daripada seratus menarik kereta mainan itu ke hadapan. Komponen mencancang 50 N yang selebihnya sedikit mengangkat kereta mainan itu, maka kereta mainan itu menekan tanah dengan kurang kuat.

Perhatikan bahawa 86.6 N + 50 N memberikan lebih daripada 100 N. Hal ini bukan kesilapan. Komponen ialah vektor dan tidak ditambah seperti nombor. Hanya anak panah yang boleh ditambah, iaitu disambung satu demi satu, dan hasilnya kembali kepada 100 N asal.

Bagaimana pula jika Hafiz mengangkat tali lebih tinggi, hingga 60°? Maka

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =100\mathrm{N}\cdot \mathrm{kos}60°\\ & =100\mathrm{N}\cdot 0.5=50\mathrm{N}.\end{array}$$

Dia hanya menarik ke hadapan dengan separuh daripada dayanya. Semakin curam tali itu, semakin kecil bahagian daya yang menarik ke hadapan dan semakin banyak kereta mainan itu terangkat.

Penggabungan semula

Setakat ini kita meleraikan daya. Selalunya yang diperlukan ialah sebaliknya: kita mengetahui dua komponen yang saling serenjang dan ingin mencari keseluruhan vektor. Komponen ialah sisi segi tiga bersudut tegak yang mengapit sudut tegak, dan vektor ialah hipotenusnya. Maka, magnitudnya dikira dengan teorem Pythagoras:

$$F=\sqrt{F_x^2+F_y^2}$$

Kita semak dengan contoh kereta mainan. Gantikan komponen-komponennya:

$$F=\sqrt{(86.6\mathrm{N}{)}^2+(50\mathrm{N}{)}^2}$$

Kita kuasa duakan:

$$\begin{array}{rl}F& =\sqrt{7499.56{\mathrm{N}}^2+2500{\mathrm{N}}^2}\\ & =\sqrt{9999.56{\mathrm{N}}^2}\end{array}$$

Kemudian kita cari punca kuasa dua:

$$F\approx 100.0\mathrm{N}$$

Kita memperoleh semula daya asal. Perbezaan kecil di bawah tanda punca kuasa berlaku kerana kosinus dibundarkan kepada 0.866.

Sekarang kita boleh kembali kepada Ahmad dan perjalanannya. Sesarannya mempunyai komponen 3 km ke timur dan 4 km ke utara, dan magnitudnya sudah kita ketahui, iaitu 5 km. Yang tinggal ialah arahnya. Katakan α ialah sudut antara anak panah hijau dengan anak panah merah, iaitu dengan arah timur. Komponen utara 4 km terletak bertentangan dengan sudut itu dan hipotenusnya 5 km:

$$\sin \alpha =\frac{4\mathrm{km}}{5\mathrm{km}}=0.8$$

Unit kilometer terbatal, maka sinus ialah nombor biasa tanpa unit. Sudut yang sinusnya 0.8 boleh dicari dengan butang sin⁻¹ pada kalkulator (biasanya terletak di atas butang sin; di laman ini boleh digunakan kalkulator sin⁻¹):

$$\alpha \approx 53°$$

Jadi, sesaran Ahmad ialah 5 km ke arah yang menyimpang 53° dari timur ke utara. Magnitud dan arah, itu sahaja yang diperlukan oleh vektor. Jika Ahmad ingin kembali melalui jalan yang paling pendek, dia akan mengikut vektor negatif: 5 km ke arah bertentangan, iaitu ke barat daya, lebih sedikit ke selatan daripada ke barat.

Sesaran akan menemani kita sepanjang kinematik. Dalam artikel seterusnya, Gerakan dan pegun, kita akan membandingkannya dengan jarak dan menunjukkan mengapa seorang pelari wanita yang telah menamatkan satu pusingan penuh di sekeliling padang sebenarnya tidak beralih ke mana-mana.