Pecutan memusat

Sebuah kereta melalui bulatan jalan raya, dan jarum meter laju langsung tidak bergerak. Pemandu tidak menekan pedal minyak atau brek, namun kereta itu mempunyai pecutan. Pecutan tidak mengukur perubahan nombor pada meter laju, tetapi perubahan seluruh anak panah halaju. Di selekoh, anak panah itu berpusing. Dalam gerakan membulat seragam, pecutan sentiasa menghala ke pusat bulatan, sebab itulah pecutan ini dinamakan pecutan memusat.

Jika anda hanya mencari rumus: jasad yang bergerak dengan laju v mengikut bulatan berjejari r mempunyai pecutan memusat

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

dengan ω ialah halaju sudut. Ke manakah pecutan itu menghala dan dari manakah rumus itu datang akan kita tunjukkan dengan rajah.

Anak panah halaju sentiasa berpusing

Pecutan menyatakan perubahan halaju per unit masa. Namun, halaju ialah vektor, iaitu anak panah, dan anak panah boleh berubah dengan dua cara: menjadi lebih panjang atau lebih pendek, atau berputar. Semasa bergerak mengikut garis lurus, anak panah hanya memanjang dan memendek, iaitu sepadan dengan memecut dan membrek. Pada bulatan, keadaannya sebaliknya. Panjang anak panah tidak berubah kerana jasad sentiasa bergerak sama laju, tetapi anak panah menghala mengikut tangen kepada bulatan, maka anak panah itu berputar sedikit bagi setiap bahagian kecil lengkok. Putaran anak panah semata-mata pun merupakan perubahan halaju, dan oleh itu suatu pecutan.

Kesilapan biasa ialah mengatakan bahawa gerakan membulat seragam tidak mempunyai pecutan kerana halajunya kekal sama. Yang kekal sama hanyalah magnitudnya, iaitu laju. Jika pecutan sifar, anak panah halaju tidak boleh berubah langsung, sama ada panjang atau arahnya, dan jasad akan bergerak lurus. Membelok tanpa pecutan mustahil.

Animasi menunjukkan satu titik yang bergerak mengikut bulatan dengan laju malar. Anak panah merah halaju berputar bersamanya, dan anak panah hijau pecutan pada setiap ketika menghala ke pusat.

Anak panah hijau sentiasa serenjang dengan anak panah merah. Oleh itu, pecutan tidak mempunyai komponen pada arah gerakan atau bertentangan dengannya, dan laju tidak berubah. Seluruh pecutan digunakan untuk memutarkan anak panah. Mengapa pecutan menghala tepat ke pusat dan berapakah magnitudnya akan ditunjukkan oleh rajah.

Berapakah magnitud pecutan memusat

Kita perhatikan titik itu hanya dalam tempoh yang singkat Δt. Dalam masa itu, titik bergerak dari kedudukan A ke kedudukan B dan melalui jarak

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

Dalam rajah, bahagian kecil gerakan ini ditunjukkan dua kali. Di sebelah kiri terdapat segi tiga kedudukan berwarna biru: pusat bulatan serta titik A dan B. Dua sisinya ialah jejari r, dan sisi ketiga ialah tembereng garis AB. Dalam tempoh yang singkat, lengkok hampir lurus, maka panjang tembereng garis AB boleh dikatakan Δs. Di sebelah kanan terdapat segi tiga halaju berwarna hijau: kedua-dua anak panah halaju dilukis dari satu titik bersama bezanya $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ yang menghala dari hujung ${\overrightarrow{v}}_1$ ke hujung ${\overrightarrow{v}}_2$. Kedua-dua anak panah halaju sepanjang v.

Supaya mudah dibaca, sudut itu dilukis besar, tetapi bayangkanlah sudut yang sangat kecil. Yang penting ialah kedua-dua segi tiga mempunyai sudut yang sama φ di bucunya. Anak panah halaju sentiasa serenjang dengan jejari, maka apabila jejari berputar melalui sudut φ, anak panah halaju juga berputar melalui sudut yang sama. Jejari dan anak panah itu bersambung seperti dua lengan huruf L: jika satu lengan diputar, seluruh huruf turut berputar. Kedua-dua segi tiga ialah segi tiga sama kaki dengan sudut yang sama di antara sisi-sisi sama panjangnya. Oleh itu, kedua-duanya mempunyai bentuk yang sama dan hanya berbeza saiz: kedua-duanya serupa. Bagi segi tiga serupa, nisbah tapak kepada sisi yang sama panjang sentiasa sama:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Dengan kata lain: nisbah panjang anak panah hijau kepada panjang anak panah halaju sama dengan nisbah panjang tembereng garis AB kepada jejari. Kita gantikan Δs dengan v · Δt dan susun semula persamaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

Di sebelah kiri ialah perubahan halaju per unit masa, iaitu pecutan:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Kita sedikit menipu, kerana tembereng garis AB sedikit lebih pendek daripada lengkok. Namun, semakin singkat tempoh yang diperhatikan, semakin rapat tembereng garis itu dengan lengkok, dan bagi pecutan seketika kita mengambil tempoh yang sangat singkat sehingga perbezaannya tidak dapat dikesan. Oleh itu, rumus ini berlaku dengan tepat.

Rajah juga menunjukkan arahnya. Anak panah hijau $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ menghala ke bawah, sama seperti garis yang menyambungkan titik tengah tembereng garis AB dengan pusat bulatan. Bagi sudut yang kecil, anak panah itu hampir serenjang dengan kedua-dua anak panah halaju, dan garis yang serenjang dengan tangen ialah jejari. Jadi, perubahan halaju, dan bersamanya pecutan, menghala ke pusat.

Unitnya juga betul:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Rumus ini juga berkelakuan munasabah. Semakin laju jasad bergerak, semakin panjang anak panah halaju dan semakin cepat anak panah itu berpusing. Kedua-duanya menambahkan pecutan, sebab itulah laju dikuasaduakan dalam rumus. Apabila jejari bertambah, bulatan menjadi semakin lurus dan pecutan berkurang. Bagi jejari yang sangat besar, sebahagian bulatan hampir menjadi garis lurus dan pecutan hampir sifar, tepat seperti yang sepatutnya bagi gerakan lurus dengan laju malar.

Bentuk kedua rumus ini diperoleh dengan menggantikan laju dengan ungkapan v = ω · r:

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Di sini kita mudah tersilap. Dalam bentuk pertama, jejari berada di penyebut, dan dalam bentuk kedua di pengangka. Adakah pecutan bertambah atau berkurang dengan jejari? Kedua-duanya betul, cuma setiap kali ada kuantiti lain yang kekal tidak berubah. Dengan laju yang sama, selekoh yang lebih lebar lebih landai dan pecutannya lebih kecil. Dengan halaju sudut yang sama, contohnya di atas kuda pusing, kuda di tepi mempunyai laju yang lebih besar dan oleh itu pecutan yang lebih besar daripada kuda berhampiran pusat.

Suku bulatan jalan raya

Kita kembali ke bulatan jalan raya. Sebuah kereta bergerak di situ dengan laju 54 km/h, iaitu 15 m/s, dan melalui suku bulatan jalan raya dalam masa 3 s. Daripada anak panah halaju pada awal dan akhir suku itu, kita peroleh pecutan purata kira-kira 7.1 m/s² ke arah pusat. Namun, berapakah pecutan pada setiap ketika?

Kita memerlukan jejari. Dalam 3 s, kereta itu bergerak 15 m/s · 3 s = 45 m, dan jarak ini ialah suku lilitan bulatan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28.6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekarang kita masukkan ke dalam rumus. Jejari dikekalkan sebagai pecahan supaya hasil perantaraan tidak dibundarkan, dan membahagi dengan pecahan bermaksud mendarab dengan salingannya:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7.85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Pecutan seketika ialah 7.85 m/s², lebih besar daripada purata 7.1 m/s². Nilai ini lebih kurang sama dengan nyahpecutan kereta semasa membrek sepenuhnya di atas jalan tar yang kering, maka bulatan jalan raya sekecil itu memang tajam bagi laju 54 km/h. Bagaimanakah nombor-nombor itu boleh berbeza sedangkan magnitud pecutan sama sepanjang masa? Pecutan purata hanya berasaskan anak panah halaju yang pertama dan yang terakhir serta bezanya. Bayangkan semua anak panah halaju dalam suku bulatan jalan raya itu dilukis dari satu titik. Hujung-hujungnya membentuk suku bulatan berjejari 15 m/s. Pecutan seketika menyatakan sepantas mana hujung itu bergerak di sepanjang lengkok ini. Pecutan purata hanya menggunakan garis lurus yang menyambungkan hujung pertama dengan hujung terakhir, dan garis itu lebih pendek daripada lengkok. Perbezaan yang sama wujud antara sesaran dengan jarak: mengikut garis lurus sentiasa lebih dekat.

Nombor-nombor ini boleh disemak. Lengkok itu ialah suku lilitan bulatan berjejari 15 m/s, iaitu $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23.6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Garis yang menyambungkan hujung-hujung itu ialah hipotenus segi tiga bersudut tegak dengan dua sisi 15 m/s, iaitu 21.2 m/s. Kedua-duanya dibahagi dengan tiga saat:

$$\frac{23.6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7.85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21.2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7.1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Nombor pertama ialah pecutan seketika daripada rumus, dan yang kedua ialah pecutan purata. Semakin pendek bahagian bulatan jalan raya itu, semakin rapat lengkok dengan garis penyambung, dan pecutan purata menghampiri pecutan seketika.

Kereta di selekoh

Kini kereta itu bergerak dengan 54 km/h yang sama melalui selekoh yang lebih lebar dengan jejari 50 m. Berapakah pecutannya? Kita catat apa yang diketahui, dan laju terus ditukarkan kepada meter per saat:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Kita gantikan ke dalam rumus:

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Berbanding bulatan jalan raya, pecutan ini hampir separuh, kerana selekoh yang lebih lebar lebih landai. Namun, berhati-hatilah dengan laju, kerana laju dikuasaduakan dalam rumus. Jika kereta memasuki selekoh yang sama dengan laju dua kali ganda, pecutannya empat kali ganda, 18 m/s², dan tiada kereta di jalan raya yang mampu melakukannya. Oleh itu, kita membrek sebelum selekoh, bukan di dalamnya. Pecutan 4.5 m/s² tidak boleh dipandang ringan, kerana nilai ini lebih kurang sama dengan membrek dengan tegas. Cuma pecutan ini menghala ke sisi.

Bumi mengelilingi Matahari

Bumi mengorbit Matahari dengan laju kira-kira 30 km/s, iaitu 3 · 10⁴ m/s, pada jarak kira-kira 1.5 · 10¹¹ m. Laju ini boleh disemak: satu orbit mengambil masa setahun, kira-kira 3.16 · 10⁷ s, maka

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1.5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3.16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Orbit Bumi tidak tepat berbentuk bulatan, tetapi sangat hampir dengannya, maka kita boleh menggantikan nilai ke dalam rumus:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1.5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1.5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Nilai ini hanya 0.006 m/s². Setiap saat, anak panah halaju berubah hanya sebanyak enam milimeter per saat, hampir tiada apa-apa berbanding laju tiga puluh kilometer per saat. Dalam satu saat, Bumi bergerak sejauh 30 km dan pada masa yang sama menyimpang dari garis lurus hanya sebanyak $\frac{1}{2}\cdot 0.006{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Namun, setahun mempunyai lebih tiga puluh juta saat, maka dalam setahun anak panah halaju berputar satu pusingan penuh dan orbit Bumi tertutup.

Mengapa mesin basuh mengeringkan pakaian

Dram mesin basuh dengan jejari 0.25 m berputar semasa memerah pada 1 200 rpm dengan halaju sudut 40π rad/s. Kini bentuk kedua rumus berguna:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0.25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radian ialah nombor biasa, maka unit yang tinggal ialah meter per saat kuasa dua. Pecutan ini lebih daripada empat ratus kali ganda pecutan graviti g, iaitu lebih daripada 400g. Sesiapa yang ingin menyemaknya daripada laju dinding dram 31.4 m/s dan rumus $\frac{v^2}{r}$ akan memperoleh hasil yang sama.

Halaju sudut dikuasaduakan dalam rumus. Mesin basuh yang memerah hanya pada 800 rpm berputar satu pertiga lebih perlahan, tetapi pecutannya kurang daripada separuh: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, iaitu kira-kira 1 750 m/s². Sebab itulah pakaian yang diperah perlahan jelas lebih basah.

Apakah maksudnya bagi pakaian? Supaya setitis air bergerak mengelilingi bersama dram, titisan itu perlu membelok secara berterusan, dan dengan pecutan yang sangat besar. Stokin dikekalkan pada bulatan oleh dinding dram, tetapi dinding itu berlubang-lubang. Titisan yang sampai di atas lubang tidak lagi mempunyai apa-apa yang memusingkannya. Titisan itu berhenti membelok dan terus bergerak lurus mengikut tangen, keluar dari dram. Stokin kekal di dalam, dan air berada di luar. Apa sebenarnya yang memaksa jasad membelok ialah persoalan tentang daya. Kinematik telah memberitahu kita berapa banyak pecutan yang diperlukan untuk membelok seperti itu, dan bagi mesin basuh, nilainya memang sangat besar.

Dengan ini kita telah memperihalkan gerakan, tetapi bukan puncanya. Mengapa jasad mula bergerak, membrek dan membelok diterangkan oleh daya, dan dengan daya bermulalah bahagian kedua kategori ini, iaitu artikel Daya.