Cách giải bài tập động học và động lực học

Một đoàn tàu chạy trên đoạn đường thẳng với tốc độ không đổi 72 km/h. Tàu đi hết 1,8 km trong bao lâu?

Thời gian bằng quãng đường chia cho tốc độ. Nhưng ai cầm máy tính lên lấy 1,8 chia cho 72 sẽ được 0,025 và không biết làm gì với con số đó. Không phải giây, cũng không phải phút. Còn ai lấy 1.800 mét chia cho 72 sẽ được 25, trông khá hợp lí, nhưng thực ra là vô nghĩa. Bài toán như vậy tính thì dễ, khó là không sai ở chỗ nào. Vì vậy trong vật lí, nên giải mọi bài tập theo cùng một cách, từng bước một. Ta thử ngay các bước đó với đoàn tàu.

Đã biết gì và cần tìm gì

Trước hết, từ đề bài ta viết ra mọi đại lượng đã biết, mỗi đại lượng bằng chữ cái của nó, kèm con số và đơn vị. Bên dưới ghi đại lượng cần tìm, thay con số bằng dấu chấm hỏi:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =1,8\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Việc này trông như thủ tục giấy tờ thừa thãi, nhưng thực ra giúp tránh được nhiều rắc rối. Ta thấy ngay mình có gì và còn thiếu gì. Trong đề bài viết thành câu, các con số dễ bị bỏ sót hoặc tráo nhau, còn trong một cột thì không. Nhìn các đại lượng trong cột, ta cũng nhận ra công thức: quãng đường, tốc độ và thời gian, đó là s = v · t.

Đổi đơn vị

Tốc độ đang tính bằng ki-lô-mét trên giờ, quãng đường bằng ki-lô-mét. Trước khi tính, ta đổi cả hai ra đơn vị cơ bản, tức là mét, giây và mét trên giây. Tốc độ chia cho 3,6:

$$72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

còn quãng đường nhân với 1.000:

$$1,8\mathrm{km}=1,8\cdot 1.000\mathrm{m}=1.800\mathrm{m}.$$

Các giá trị đã đổi ghi luôn vào phần tóm tắt:

$$\begin{array}{rl}v& =72\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =1,8\mathrm{km}=1.800\mathrm{m}\\ t& =?(\mathrm{s})\end{array}$$

Đơn vị trong ngoặc sau dấu chấm hỏi cho biết kết quả sẽ tính bằng gì. Khi thay mét và mét trên giây vào, thời gian sẽ ra giây.

Có nhất thiết phải là mét và giây không? Không. Hoàn toàn có thể tính bằng ki-lô-mét và giờ. Quãng đường tính bằng ki-lô-mét, tốc độ bằng ki-lô-mét trên giờ, thì thời gian sẽ ra giờ. Chỉ có một điều quan trọng: không được trộn lẫn các đơn vị. Khi lấy 1.800 m chia cho tốc độ 72 tính bằng ki-lô-mét trên giờ, ta được số 25 với một đơn vị chẳng phải giây cũng chẳng phải giờ. Và đó chính là con số 25 trông có vẻ hợp lí ở đầu bài.

Vẽ hình

Với các bài toán chuyển động, hầu như lúc nào cũng nên vẽ hình. Hình không cần đẹp, cũng không cần đúng tỉ lệ. Chỉ cần đoàn tàu là một cái hộp có bánh xe, một mũi tên chỉ hướng tàu chạy và đoạn đường ray mà tàu phải đi.

Mũi tên đỏ là vận tốc v, đường ghi kích thước màu xanh dương là quãng đường s mà tàu phải đi. Cạnh mỗi phần của hình ta ghi chữ cái của đại lượng, có thể cả giá trị. Với một đoàn tàu trên đường thẳng, hình vẽ gần như là hiển nhiên. Nhưng khi hai ô tô chạy ngược chiều nhau, hay khi đoàn tàu chạy qua đường hầm và chiều dài của tàu trở nên quan trọng, hình vẽ thường cho thấy điều gì thực sự xảy ra trong bài toán trước cả khi tính.

Chữ trước, số sau

Ai cũng muốn thay số vào ngay. Nhưng tốt hơn là giải cả bài toán tổng quát trước, tức là chỉ với các chữ, rồi mới thay số vào công thức đã có. Từ công thức s = v · t, ta rút thời gian ra bằng cách chia cả hai vế cho tốc độ:

$$\begin{array}{rcl}v\cdot t& =& s/:v\\ t& =& \frac{s}{v}\end{array}$$

Đến lúc này mới thay các giá trị đã đổi:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1.800\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=90\mathrm{s}$$

Đoàn tàu đi hết 1,8 km trong 90 s, tức là một phút rưỡi.

Sao phải rườm rà như vậy, khi có thể chia ngay? Với bài ngắn thế này thì khác biệt nhỏ, nhưng lời giải tổng quát có mấy ưu điểm, mà ở các bài dài hơn sẽ thấy rõ ngay:

• Nhìn công thức bằng chữ, ta biết nó có hợp lí không. Trong công thức $t=\frac{s}{v}$, quãng đường nằm ở tử số, nên đường dài hơn thì mất nhiều thời gian hơn. Tốc độ nằm ở mẫu số, nên tàu nhanh hơn thì đến sớm hơn. Cả hai đều hợp lí.
• Công thức cho phép kiểm tra đơn vị, phần này sẽ nói ngay sau đây.
• Khi nhầm, ta biết tìm lỗi ở đâu. Trong một dòng đầy số, lỗi dễ ẩn nấp hơn nhiều.
• Chỉ cầm máy tính một lần và chỉ làm tròn kết quả cuối. Vì sao điều này quan trọng, ta sẽ thấy ở phần lỗi hay gặp.
• Khi đề bài thay đổi, chẳng hạn tàu chạy nhanh hơn, chỉ cần thay số lại. Công thức đã có sẵn.

Đơn vị có khớp không?

Ta đã thay số kèm cả đơn vị, và đơn vị được tính như các số. Mét giản ước với mét, còn chia cho một phân số cũng là nhân với phân số nghịch đảo:

$$\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\mathrm{m}\cdot \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\mathrm{s}$$

Kết quả là giây, đúng là đơn vị của thời gian cần tìm. Với ki-lô-mét và giờ cũng vậy:

$$\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{km}\cdot \frac{\mathrm{h}}{\mathrm{km}}=\mathrm{h}$$

Kiểm tra đơn vị còn phát hiện được công thức rút sai. Ai đảo tử số với mẫu số và tính $t=\frac{v}{s}$ sẽ được

$$\frac{\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\cdot \frac{1}{\mathrm{m}}=\frac{1}{\mathrm{s}},$$

mà đó không phải là đơn vị thời gian. Ta biết ngay có gì đó sai, thậm chí chưa cần tính gì cả.

Hai cách cho cùng kết quả

Ta tính lại đoàn tàu một lần nữa bằng ki-lô-mét và giờ để chắc chắn rằng cách này cũng đúng:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1,8\mathrm{km}}{72\mathrm{km}/\mathrm{h}}=\mathrm{0,025}\mathrm{h}$$

Đây là con số 0,025 bí ẩn ở đầu bài. Lần này ta biết nó là giờ, vì ki-lô-mét chia cho ki-lô-mét trên giờ cho giờ. Đổi ra giây bằng cách thay 1 giờ bằng 3.600 s:

$$\mathrm{0,025}\mathrm{h}=\mathrm{0,025}\cdot 3.600\mathrm{s}=90\mathrm{s}$$

Vẫn ra 90 s. Cách nào tốt hơn? Tuỳ đề bài. Trong động học và động lực học, ta hầu như luôn đổi ra mét và giây, vì gia tốc và lực cũng tính theo các đơn vị đó. Với những chuyến đi bằng ô tô hay tàu hoả, khi mọi thứ đều tính bằng ki-lô-mét và giờ, giữ nguyên các đơn vị này thường tiện hơn.

Kết quả có hợp lí không?

Cuối cùng, ta ước lượng xem kết quả có hợp lí không. Tốc độ 72 km/h nghĩa là 72 km trong 60 phút, tức là 1,2 km mỗi phút. Quãng đường 1,8 km dài gấp rưỡi, nên tàu sẽ mất thời gian gấp rưỡi 1 phút. Một phút rưỡi, khớp. Trả lời: đoàn tàu đi hết 1,8 km trong một phút rưỡi.

Nhiều khi chỉ cần kinh nghiệm thông thường. Linh đi bộ đến trường, quãng đường 1,5 km, mất 18 min. Linh đi với tốc độ bao nhiêu? Ai lấy mét chia cho phút sẽ được

$$\frac{1.500}{18}\approx 83,3,$$

và nếu quên rằng đó là mét trên phút chứ không phải mét trên giây, rồi “đổi” ra ki-lô-mét trên giờ, sẽ được 83,3 · 3,6 ≈ 300. Linh sẽ đi bộ đến trường với tốc độ 300 km/h, nhanh ngang tàu cao tốc. Kết quả như vậy chắc chắn sai, dù ta chưa biết sai ở đâu. Cách đúng là đổi phút ra giây, 18 · 60 s = 1.080 s, rồi tính

$$v=\frac{s}{t}=\frac{1.500\mathrm{m}}{1.080\mathrm{s}}\approx 1,39\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Nhân với 3,6, ta được khoảng 5 km/h, tốc độ đi bộ bình thường. Để kiểm tra sơ bộ, bảng tốc độ rất có ích: người đi bộ đi khoảng 5 km/h, người đi xe đạp khoảng 20 km/h, ô tô trên đường cao tốc 130 km/h. Một ô tô chạy 3.000 km/h hay một đoàn tàu đi 1 ki-lô-mét trong 3 giây là tín hiệu rõ ràng rằng phải tìm lỗi.

Tóm tắt các bước

Ta đã đi qua toàn bộ các bước với đoàn tàu. Tóm tắt lại:

1. Tóm tắt đề bài. Ghi ra những gì đã biết, mỗi đại lượng bằng chữ cái, con số và đơn vị, và đại lượng cần tìm kèm dấu chấm hỏi.

2. Đổi đơn vị. Đổi mọi thứ ra cùng một hệ đơn vị, thường là mét, giây và mét trên giây.

3. Vẽ hình. Vẽ những gì đang xảy ra và ghi các đại lượng lên hình.

4. Giải tổng quát. Từ công thức, rút ra đại lượng cần tìm, chỉ bằng chữ.

5. Thay số. Thay các con số kèm đơn vị vào công thức đã có và tính kết quả.

6. Kiểm tra đơn vị. Kiểm tra xem kết quả có đúng đơn vị của đại lượng cần tìm không.

7. Ước lượng. Tự hỏi kết quả có hợp lí không và trả lời câu hỏi của đề bài bằng một câu đầy đủ.

Ta sẽ làm như vậy trong mọi ví dụ tiếp theo, kể cả phần động lực học. Ở đó, ngoài các đại lượng còn có thêm lực, và hình vẽ còn quan trọng hơn, vì trên đó ta sẽ vẽ lực nào tác dụng theo hướng nào.

Những lỗi hay gặp

Thay phút như thể là giờ. Một người đi bộ với tốc độ 5 km/h. Sau 15 min người đó đi đến đâu? Ai thay ngay số 15 vào s = v · t sẽ được

$$s=5\cdot 15=75,$$

và vì tốc độ tính bằng ki-lô-mét trên giờ nên viết 75 km. Như vậy trong một phần tư giờ, người đi bộ đi từ Hà Nội gần đến Nam Định. Tốc độ tính bằng ki-lô-mét trên giờ, nên thời gian phải tính bằng giờ. 15 phút là một phần tư giờ, 0,25 h:

$$s=v\cdot t=5\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,25\mathrm{h}=1,25\mathrm{km}$$

Lỗi này dễ bị bỏ qua khi thay số mà không kèm đơn vị. Có đơn vị, ta sẽ được ki-lô-mét trên giờ nhân phút, và hai đơn vị đó không giản ước được.

Phần thập phân của giờ không phải là phút. Chẳng hạn 1,5 h không phải là 1 giờ 50 phút mà là 1 giờ 30 phút, vì 1 giờ có 60 phút chứ không phải 100 phút. Tương tự, 0,25 h không phải là 25 phút mà là 15 phút. Muốn đổi phần thập phân của giờ ra phút, ta nhân nó với 60:

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min$$

Làm tròn kết quả trung gian. Xét lại đoàn tàu tính bằng giờ. Ta được 0,025 h. Ai quen làm tròn đến hai chữ số thập phân sẽ viết 0,03 h rồi tính tiếp:

$$0,03\mathrm{h}=0,03\cdot 3.600\mathrm{s}=108\mathrm{s}$$

Thay vì 90 s, ta được 108 s, nhiều hơn 18 s. Sai 20%, chỉ vì một lần làm tròn trông vô hại. Ta chỉ thêm có 5 phần nghìn giờ, nhưng 0,025 là một số nhỏ, và 5 phần nghìn là cả một phần năm của nó. Sau khi nhân với 3.600, 5 phần nghìn giờ trở thành 18 s. Vì vậy đừng làm tròn kết quả trung gian, hoặc ít nhất giữ nhiều hơn hai, ba chữ số so với số chữ số muốn có ở kết quả. Chắc chắn nhất là giải tổng quát: chỉ tính với số ở bước cuối và chỉ làm tròn một lần, khi đã có kết quả theo đơn vị mong muốn.

Bài toán người đi xe đạp từ đầu đến cuối

Cuối cùng, ta giải trọn một ví dụ, từng bước một. Một người đi xe đạp trên đường dành cho xe đạp với tốc độ không đổi 18 km/h. Người đó đi hết 4,5 km trong bao lâu?

Tóm tắt đã biết gì và cần tìm gì:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =4,5\mathrm{km}\\ t& =?\end{array}$$

Quãng đường tính bằng ki-lô-mét, tốc độ bằng ki-lô-mét trên giờ, các đơn vị không bị trộn lẫn, nên lần này không cần đổi và thời gian sẽ ra giờ. Để kiểm tra, sau đó ta tính lại bằng giây. Hình vẽ gần giống như với đoàn tàu:

Lời giải tổng quát ta đã có từ bài đoàn tàu, $t=\frac{s}{v}$. Thay số:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{4,5\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,25\mathrm{h}$$

Đơn vị khớp, ki-lô-mét chia cho ki-lô-mét trên giờ cho giờ. Một phần tư giờ ứng với

$$0,25\mathrm{h}=0,25\cdot 60\min =15\min .$$

Bây giờ tính lại bằng đơn vị cơ bản. Đổi đơn vị:

$$\begin{array}{rl}v& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{18}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=5\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ s& =4,5\mathrm{km}=4.500\mathrm{m}\end{array}$$

rồi thay số:

$$t=\frac{4.500\mathrm{m}}{5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=900\mathrm{s}$$

1 phút có 60 giây, nên $900\mathrm{s}=\frac{900}{60}\min =15\min$. Hai cách cho cùng một kết quả.

Kết quả có hợp lí không? Trong 1 giờ, người đi xe đạp đi được 18 km, vậy trong một phần tư giờ đi được một phần tư quãng đường đó, 4,5 km. Đúng bằng quãng đường phải đi. Trả lời bằng một câu đầy đủ: người đi xe đạp đi hết 4,5 km trong 15 min.

Cũng theo các bước này, ta giải được các bài toán chuyển động, trong đó hai ô tô gặp nhau hoặc một ô tô đuổi theo ô tô kia. Ở đó, hình vẽ và lời giải tổng quát thực sự phát huy tác dụng.