Contoh soalan kinematik

Fizik tidak dapat dipelajari dengan membaca, hanya dengan mengira. Berikut ialah tiga belas contoh soalan tentang gerakan, disusun daripada jarak dan sesaran, melalui pecutan dan jatuh bebas, hingga pecutan memusat. Dalam dua soalan terakhir, jenis-jenis gerakan bersilih ganti. Semuanya diselesaikan dengan langkah yang sama: catatan, penukaran unit, penyelesaian umum, penggantian bersama unit, anggaran dan jawapan dengan ayat yang lengkap. Cuba selesaikan setiap soalan sendiri dahulu, dan baca penyelesaiannya kemudian.

Contoh 1: Siti membawa anjing berjalan

Siti membawa anjingnya berjalan mengelilingi sebuah taman berbentuk segi empat sama dengan sisi 120 m. Dia bertolak dari satu bucu dan berjalan di sepanjang tiga sisi taman itu. Berapakah jarak yang dilaluinya dan berapakah magnitud sesarannya?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} s & = ? (m) \\ | Δ \vec{r} | & = ? (m) \end{aligned}$

Jarak ialah panjang lintasan, iaitu tiga sisi taman:

$s = 3 \cdot 120 m = 360 m$

Sesaran ialah anak panah dari tempat permulaan ke tempat dia berhenti. Selepas tiga sisi segi empat sama, dia berdiri di bucu yang bersebelahan dengan bucu permulaan, maka sesaran melalui sisi keempat:

$| Δ \vec{r} | = 120 m$

Siti berjalan sejauh 360 m, tetapi dia hanya berada 120 m dari tempat dia bertolak. Jika dia mengelilingi seluruh taman, dia akan berjalan 480 m dan sesarannya sifar.

Contoh 2: Mendaki dan menuruni bukit

Wei Jie menunggang basikal mendaki bukit di jalan sepanjang 3 km dengan laju 12 km/h dan menuruni jalan yang sama dengan laju 36 km/h. Berapakah laju puratanya?

Penyelesaian: Kita mudah tergoda untuk menambah kedua-dua laju dan membahagikannya dengan dua, dan hasilnya 24 km/h. Namun, laju purata ialah jumlah jarak dibahagi dengan jumlah masa, dan Wei Jie menunggang mendaki jauh lebih lama berbanding menuruni.

$\begin{aligned} s_{1} = s_{2} & = 3 km \\ v_{1} & = 12 km / h \\ v_{2} & = 36 km / h \\ \bar{v} & = ? (km / h) \end{aligned}$

Semuanya dalam kilometer dan jam, maka tiada penukaran diperlukan. Masa perjalanan ialah $t_{1} = \frac{s_{1}}{v_{1}}$ dan $t_{2} = \frac{s_{2}}{v_{2}}$ , maka

$\bar{v} = \frac{s_{1} + s_{2}}{t_{1} + t_{2}} = \frac{s_{1} + s_{2}}{\frac{s_{1}}{v_{1}} + \frac{s_{2}}{v_{2}}} .$

Kita gantikan nilainya:

$\begin{aligned} \bar{v} & = \frac{6 km}{\frac{3 km}{12 km / h} + \frac{3 km}{36 km / h}} \\ = \frac{6 km}{0.25 h + \frac{1}{12} h} = \frac{6 km}{\frac{1}{3} h} = 18 km / h \end{aligned}$

Wei Jie mendaki selama suku jam dan menuruni selama lima minit. Dia menamatkan seluruh laluan dalam dua puluh minit, dan sesiapa yang melalui 6 km dalam satu pertiga jam akan melalui 18 km dalam satu jam. Laju purata Wei Jie ialah 18 km/h, bukan 24 km/h.

Contoh 3: Aisyah berjalan dari rumah rehat

Sebuah rumah rehat terletak di tepi jalan 4 km selepas sebuah kampung. Dari situ, Aisyah meneruskan perjalanan menjauhi kampung dengan laju malar 5 km/h. Sejauh manakah dia dari kampung selepas 1 jam 12 minit?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} s_{0} & = 4 km \\ v & = 5 km / h \\ t & = 1 h 12 \min = 1.2 h \\ s & = ? (km) \end{aligned}$

Berhati-hati dengan penukaran. Dua belas minit bukan 0.12 h, tetapi $\frac{12}{60} = 0.2 h$ . Aisyah tidak bertolak dari kampung, tetapi 4 km darinya, maka kedudukan awal s₀ ditambah kepada jarak yang dilalui seperti dalam gerakan linear dengan halaju seragam:

$s = s_{0} + v \cdot t = 4 km + 5 km / h \cdot 1.2 h = 10 km$

Kilometer per jam darab jam memberikan kilometer, betul. Dalam satu jam, Aisyah berjalan 5 km, dalam 1.2 h satu perlima lebih, iaitu 6 km, dan bersama rumah rehat jumlahnya sepuluh. Aisyah akan berada 10 km dari kampung. Sesiapa yang menggantikan 1.12 h akan memperoleh 9.6 km.

Contoh 4: Hafiz mengejar ibunya

Seorang ibu keluar dari rumah sambil menolak kereta sorong bayi dengan laju 4 km/h. Selepas suku jam, Hafiz mendapati bahawa ibunya terlupa membawa kunci, lalu dia berlari mengejarnya melalui jalan yang sama dengan laju 10 km/h. Berapa lamakah masa yang diambil untuk mengejar ibunya dan sejauh manakah dari rumah?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{1} & = 4 km / h \\ v_{2} & = 10 km / h \\ t_{0} & = 15 \min = 0.25 h \\ t & = ? (h) \end{aligned}$

Selepas suku jam, ibu itu mendahului sejauh s₀ = v₁ · t₀ = 4 km/h · 0.25 h = 1 km. Semasa mengejar, jarak antara mereka berkurang dengan beza laju:

$\begin{aligned} t & = \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} = \frac{1 km}{10 km / h - 4 km / h} \\ = \frac{1}{6} h = 10 \min \end{aligned}$

Dalam masa itu, Hafiz berlari sejauh

$s = v_{2} \cdot t = 10 km / h \cdot \frac{1}{6} h \approx 1.67 km .$

Semakan: ibu itu berjalan selama 15 + 10 = 25 minit, iaitu $\frac{25}{60}$ jam, dan melalui $4 \cdot \frac{25}{60} \approx 1.67 km$ . Sepadan. Hafiz dapat mengejar ibunya sepuluh minit selepas dia mula berlari, kira-kira 1.7 km dari rumah.

Contoh 5: Cheetah

Seekor cheetah memecut dari keadaan pegun hingga 72 km/h dalam masa 2.5 s. Berapakah pecutan puratanya? Dan berapakah pecutannya kemudian apabila cheetah itu berhenti dari laju ini dalam masa 4 s?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ v & = 72 km / h = 20 m / s \\ Δ t & = 2.5 s \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Menurut rumus pecutan:

$a = \frac{v - v_{0}}{Δ t} = \frac{20 m / s - 0 m / s}{2.5 s} = 8 {m / s}^{2}$

Pecutan cheetah ialah 8 m/s², iaitu setiap saat lajunya bertambah sebanyak 8 m/s. Kereta keluarga yang memerlukan sepuluh saat untuk mencapai seratus kilometer sejam mempunyai pecutan kurang daripada 3 m/s², maka cheetah akan mengalahkannya dengan mudah di garisan permulaan.

Semasa berhenti, laju berkurang daripada 20 m/s kepada sifar dalam masa 4 s:

$a = \frac{0 m / s - 20 m / s}{4 s} = - 5 {m / s}^{2}$

Arah positif diambil mengikut arah larian, maka pecutan negatif bermaksud cheetah itu sedang memperlahankan lariannya. Semasa berhenti, cheetah mempunyai pecutan −5 m/s², atau nyahpecutan 5 m/s².

Contoh 6: Berapa panjangkah landasan yang diperlukan oleh kapal terbang

Sebuah pesawat penumpang semasa berlepas mula bergerak dari keadaan pegun dengan pecutan malar 2 m/s² dan terangkat dari tanah pada laju 252 km/h. Berapa panjangkah bahagian landasan yang diperlukan dan berapa lamakah pesawat itu memecut?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{0} & = 0 m / s \\ a & = 2 {m / s}^{2} \\ v & = 252 km / h = 70 m / s \\ s & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Masa tidak diketahui, maka hubungan tanpa masa $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s$ sesuai digunakan. Bagi gerakan dari keadaan pegun, kita ungkapkan jarak daripadanya:

$s = \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{(70 m / s)^{2}}{2 \cdot 2 {m / s}^{2}} = \frac{4 900 m^{2} {/ s}^{2}}{4 {m / s}^{2}} = 1 225 m$

Masa memecut dikira daripada v = a · t:

$t = \frac{v}{a} = \frac{70 m / s}{2 {m / s}^{2}} = 35 s$

Semakan dengan laju purata: bagi gerakan dari keadaan pegun, laju purata ialah separuh daripada laju akhir, 35 m/s, dan dalam 35 s hasilnya 35 m/s · 35 s = 1 225 m. Pesawat itu memecut selama 35 s dan memerlukan lebih 1.2 km landasan. Sebab itulah lapangan terbang yang besar mempunyai landasan sepanjang beberapa kilometer, dengan lebihan bagi pelepasan yang dibatalkan.

Contoh 7: Rusa di jalan yang basah

Seorang pemandu memandu di jalan yang basah dengan laju 60 km/h dan nampak seekor rusa 40 m di hadapannya. Tindak balasnya mengambil masa 1 s, dan di atas jalan tar basah kereta membrek dengan nyahpecutan 5 m/s². Adakah kereta itu sempat berhenti?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v & = 60 km / h = \frac{60}{3.6} m / s = \frac{50}{3} m / s \\ t_{r} & = 1 s \\ | a | & = 5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m) \end{aligned}$

Laju dikekalkan sebagai pecahan supaya hasil perantaraan tidak dibundarkan. Jumlah jarak henti ialah jarak tindak balas ditambah jarak brek:

$s = s_{r} + s_{b} = v \cdot t_{r} + \frac{v^{2}}{2 \cdot | a |}$

Kita gantikan setiap bahagian secara berasingan:

$\begin{aligned} s_{r} & = \frac{50}{3} m / s \cdot 1 s \approx 16.7 m \\ s_{b} & = \frac{{(\frac{50}{3} m / s)}^{2}}{2 \cdot 5 {m / s}^{2}} = \frac{250}{9} m \approx 27.8 m \end{aligned}$

Jumlahnya $\frac{400}{9} m \approx 44.4 m$ . Kereta itu tidak sempat berhenti, dan hanya akan berhenti kira-kira 4 m selepas tempat rusa itu berdiri. Di jalan kering dengan nyahpecutan 7 m/s², jarak 36.5 m sudah mencukupi, maka di jalan basah lebih baik memandu dengan lebih perlahan.

Contoh 8: Batu dari jambatan

Kita melepaskan sebiji batu dari sebuah jambatan, dan batu itu jatuh ke dalam sungai selepas 1.5 s. Berapakah tinggi jambatan itu dari permukaan air dan dengan laju berapakah batu itu menghentam air? Rintangan udara diabaikan. Berapa lamakah batu itu akan jatuh dari jambatan yang dua kali ganda tingginya?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} t & = 1.5 s \\ g & = 9.81 {m / s}^{2} \\ h & = ? (m), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Ini ialah jatuh bebas, dan arah positif dipilih ke bawah:

$h = \frac{1}{2} g t^{2} = \frac{1}{2} \cdot 9.81 {m / s}^{2} \cdot (1.5 s)^{2} \approx 11 m$

$v = g \cdot t = 9.81 {m / s}^{2} \cdot 1.5 s \approx 14.7 m / s$

Nilai ini kira-kira 53 km/h. Anggaran dengan g ≈ 10 m/s² memberikan $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2.25 \approx 11 m$ , betul. Jambatan itu lebih kurang 11 m di atas permukaan air, dan batu itu menghentam air dengan laju kira-kira 15 m/s.

Tinggi dua kali ganda tidak bermaksud masa dua kali ganda. Daripada $t = \sqrt{\frac{2 h}{g}}$ jelas bahawa tinggi dua kali ganda hanya memanjangkan masa jatuh sebanyak $\sqrt{2}$ kali:

$t^{'} = \sqrt{2} \cdot 1.5 s \approx 2.1 s$

Contoh 9: Dron dalam angin lintang

Sebuah dron terbang relatif kepada udara dengan laju 12 m/s dan hidungnya menghala tepat ke utara. Angin timur bertiup, iaitu udara bergerak ke barat, dengan laju 5 m/s. Sepantas manakah dron itu bergerak relatif kepada tanah dan melalui sudut berapakah dron itu menyimpang dari arah utara?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} v_{1} & = 12 m / s \\ v_{2} & = 5 m / s \\ v & = ? (m / s), α = ? \end{aligned}$

Dron bergerak dalam dua cara: terbang relatif kepada udara, dan udara menghanyutkannya. Halaju paduan ialah hasil tambah vektor kedua-duanya, dan oleh sebab kedua-dua halaju saling serenjang, kita gunakan teorem Pythagoras:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2}} = \sqrt{(12 m / s)^{2} + (5 m / s)^{2}} \\ = 13 m / s \end{aligned}$

Sudut dari utara diperoleh daripada segi tiga bersudut tegak halaju, dengan halaju angin sebagai sisi bertentangan dan halaju paduan sebagai hipotenus:

$\sin α = \frac{v_{2}}{v} = \frac{5}{13} \approx 0.385, α \approx 22.6 °$

Hasil tambah biasa akan memberikan 17 m/s, tetapi kedua-dua halaju tidak mempunyai arah yang sama. Jawapannya mesti lebih besar daripada 12 m/s dan lebih kecil daripada 17 m/s, dan 13 m/s memenuhinya. Dron itu terbang relatif kepada tanah dengan laju 13 m/s, dan angin memesongkannya kira-kira 23° dari utara ke barat. Dalam satu minit, dron itu dihanyutkan sejauh 300 m ke sisi.

Contoh 10: Roda Ferris

Sebuah roda Ferris di karnival mempunyai jejari 20 m, dan satu putaran mengambil masa 4 min. Berapakah frekuensi dan halaju sudutnya, dan dengan laju berapakah sebuah kabin pada lilitannya bergerak?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} r & = 20 m \\ T & = 4 \min = 240 s \\ f & = ? (Hz), ω = ? (rad / s), v = ? (m / s) \end{aligned}$

Frekuensi ialah salingan tempoh:

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{240 s} \approx 0.0042 Hz$

Halaju sudut menyatakan sudut penuh 2π dalam satu tempoh:

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{240 s} \approx 0.026 rad / s$

Laju kabin:

$v = ω \cdot r = \frac{2 π \cdot r}{T} = \frac{2 π \cdot 20 m}{240 s} \approx 0.52 m / s$

Dalam satu putaran, kabin melalui lilitan roda, kira-kira 126 m, dalam masa empat minit. Nilai ini kira-kira 1.9 km/h, iaitu laju berjalan perlahan. Oleh itu, penumpang boleh menaiki kabin walaupun roda sedang berputar, seperti pada roda pemandangan yang besar.

Contoh 11: Emparan untuk juruterbang

Sebuah emparan latihan untuk juruterbang mempunyai kabin pada lengan sepanjang 8 m. Berapa kali dalam satu minit emparan itu mesti berputar supaya kabin mempunyai pecutan memusat 6g, iaitu enam kali ganda pecutan graviti?

Penyelesaian:

$\begin{aligned} r & = 8 m \\ a_{c} & = 6 \cdot 9.81 {m / s}^{2} = 58.86 {m / s}^{2} \\ f & = ? (Hz) \end{aligned}$

Daripada rumus pecutan memusat a_c = ω² · r, kita ungkapkan halaju sudut dahulu, kemudian frekuensi:

$\begin{array}{rcl} ω^{2} \cdot r & = & a_{c} / : r \\ ω & = & \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \\ f & = & \frac{ω}{2 π} = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{a_{c}}{r}} \end{array}$

Unit: $\sqrt{\frac{{m / s}^{2}}{m}} = \frac{1}{s}$ , betul. Kita gantikan nilainya:

$f = \frac{1}{2 π} \sqrt{\frac{58.86 {m / s}^{2}}{8 m}} \approx 0.43 Hz$

Dalam satu minit, nilainya 0.432 · 60 ≈ 26 putaran. Satu putaran mengambil masa kira-kira 2.3 s, dan kabin meluru dengan laju v = ω · r ≈ 21.7 m/s, hampir 80 km/h. Emparan itu mesti berputar kira-kira 26 kali dalam satu minit.

Contoh 12: MRT antara stesen

Sebuah tren MRT mula bergerak dari stesen dengan pecutan 1.2 m/s² selama 15 s, kemudian bergerak dengan laju malar selama 30 s, dan akhirnya membrek dengan nyahpecutan 1.5 m/s² sehingga berhenti di stesen berikutnya. Berapakah jarak antara kedua-dua stesen dan berapakah laju purata tren itu?

Penyelesaian: Perjalanan dibahagikan kepada tiga bahagian, dan dalam setiap bahagian kita gunakan rumus bagi satu jenis gerakan.

$\begin{aligned} a_{1} & = 1.2 {m / s}^{2}, t_{1} = 15 s \\ t_{2} & = 30 s \\ | a_{3} | & = 1.5 {m / s}^{2} \\ s & = ? (m), \bar{v} = ? (m / s) \end{aligned}$

Mula bergerak dari keadaan pegun. Pada akhir bahagian ini, laju tren ialah

$v = a_{1} \cdot t_{1} = 1.2 {m / s}^{2} \cdot 15 s = 18 m / s$

dan jarak yang dilalui

$s_{1} = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} \cdot 1.2 {m / s}^{2} \cdot (15 s)^{2} = 135 m .$

Bergerak dengan laju malar 18 m/s, iaitu kira-kira 65 km/h:

$s_{2} = v \cdot t_{2} = 18 m / s \cdot 30 s = 540 m$

Membrek daripada 18 m/s hingga berhenti:

$\begin{aligned} t_{3} & = \frac{v}{| a_{3} |} = \frac{18 m / s}{1.5 {m / s}^{2}} = 12 s \\ s_{3} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot | a_{3} |} = \frac{(18 m / s)^{2}}{2 \cdot 1.5 {m / s}^{2}} = 108 m \end{aligned}$

Jumlahnya:

$\begin{aligned} s & = 135 m + 540 m + 108 m = 783 m \\ t & = 15 s + 30 s + 12 s = 57 s \\ \bar{v} & = \frac{s}{t} = \frac{783 m}{57 s} \approx 13.7 m / s \end{aligned}$

Jarak antara kedua-dua stesen kira-kira 780 m, dan tren itu melaluinya dalam masa kurang daripada satu minit dengan laju purata kira-kira 49 km/h. Tren itu hanya bergerak pada laju tertinggi 65 km/h selama lebih kurang separuh masa, sebab itulah puratanya jauh lebih rendah. Jarak sekitar satu kilometer lazim bagi sistem MRT di bandar.

Contoh 13: Membaca graf

Graf merekodkan laju skuter elektrik Raju dalam tempoh dua belas saat. Berapakah pecutan skuter itu dalam setiap bahagian, berapakah jarak yang dilaluinya sepanjang tempoh itu dan berapakah laju puratanya?

Graf laju v melawan masa t: dari 0 hingga 4 s laju bertambah dari 4 hingga 8 m/s, dari 4 hingga 10 s laju malar, dari 10 hingga 12 s laju turun hingga sifar

Penyelesaian: Daripada graf, kita baca laju pada titik-titik tempat jenis gerakan berubah: pada permulaan 4 m/s, pada masa 4 s sudah 8 m/s, pada masa 10 s masih 8 m/s dan pada masa 12 s sifar. Pecutan ialah perubahan laju dibahagi dengan masa:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{8 m / s - 4 m / s}{4 s} = 1 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = 0 {m / s}^{2} \\ a_{3} & = \frac{0 m / s - 8 m / s}{2 s} = - 4 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Hal ini dapat dilihat pada graf walaupun tanpa mengira: semakin curam sesuatu bahagian, semakin besar magnitud pecutan. Bahagian yang menaik bermaksud pecutan positif, bahagian yang mengufuk bermaksud pecutan sifar dan bahagian yang menurun bermaksud pecutan negatif: dalam bahagian ketiga, skuter itu mempunyai pecutan −4 m/s², atau nyahpecutan 4 m/s².

Jarak ialah luas di bawah graf laju. Bahagian pertama membentuk trapezium, bahagian kedua segi empat tepat dan bahagian ketiga segi tiga:

$\begin{aligned} s_{1} & = \frac{4 m / s + 8 m / s}{2} \cdot 4 s = 24 m \\ s_{2} & = 8 m / s \cdot 6 s = 48 m \\ s_{3} & = \frac{1}{2} \cdot 8 m / s \cdot 2 s = 8 m \end{aligned}$

Jumlahnya s = 80 m dalam 12 s, dan laju purata ialah

$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{80 m}{12 s} \approx 6.7 m / s .$

Semakan: laju purata mesti terletak di antara sifar dengan laju tertinggi 8 m/s, dan oleh sebab skuter itu bergerak pada laju lapan dalam sebahagian besar masa, laju purata akan lebih hampir dengannya. Pecutan skuter itu berturut-turut 1 m/s², sifar dan −4 m/s², skuter itu melalui 80 m dan bergerak dengan laju purata kira-kira 6.7 m/s, iaitu 24 km/h.

Dengan langkah yang sama, soalan yang melibatkan daya juga dapat diselesaikan. Soalan-soalan itu terdapat dalam artikel Contoh soalan dinamik.

« Artikel sebelumnya: Daya inersia

Artikel seterusnya: Contoh soalan dinamik »