Gabungan gerakan

Apabila anda berjalan di atas eskalator yang sedang bergerak, anda melakukan dua gerakan serentak: kaki anda membawa anda menaiki anak tangga, dan anak tangga pula membawa anda ke atas. Sebuah sampan di sungai bergerak relatif kepada air, dan pada masa yang sama air menghanyutkannya sepanjang masa. Gerakan paduan diperoleh dengan menggabungkan gerakan-gerakan itu, iaitu menambah halajunya sebagai vektor, seperti anak panah.

Berjalan di atas eskalator

Eskalator di stesen LRT naik dengan laju v₂ = 0.5 m/s, dan anda melangkah di atasnya dengan laju v₁ = 1 m/s. Laju ini diukur relatif kepada anak tangga, sama laju seperti anda menaiki tangga biasa. Relatif kepada stesen, anda bergerak lebih laju kerana anak tangga di bawah anda bergerak dengan sendirinya. Kedua-dua anak panah menghala ke arah yang sama, maka magnitudnya hanya perlu ditambah:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Setiap saat, anda melangkah satu meter di atas anak tangga, dan anak tangga membawa anda setengah meter lagi. Jika panjang eskalator ialah s = 30 m, anda akan sampai di atas dalam masa

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1.5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Jika anda hanya berdiri, perjalanan itu mengambil masa $\frac{30\mathrm{m}}{0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, iaitu satu minit penuh.

Sebagai perubahan, anda menaiki eskalator yang bergerak ke bawah dan mula berjalan ke atas dengan langkah yang sama. Kini kedua-dua anak panah menghala bertentangan, maka magnitudnya ditolak:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Anda memang sampai di atas, tetapi tiga puluh meter itu sekali lagi mengambil masa satu minit penuh. Jika anda berjalan hanya setengah meter sesaat, anda akan melangkah di tempat yang sama. Dengan langkah yang lebih perlahan lagi, eskalator itu perlahan-lahan tetapi pasti akan membawa anda ke bawah.

Sepantas manakah anda sebenarnya berjalan? Terdapat dua jawapan yang betul. Relatif kepada anak tangga 1 m/s, relatif kepada stesen 1.5 m/s atau 0.5 m/s. Semuanya bergantung pada kerangka rujukan, iaitu relatif kepada apa gerakan itu diperihalkan.

Di atas eskalator, kedua-dua anak panah terletak pada garis lurus yang sama, maka magnitudnya cukup ditambah atau ditolak. Keadaan menjadi lebih menarik apabila dua gerakan menghala ke arah yang berbeza.

Sampan menyeberangi sungai

Sebatang sungai selebar d = 60 m mengalir dengan laju v₂ = 1 m/s. Sebuah sampan yang bergerak dengan laju v₁ = 2 m/s di air tenang bertolak dari tebing. Jurumudi menghalakan haluannya serenjang dengan tebing seberang dan mengekalkannya begitu sepanjang masa. Adakah sampan itu sampai tepat bertentangan dengan tempat ia bertolak? Kita catat maklumat yang diberi:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Tidak. Semasa sampan bergerak merentasi sungai, air di bawahnya mengalir dan membawanya bersama. Haluan sampan memang sentiasa menghala serenjang dengan tebing, tetapi sampan bergerak condong dan mendarat sedikit jauh ke hilir. Dalam animasi, hal ini jelas kelihatan: sampan tidak bergerak ke arah yang ditunjukkan oleh haluannya. Haluan menunjukkan arah gerakan sampan relatif kepada air. Berapa meterkah sampan itu dihanyutkan oleh arus?

Gerakan tidak saling mengganggu

Kunci pengiraan ini ialah prinsip ketakbersandaran gerakan: jika jasad melakukan beberapa gerakan serentak, setiap gerakan berlaku seolah-olah gerakan lain tidak wujud. Jasad itu berakhir di tempat yang sama seolah-olah gerakan-gerakan itu berlaku satu demi satu.

Mari kita cuba dengan sampan dalam dua langkah. Mula-mula, bayangkan air tidak mengalir dan jurumudi mendayung selama setengah minit. Sampan menyeberang lurus dan berhenti tepat di seberang. Kemudian dia berhenti mendayung dan membiarkan sampan dihanyutkan arus selama setengah minit, dan arus menganjakkannya di sepanjang tebing. Sampan berakhir tepat di tempat yang sama seperti apabila kedua-duanya dilakukan serentak. Sebenarnya, kedua-dua gerakan berlaku serentak, maka sampan bergerak condong, tetapi tiada satu pun gerakan yang melambatkan gerakan yang lain.

Bagi sampan, hal ini mudah dibayangkan. Relatif kepada air, sampan bergerak serenjang merentasi sungai, sama seperti di kolam. Arus hanya menganjakkan seluruh bahagian air itu bersama sampan ke hilir, sama seperti eskalator menganjakkan anak tangga bersama anda. Oleh itu, sampan hanya ditolak merentasi sungai oleh lajunya sendiri, 2 m/s. Arus mengalir selari dengan tebing, maka arus tidak membantu atau menghalang penyeberangan. Oleh itu, masa penyeberangan hanya bergantung pada lebar sungai dan laju merentasinya:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Sepanjang tiga puluh saat itu, arus menghanyutkan sampan dengan laju 1 m/s. Jarak sampan mendarat lebih jauh ke hilir dipanggil hanyutan:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Sampan itu mendarat tiga puluh meter ke hilir dari tempat yang tepat bertentangan. Bagi setiap dua meter merentasi sungai, arus menganjakkan sampan sejauh satu meter di sepanjang tebing, maka kesannya ialah garis lurus. Jika laju arus sungai dua kali ganda, sampan itu tetap sampai ke tebing seberang dalam masa setengah minit, tetapi enam puluh meter dari sasaran.

Sepantas manakah sampan bergerak relatif kepada tebing? Halaju paduan ialah hasil tambah vektor

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Kedua-dua anak panah dilukis dari satu titik dan dilengkapkan menjadi segi empat selari, dan halaju paduan ialah pepenjurunya. Anak panah itu saling serenjang, maka segi empat selari di sini ialah segi empat tepat, seperti di sebelah kiri rajah. Magnitud halaju paduan dikira dengan teorem Pythagoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2.24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Relatif kepada tebing, sampan lebih laju berbanding di air tenang, tetapi laju tambahan itu membawanya ke tempat yang tidak dikehendaki. Adalah salah jika laju-laju itu ditambah seperti nombor biasa, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Magnitud hanya ditambah begini bagi anak panah yang menghala ke arah yang sama, seperti di atas eskalator.

Hasil ini boleh disemak dengan cara lain. Dalam 30 s, sampan yang bergerak dengan laju $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$ melalui jarak condong kira-kira 67.1 m. Panjang ini sama dengan hipotenus segi tiga yang dibentuk oleh lebar sungai dan hanyutan:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4500{\mathrm{m}}^2}\approx 67.1\mathrm{m}$$

Betul. Sampan menyeberangi sungai dalam masa tiga puluh saat, bergerak relatif kepada tebing dengan laju kira-kira 2.24 m/s dan mendarat tiga puluh meter ke hilir.

Cara sampai tepat di seberang

Jika jurumudi mahu mendarat tepat di seberang, dia mesti menghalakan sampan condong melawan arus. Sebahagian daripada halaju sampan kemudiannya mengatasi arus, dan bakinya menolak sampan merentasi sungai. Halaju paduan $\overrightarrow{v}$ mesti menghala tepat ke tebing seberang, seperti di sebelah kanan rajah.

Di sebelah kanan, cari segi tiga yang dibentuk oleh anak panah merah, anak panah hijau dan tembereng garis putus-putus di atas. Tembereng putus-putus itu ialah sisi bertentangan segi empat selari, maka panjangnya sama dengan anak panah arus dan selari dengannya. Oleh itu, tembereng itu membentuk sudut tegak dengan anak panah hijau, sama seperti arus di bawah. Hipotenusnya ialah halaju sampan v₁, dan bertentangan dengan sudut α terletak halaju arus v₂. Oleh itu,

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sinus bernilai satu per dua bagi sudut 30°. Jurumudi mesti memusingkan sampan sebanyak 30° dari garis serenjang ke arah melawan arus.

Hasil yang sama diperoleh melalui leraian halaju sampan kepada dua komponen yang saling serenjang. Satu komponen menghala melawan arus dengan magnitud v₁ · sin α, dan satu lagi menghala merentasi sungai dengan magnitud v₁ · kosα. Supaya sampan bergerak tepat ke seberang, komponen yang melawan arus mesti tepat mengimbangi arus, iaitu v₁ · sin α = v₂. Selepas dibahagi dengan laju v₁, kita memperoleh semula $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Arus kemudiannya tidak menghanyutkan sampan ke mana-mana, dan yang tinggal hanyalah gerakan merentasi sungai.

Laju merentasi sungai ialah sisi kedua yang mengapit sudut tegak, dan nilainya dikira dengan teorem Pythagoras:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1.73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Hasil yang sama diperoleh daripada v₁ · kosα = 2 m/s · kos30°. Prinsip ketakbersandaran berguna buat kali kedua di sini. Masa penyeberangan hanya ditentukan oleh laju merentasi sungai, dan laju itu kini lebih kecil berbanding tadi, maka penyeberangan mengambil masa lebih lama:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34.6\mathrm{s}$$

Laluan yang lurus lebih pendek, namun mengambil masa hampir lima saat lebih lama. Sesiapa yang mahu sampai ke tebing seberang secepat mungkin, contohnya seorang perenang di sungai, patut menghala serenjang dan menerima hanyutan. Sesiapa yang mahu mendarat di jeti yang tepat bertentangan mesti berpusing melawan arus dan menerima pelayaran yang lebih lama.

Juruterbang yang terbang dalam angin lintang mengetahui helah yang sama. Kapal terbang terbang dengan hidungnya sedikit menghala ke arah angin supaya bergerak relatif kepada tanah tepat ke arah sasaran. Oleh itu, semasa mendarat dalam angin lintang yang kuat, kapal terbang menghampiri landasan seolah-olah dari sisi, dan hanya diluruskan sejurus sebelum mencecah tanah.

Satu lagi perangkap. Jika arus lebih laju daripada sampan, sinus yang diperoleh akan lebih besar daripada satu, dan sudut seperti itu tidak wujud. Jika arus sama laju, sampan perlu menghala tepat melawan arus dan tidak bergerak merentasi sungai langsung. Arus akan sentiasa menghanyutkan sampan itu, walau ke mana pun sampan itu dihalakan. Malah apabila arus hanya sedikit lebih perlahan daripada sampan, jurumudi perlu menghala hampir tepat melawan arus, dan sampan bergerak merentasi sungai dengan sangat perlahan seperti siput.

Hujan condong dari kereta yang bergerak

Di luar hujan lebat dan tiada angin, maka titisan hujan jatuh tegak, yang besar dengan laju kira-kira 9 m/s. Apabila kereta berhenti, anda melihat garis-garis tegak dari tingkap. Namun, sebaik sahaja kereta mula bergerak, titisan di luar tingkap sisi kelihatan bergerak condong ke belakang, dan semakin laju anda memandu, semakin condong titisan itu.

Kita perihalkan hal ini dalam kerangka rujukan yang terikat pada kereta. Relatif kepada kereta, seluruh pemandangan bergerak ke belakang, termasuk pokok, rumah dan titisan hujan. Setiap titisan melakukan dua gerakan: jatuh ke bawah dengan laju 9 m/s dan pada masa yang sama bergerak ke belakang dengan laju kereta. Halaju paduan ialah hasil tambah vektor kedua-duanya dan menghala condong ke bawah dan ke belakang.

Apabila kereta juga bergerak 9 m/s, iaitu kira-kira 32 km/h, kedua-dua anak panah sama panjang dan saling serenjang. Anak panah paduan ialah pepenjuru segi empat sama, maka titisan jatuh pada sudut 45°. Di lebuh raya, anak panah mengufuk beberapa kali ganda panjang anak panah mencancang, dan titisan bergerak hampir mengufuk.

Penaakulan ini boleh diterbalikkan. Apabila anda memandu dengan laju 32 km/h dan melihat kesan titisan tepat pada sudut 45°, anda tahu bahawa titisan itu jatuh sama laju dengan kereta anda. Daripada meter laju dan kecondongan kesan titisan, kita dapat menganggar laju hujan tanpa keluar dari kereta.

Semasa memandu dalam hujan, cermin depan paling banyak dibasahi, manakala hanya sedikit titisan jatuh pada cermin belakang. Atas sebab yang sama, sesiapa yang berlari dalam hujan akan menyendengkan payungnya ke hadapan. Dalam kerangka rujukan pelari, titisan jatuh kepadanya secara condong dari hadapan. Orang yang berdiri di perhentian bas memegang payung secara tegak kerana titisan jatuh kepadanya dari atas.

Laju titisan menghentam cermin depan juga merupakan gabungan. Pada 32 km/h, laju ini ialah pepenjuru segi empat sama dengan sisi 9 m/s, iaitu $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12.7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Sebab itulah titisan hujan berbunyi begitu kuat pada cermin semasa memandu laju dalam hujan.

Sampan, kereta dan titisan hujan di sini bergerak mengikut garis lurus. Namun, kuda pada kuda pusing atau hujung jarum jam bergerak berpusing-pusing. Cara memperihalkan gerakan mengikut bulatan, apakah tempoh, frekuensi dan radian, serta mengapa tepi kuda pusing bergerak lebih laju daripada tempat berhampiran pusatnya akan ditunjukkan dalam artikel seterusnya, Gerakan membulat seragam.