Contoh soalan dinamik

Daya paling mudah difahami dengan mengira menggunakannya. Berikut ialah tiga belas contoh soalan, daripada gabungan daya, melalui hukum-hukum Newton, momentum dan geseran, hingga selekoh dan daya inersia. Tiga daripadanya (gelongsor, membrek di atas salji dan kereta api mula bergerak) menggabungkan daya dengan gerakan: daripada daya kita kira pecutan, dan daripada pecutan kita kira laju atau jarak. Kita berpegang pada langkah yang sudah terbukti: catatan, lakaran daya, arah positif, penyelesaian umum, penggantian bersama unit dan jawapan dengan ayat yang lengkap. Lukis lakaran sendiri, kerana hanya contoh pertama yang mempunyai rajah. Cuba selesaikan setiap soalan sendiri dahulu.

Contoh 1: Dua buah traktor dan mesin penuai yang tersekat

Sebuah mesin penuai tersekat di dalam lumpur. Dua buah traktor menariknya keluar, masing-masing dengan tali dengan daya 30 kN. Tali-tali itu membentuk sudut β = 60°, dan mesin penuai itu terletak tepat pada paksi di antara keduanya. Berapakah magnitud daya paduan?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}{F}_1=F_2& =30\mathrm{kN}=30000\mathrm{N}\\ \beta & =60°\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Paksi x dipilih di sepanjang paksi di antara tali-tali, positif mengikut arah tarikan. Oleh sebab mesin penuai terletak pada paksi itu, setiap tali menyimpang darinya sebanyak separuh sudut antara tali-tali, $\alpha =\frac{\beta }{2}=30°$. Kedua-dua daya dileraikan kepada komponen. Komponen yang serenjang dengan paksi sama besar dan berlawanan arah, maka kedua-duanya saling membatalkan. Di sepanjang paksi, yang tinggal ialah dua komponen yang sama, F₁ · kosα:

$$\begin{array}{rl}F& =2\cdot F_1\cdot \mathrm{kos}\alpha =2\cdot 30000\mathrm{N}\cdot \mathrm{kos}30°\\ & \approx 51962\mathrm{N}\end{array}$$

Daya paduan kira-kira 52 kN, bukan 60 kN. Sebahagian daripada tarikan terbuang kerana setiap traktor menarik ke arah yang sedikit berbeza. Semakin terbuka tali-tali itu, semakin besar kehilangannya: pada sudut β = 120° antara tali-tali, α = 60° dan daya paduan 2 · 30 000 N · kos60° = 30 000 N, seolah-olah hanya sebuah traktor yang menarik.

Contoh 2: Bot bermotor

Sebuah bot berjisim 300 kg bersama penumpangnya ditolak ke hadapan oleh air, hasil daripada kipasnya, dengan daya 900 N. Rintangan air ialah 300 N. Berapakah pecutan bot itu?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}m& =300\mathrm{kg}\\ F_1& =900\mathrm{N},F_2=300\mathrm{N}\\ a& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Arah positif diambil mengikut arah pelayaran. Rintangan menghala bertentangan dengannya, maka dalam daya paduan rintangan bertanda negatif. Kemudian kita hanya perlu menambah daya-daya dan membahagikan dengan jisim:

$$a=\frac{F_1-F_2}{m}=\frac{900\mathrm{N}-300\mathrm{N}}{300\mathrm{kg}}=2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Unitnya betul, newton per kilogram ialah meter per saat kuasa dua. Pecutan bot itu ialah 2 m/s². Rintangan air bertambah dengan laju, dan apabila rintangan mencapai 900 N, daya paduan menjadi sifar dan bot bergerak dengan laju malar.

Contoh 3: Lori dan kereta penumpang

Sebuah lori berjisim 10 000 kg melanggar sebuah kereta penumpang berjisim 1 000 kg. Jasad manakah yang mengenakan daya yang lebih besar pada jasad yang satu lagi? Berapakah pecutan masing-masing jika daya perlanggaran ialah 50 000 N?

Penyelesaian: Kebanyakan orang meneka lori. Namun, daya perlanggaran membentuk pasangan tindakan dan tindak balas, maka kedua-duanya sama besar dan berlawanan arah. Lori menolak kereta dengan daya 50 000 N, dan kereta juga menolak lori dengan daya yang sama. Perbezaannya terletak pada kesan daya itu terhadap setiap jasad.

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =10000\mathrm{kg},m_2=1000\mathrm{kg}\\ F& =50000\mathrm{N}\\ a_1& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2),a_2=?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Arah positif dipilih mengikut arah gerakan lori:

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =\frac{-F}{m_1}=\frac{-50000\mathrm{N}}{10000\mathrm{kg}}=-5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ a_2& =\frac{F}{m_2}=\frac{50000\mathrm{N}}{1000\mathrm{kg}}=50{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Lori mempunyai pecutan −5 m/s², iaitu lori menjadi perlahan, manakala kereta memperoleh pecutan 50 m/s², kira-kira lima kali ganda pecutan graviti. Sebab itulah penumpang kereta mengalami kesan yang lebih teruk, walaupun daya-dayanya sama.

Contoh 4: Penimbang di dalam lif yang bergerak ke bawah

Muthu yang berjisim 80 kg berdiri di atas penimbang di dalam lif. Lif bergerak ke bawah dan membrek sebelum tingkat bawah dengan nyahpecutan 1.5 m/s². Apakah bacaan penimbang?

Penyelesaian: Arah positif ialah ke atas. Lif bergerak ke bawah dan menjadi perlahan, maka pecutannya menghala ke atas: a = 1.5 m/s².

$$\begin{array}{rl}m& =80\mathrm{kg}\\ a& =1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ R& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Muthu ditarik ke bawah oleh daya graviti dan ditanggung ke atas oleh tindak balas normal penimbang. Menurut hukum kedua, R − m · g = m · a, maka tindak balas normal diperoleh sama seperti bagi lif yang mula bergerak ke atas:

$$\begin{array}{rl}R& =m\cdot (g+a)\\ & =80\mathrm{kg}\cdot (9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+1.5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & =904.8\mathrm{N}\end{array}$$

Penimbang membahagikan daya dengan pecutan graviti dan menunjukkan $\frac{R}{g}=\frac{904.8\mathrm{N}}{9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 92\mathrm{kg}$. Dalam keadaan pegun, penimbang akan menunjukkan 80 kg yang sebenar. Muthu berasa lebih berat walaupun dia sedang turun. Yang menentukan ialah arah pecutan, bukan arah gerakan.

Contoh 5: Kenderaan rover di Marikh

Sebuah kenderaan rover penjelajah Marikh berjisim 1 025 kg. Berapakah daya graviti yang bertindak padanya di Bumi dan berapakah di Marikh, tempat pecutan graviti ialah 3.71 m/s²?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}m& =1025\mathrm{kg}\\ g& =3.71{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ W& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Daya graviti ialah jisim darab pecutan graviti. Di Marikh,

$$W=m\cdot g=1025\mathrm{kg}\cdot 3.71{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3803\mathrm{N},$$

dan di Bumi, dengan pengiraan yang sama menggunakan g = 9.81 m/s²,

$$W=1025\mathrm{kg}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 10055\mathrm{N}.$$

Di Marikh, daya graviti kira-kira 3.8 kN bertindak pada kenderaan itu, sedikit melebihi satu pertiga daripada 10 kN di Bumi. Namun, jisimnya sama di mana-mana, maka dengan daya yang sama kenderaan itu sama sukarnya untuk mula bergerak.

Contoh 6: Servis tenis

Seorang pemain tenis membuat servis dengan bola berjisim 57 g yang hampir pegun di titik tertinggi lambungan. Raket menyentuhnya selama 5 ms, dan bola itu melayang dengan laju 50 m/s. Berapakah daya purata yang dikenakan oleh raket pada bola itu?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}m& =57\mathrm{g}=0.057\mathrm{kg}\\ v_0& =0\mathrm{m}/\mathrm{s},v=50\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =5\mathrm{ms}=0.005\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Arah positif dipilih mengikut arah bola melayang. Daya sama dengan perubahan momentum dalam masa tindakannya, iaitu impuls dibahagi dengan masa hentaman:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{m\cdot (v-v_0)}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\frac{0.057\mathrm{kg}\cdot 50\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.005\mathrm{s}}=570\mathrm{N}\end{array}$$

Nilai ini lebih kurang seperti seorang yang berjisim 58 kg berdiri di atas bola itu, cuma hanya selama lima per seribu saat. Raket menekan bola dengan daya purata 570 N. Jika masa sentuhan dua kali ganda, separuh daya sudah mencukupi untuk laju yang sama.

Contoh 7: Pemain hoki ais berlanggar

Seorang pemain hoki ais berjisim 90 kg bergerak dengan laju 6 m/s dan bertembung secara berdepan dengan lawannya yang berjisim 80 kg, yang bergerak ke arahnya dengan laju 4 m/s. Selepas perlanggaran, kedua-duanya bertaut. Sepantas manakah dan ke arah manakah mereka bergerak?

Penyelesaian: Arah positif menghala ke arah pemain pertama bergerak, maka halaju lawan negatif.

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =90\mathrm{kg},v_1=6\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ m_2& =80\mathrm{kg},v_2=-4\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v^{\prime }& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Di atas ais, geseran kecil dan perlanggaran singkat, maka pasangan itu dianggap sebagai sistem terasing. Menurut prinsip keabadian momentum, momentum sebelum perlanggaran sama dengan momentum selepasnya:

$$m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2=(m_1+m_2)\cdot v^{\prime }$$

$$\begin{array}{rl}{v}^{\prime }& =\frac{m_1\cdot v_1+m_2\cdot v_2}{m_1+m_2}\\ & =\frac{90\mathrm{kg}\cdot 6\mathrm{m}/\mathrm{s}+80\mathrm{kg}\cdot (-4\mathrm{m}/\mathrm{s})}{170\mathrm{kg}}\\ & \approx 1.29\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Jawapannya positif, maka pasangan itu menggelongsor ke arah pemain yang jisim dan lajunya lebih besar, dengan laju kira-kira 1.3 m/s. Sesiapa yang terlupa tanda negatif akan memperoleh 5.1 m/s yang tidak masuk akal.

Contoh 8: Bangku di dalam dewan sukan

Sebuah bangku kayu berjisim 25 kg terletak di atas lantai kayu. Pekali geseran statik ialah 0.5, dan pekali geseran kinetik 0.3. Adakah daya mengufuk 100 N dapat menggerakkannya? Dan berapakah pecutan bangku itu apabila kita menolaknya dengan daya 130 N?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}m& =25\mathrm{kg}\\ {\mu }_s& =0.5,\mu =0.3\\ F_1& =100\mathrm{N},F_2=130\mathrm{N}\\ a& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Di atas lantai mengufuk, tindak balas normal sama dengan berat, R = m · g. Geseran statik maksimum ialah

$${\mu }_s\cdot m\cdot g=0.5\cdot 25\mathrm{kg}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 123\mathrm{N}.$$

Daya 100 N lebih kecil, maka bangku kekal pegun dan geseran statik tepat 100 N. Daya 130 N menggerakkannya, dan selepas itu bangku hanya diperlahankan oleh geseran kinetik. Arah positif dipilih mengikut arah tolakan:

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{F_2-\mu \cdot m\cdot g}{m}\\ & =\frac{130\mathrm{N}-0.3\cdot 25\mathrm{kg}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{25\mathrm{kg}}\\ & \approx 2.26{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Bangku itu mula bergerak dengan pecutan kira-kira 2.3 m/s². Dengan daya seratus newton, kita langsung tidak dapat menggerakkannya.

Contoh 9: Gelongsor

Seorang kanak-kanak menggelongsor dari keadaan pegun di atas gelongsor sepanjang 4 m dengan kecondongan 30°. Pekali geseran kinetik seluarnya dengan gelongsor ialah 0.3. Dengan laju berapakah dia sampai di bawah?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}\alpha & =30°,\mu =0.3\\ s& =4\mathrm{m},v_0=0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Arah positif dipilih ke bawah di sepanjang gelongsor. Komponen berat di sepanjang cerun ialah m · g · sin α, dan geseran μ · m · g · kosα menghala bertentangan dengan gerakan. Selepas jisim dibatalkan, yang tinggal ialah pecutan di atas cerun dengan geseran, a = g · (sin α − μ · kosα). Sebagai gambaran, nilainya kira-kira 2.36 m/s².

Masa tidak diketahui, maka laju di bawah diberikan oleh hubungan tanpa masa v² = 2 · a · s. Kita gantikan pecutan secara umum ke dalamnya:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot g\cdot s\cdot (\sin \alpha -\mu \cdot \mathrm{kos}\alpha )}\\ & =\sqrt{2\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4\mathrm{m}\cdot (\sin 30°-0.3\cdot \mathrm{kos}30°)}\\ & \approx 4.34\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Kanak-kanak itu sampai di bawah dengan laju kira-kira 4.3 m/s, iaitu kurang daripada 16 km/h. Tanpa geseran, lajunya akan melebihi 6 m/s.

Contoh 10: Penunggang basikal di selekoh

Berapakah laju tertinggi yang dibenarkan bagi seorang penunggang basikal untuk melalui selekoh mengufuk berjejari 12 m di atas jalan tar kering dengan pekali geseran 0.7? Dan berapakah lajunya di atas jalan basah dengan pekali 0.5?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}r& =12\mathrm{m}\\ \mu & =0.7\\ v_{max}& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Penunggang basikal dikekalkan pada bulatan hanya oleh geseran tayar yang menghala ke pusat selekoh. Geseran ini mesti mencukupi untuk membekalkan daya memusat, $\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$. Jisim terbatal:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}=\sqrt{0.7\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 12\mathrm{m}}\\ & \approx 9.1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Nilai ini kira-kira 33 km/h. Di jalan basah, pengiraan yang sama memberikan 7.7 m/s, kurang daripada 28 km/h. Jisim terbatal, maka penunggang basikal yang lebih besar jisimnya tidak mendapati hal ini lebih mudah atau lebih sukar. Pada laju yang lebih tinggi, roda akan tergelincir keluar dari selekoh.

Contoh 11: Kotak di dalam van yang membrek

Di dalam sebuah van, sebuah kotak kayu berisi peralatan berjisim 30 kg terletak di atas lantai kayu, dan pekali geseran statik ialah 0.5. Pemandu membrek dengan nyahpecutan 6 m/s². Nilai situasi ini dari dalam van: adakah kotak itu akan menggelongsor ke hadapan?

Penyelesaian: Van membrek, maka van ialah kerangka bukan inersia. Di dalamnya, daya inersia yang bertentangan dengan pecutan van, iaitu ke hadapan, turut bertindak pada kotak. Arah positif dipilih ke hadapan.

$$\begin{array}{rl}m& =30\mathrm{kg},{\mu }_s=0.5\\ a& =-6{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Pecutan van menghala ke belakang, maka nilainya negatif. Daya inersia dan geseran statik maksimum:

$$\begin{array}{rl}{F}_i& =-m\cdot a=-30\mathrm{kg}\cdot (-6{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)=180\mathrm{N}\\ {\mu }_s\cdot m\cdot g& =0.5\cdot 30\mathrm{kg}\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 147\mathrm{N}\end{array}$$

Daya inersia yang diperoleh positif, maka daya itu menghala ke hadapan. Geseran tidak dapat menahan kotak itu, dan kotak itu menggelongsor ke hadapan. Geseran hanya dapat menahannya hingga nyahpecutan μ_s · g ≈ 4.9 m/s², dan jisim terbatal. Dari luar, situasinya kelihatan sama, cuma tanpa daya inersia: untuk nyahpecutan 6 m/s², kotak itu memerlukan geseran 180 N, tetapi geseran statik hanya dapat memberikan paling banyak 147 N. Oleh itu, nyahpecutan kotak itu lebih kecil daripada nyahpecutan van.

Contoh 12: Membrek di atas salji

Di sebuah negara bersalji, sebuah kereta bergerak di jalan yang dilitupi salji dengan laju 45 km/h, dan pemandu membrek sehingga roda terkunci. Pekali geseran kinetik tayar di atas salji ialah 0.3. Berapakah jarak brek dan berapa lamakah masa membrek?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}v& =45\mathrm{km}/\mathrm{h}=12.5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mu & =0.3\\ s_b& =?(\mathrm{m}),t=?(\mathrm{s})\end{array}$$

Arah gerakan ialah arah positif. Hanya geseran yang memperlahankan kereta, $m\cdot |a|=\mu \cdot m\cdot g$, maka nyahpecutannya ialah $|a|=\mu \cdot g$. Kita gantikan ke dalam rumus jarak brek:

$$\begin{array}{rl}{s}_b& =\frac{v^2}{2\cdot \mu \cdot g}=\frac{(12.5\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 0.3\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 26.5\mathrm{m}\\ t& =\frac{v}{\mu \cdot g}=\frac{12.5\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.3\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 4.2\mathrm{s}\end{array}$$

Kereta itu berhenti selepas 26.5 m dan membrek selama lebih empat saat. Di jalan kering dengan pekali 0.7, jarak 11.4 m sudah mencukupi. Jisim tiada dalam rumus, maka kereta yang penuh muatan pun membrek dengan cara yang sama, sekurang-kurangnya dalam penyederhanaan ini.

Contoh 13: Kereta api mula bergerak

Sebuah kereta api berjisim 400 t mula bergerak dari stesen. Landasan menolak kereta api ke hadapan melalui roda lokomotif dengan daya 200 kN, dan rintangan terhadap gerakan ialah 40 kN. Berapa lamakah masa dan berapa jauhkah jarak yang diperlukan untuk mencapai laju 90 km/h jika daya-daya itu tidak berubah?

Penyelesaian:

$$\begin{array}{rl}m& =400\mathrm{t}=400000\mathrm{kg}\\ F_1& =200000\mathrm{N},F_2=40000\mathrm{N}\\ v& =90\mathrm{km}/\mathrm{h}=25\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ t& =?(\mathrm{s}),s=?(\mathrm{m})\end{array}$$

Arah positif dipilih mengikut arah gerakan. Mula-mula dinamik, iaitu hukum daya:

$$a=\frac{F_1-F_2}{m}=\frac{160000\mathrm{N}}{400000\mathrm{kg}}=0.4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Kemudian kinematik bagi gerakan dengan pecutan seragam dari keadaan pegun dan hubungan tanpa masa:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{v}{a}=\frac{25\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0.4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}=62.5\mathrm{s}\\ s& =\frac{v^2}{2\cdot a}=\frac{(25\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{2\cdot 0.4{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 781\mathrm{m}\end{array}$$

Semakan: laju purata ialah 12.5 m/s, dan dalam 62.5 s hasilnya 781 m yang sama. Kereta api itu memerlukan kira-kira satu minit dan kurang daripada satu kilometer. Sebenarnya, rintangan bertambah dengan laju, maka proses mula bergerak mengambil masa lebih lama sedikit.

Akhir perjalanan

Dengan ini berakhirlah buku teks kinematik dan dinamik. Kita bermula dengan persoalan apakah sebenarnya kuantiti dan unit, melalui laju dan pecutan kita sampai kepada daya dan hukum-hukum Newton, dan akhirnya kita menggabungkan kedua-duanya: daya menyatakan sebesar mana pecutan, dan pecutan menyatakan ke mana dan sepantas mana jasad bergerak. Dengan pasangan ini, anda dapat menyelesaikan kebanyakan soalan tentang gerakan dan daya. Kerja dan tenaga akan dibincangkan kemudian.