Gerakan membulat seragam

Kuda pada kuda pusing, hujung jarum saat atau batu kecil yang tersangkut pada bunga tayar (diperhatikan dari dalam kereta) bergerak mengikut bulatan. Jika rentaknya sentiasa sama, kita menyebutnya gerakan membulat seragam: lintasannya ialah bulatan dan laju tidak berubah. Dalam masa yang sama, jasad melalui lengkok yang sama panjang.

Sebaliknya, arah halaju berubah secara berterusan kerana anak panah halaju sentiasa menghala mengikut tangen kepada bulatan. Gerakan ini seragam hanya dari segi laju. Bagaimanakah kita memperihalkannya dengan nombor?

Pada garis lurus, satu nombor sudah cukup untuk menentukan kedudukan, iaitu kedudukan pada paksi. Pada bulatan, satu nombor juga sudah mencukupi: sudut yang telah dilalui oleh jasad sejak permulaan. Oleh itu, sudut akan menemani kita pada setiap langkah.

Tempoh dan frekuensi

Sebuah kuda pusing di karnival mula berputar, kemudian berputar dengan rentak yang sama sepanjang masa. Anda berdiri di sebelahnya dengan jam randik dan mengukur bahawa kawan anda yang menunggang kuda melintasi anda setiap sepuluh saat. Masa bagi satu putaran dipanggil tempoh, ditandakan T dan diukur dalam saat:

$$T=10\mathrm{s}$$

Kita juga boleh bertanya sebaliknya: berapa putaran yang dapat dilakukan oleh kuda pusing dalam satu saat. Inilah frekuensi f. Jika satu putaran mengambil masa sepuluh saat, dalam satu saat kuda pusing itu melakukan satu per sepuluh putaran. Secara umum, frekuensi dikira sebagai satu putaran dibahagi dengan tempoh:

$$f=\frac{1}{T}$$

Kita gantikan nilainya:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0.1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Unit “per saat”, iaitu $\frac{1}{\mathrm{s}}$, dinamakan hertz dengan simbol Hz. Frekuensi kuda pusing itu ialah 0.1 Hz. Hubungan ini juga berlaku sebaliknya, $T=\frac{1}{f}$: semakin banyak putaran dalam satu saat, semakin singkat satu putaran. Tempoh dan frekuensi menyatakan perkara yang sama dari sudut yang bertentangan: satu menyatakan saat bagi setiap putaran, dan satu lagi putaran bagi setiap saat.

Jarum saat mengelilingi muka jam dalam masa satu minit, maka tempohnya T = 60 s dan frekuensinya $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx 0.017\mathrm{Hz}$. Tempoh jarum minit ialah satu jam penuh, 3 600 s. Benda yang bergerak lambat mempunyai tempoh yang panjang dan frekuensi yang kecil, manakala benda yang bergerak pantas sebaliknya.

Bagi enjin dan mesin basuh, frekuensi dinyatakan dalam putaran per minit (rpm). Mesin basuh yang memerah pada 1 200 rpm memutarkan dramnya seribu dua ratus kali dalam satu minit. Satu minit mempunyai enam puluh saat, maka dalam satu saat

$$f=\frac{1200\mathrm{putaran}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{rps}=20\mathrm{Hz}.$$

Putaran hanyalah bilangan, maka putaran per saat dan hertz sama sahaja. Satu putaran dram mengambil masa

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0.05\mathrm{s},$$

iaitu lima per seratus saat. Tidak hairanlah pakaian di sebalik tingkap mesin basuh hanya kelihatan kabur.

Sudut yang diukur dengan lengkok

Dalam suatu tempoh masa, kuda pusing berputar melalui suatu sudut. Kita tahu mengukurnya dalam darjah: suku putaran ialah 90°, dan satu putaran penuh 360°. Namun, dalam fizik sudut lebih suka diukur dalam radian, dan sebabnya akan kita lihat sebentar lagi.

Bayangkan sudut dengan bucunya di pusat bulatan. Lengan-lengannya memotong lengkok sepanjang s pada bulatan. Pada bulatan yang lebih besar, lengkok bagi sudut yang sama lebih panjang, tepat sebanyak gandaan jejarinya: bulatan dua kali ganda besar, lengkok dua kali ganda panjang. Oleh itu, nisbah panjang lengkok kepada jejari tidak bergantung pada saiz bulatan, tetapi hanya pada sudut. Nisbah inilah yang menyatakan saiz sudut dalam radian:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Sudut yang dilalui oleh jasad pada bulatan dipanggil sesaran sudut dan ditandakan dengan huruf Yunani φ (phi). Satu radian ialah sudut yang lengkoknya sama panjang dengan jejari. Oleh itu, nombor dalam radian menyatakan berapa banyak jejari yang muat dalam lengkok itu.

Berapakah radian dalam satu putaran penuh? Lengkoknya ialah seluruh lilitan bulatan, iaitu 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Jejari terbatal, seperti yang dijangka. Satu putaran penuh mempunyai 2π radian, kira-kira 6.28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Separuh putaran ialah π rad = 180°, dan suku putaran $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Satu radian ialah $\frac{360°}{2\pi }\approx 57.3°$, maka enam radian dan sedikit lagi muat dalam seluruh bulatan.

Mari kita lihat apa yang berlaku pada unit. Panjang lengkok dan jejari kedua-duanya dalam meter, dan semasa dibahagi, meter terbatal, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Oleh itu, radian ialah unit tanpa dimensi, sebenarnya nombor biasa, sama seperti skala peta yang juga merupakan nisbah dua panjang. Simbol rad hanya mengingatkan bahawa nombor itu bermaksud sudut, dan dalam pengiraan simbol ini boleh ditulis atau ditinggalkan. Hal ini akan segera berguna.

Kita kembali kepada kuda pusing. Kuda di bahagian dalam, 2 m dari pusat, bergerak di sepanjang lengkoknya sejauh 3 m. Melalui sudut berapakah kuda itu berputar? Kita gantikan lengkok dan jejari ke dalam rumus:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1.5\mathrm{rad}$$

Jejari muat satu setengah kali dalam lengkok. Dalam darjah, nilainya 1.5 · 57.3° ≈ 86°, hampir suku putaran.

Mengapa tidak menggunakan darjah? Nombor 360 ialah persetujuan yang diwarisi daripada orang Babylon purba, manakala radian berasal terus daripada bulatan. Dengan radian, panjang lengkok dikira dengan sangat mudah, s = φ · r. Dengan darjah, pecahan $\frac{2\pi }{360}$ akan muncul dalam rumus itu. Oleh itu, dalam rumus fizik, sudut hampir sentiasa digantikan dalam radian. Sesiapa yang mengira sinus atau kosinus bagi sudut seperti itu dengan kalkulator mesti menukar mod kalkulator daripada DEG kepada RAD. Maklumat lanjut tentang radian terdapat dalam artikel Radian.

Halaju sudut

Rentak putaran kuda pusing dinyatakan oleh halaju sudut ω (omega). Halaju sudut ialah sudut yang dilalui dalam satu unit masa:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Sudut diukur dalam radian dan masa dalam saat, maka halaju sudut diukur dalam rad/s. Dalam gerakan membulat seragam, jasad melalui sudut yang sama dalam selang masa yang sama panjang, maka halaju sudut malar.

Dalam satu tempoh, kuda pusing berputar satu putaran penuh, iaitu 2π radian. Oleh itu,

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Kita masukkan tempoh kuda pusing kita ke dalam rumus:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0.63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Setiap saat, kuda pusing itu berputar sedikit lebih daripada setengah radian, iaitu kira-kira 36°. Halaju sudut jarum saat dengan tempoh 60 s hanya satu per enam daripadanya, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx 0.105\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Oleh sebab $\frac{1}{T}=f$, hubungan ω = 2π · f juga berlaku. Halaju sudut dram mesin basuh ialah

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Frekuensi dan halaju sudut mudah tertukar, maka berhati-hatilah. Kedua-duanya memperihalkan sepantas mana kuda pusing berputar, cuma dalam unit yang berbeza: frekuensi dalam putaran per saat, halaju sudut dalam radian per saat. Satu putaran mempunyai 2π radian, maka halaju sudut sentiasa merupakan nombor 2π kali ganda frekuensi. Sesiapa yang terlupa 2π akan memperoleh 0.1 rad/s bagi kuda pusing dan bukan 0.63 rad/s. Radian ialah nombor biasa, maka selepas dibatalkan, rad/s dan Hz kedua-duanya hanyalah “per saat”. Namun, halaju sudut tidak ditulis dalam hertz, supaya tiada sesiapa yang mengelirukannya dengan frekuensi.

Dengan halaju sudut yang malar, sudut diperoleh dengan cara yang sama seperti jarak dalam gerakan linear dengan halaju seragam, cuma dengan halaju sudut sebagai ganti laju dan sudut sebagai ganti jarak. Daripada $\omega =\frac{\phi }{t}$, dengan mendarab dengan masa, kita peroleh φ = ω · t. Dalam 2.5 s, kuda pusing berputar melalui

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2.5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

iaitu suku putaran. Suku tempoh memang mengambil masa tepat 2.5 s.

Yang penting tentang halaju sudut ialah halaju ini dikongsi oleh seluruh kuda pusing. Kuda di tepi dan kuda berhampiran pusat berputar satu pusingan dalam sepuluh saat yang sama, iaitu melalui sudut yang sama setiap saat.

Mengapa tepi bergerak lebih laju

Di atas kuda pusing, dua ekor kuda bergerak bersebelahan, yang di dalam 2 m dari pusat dan yang di luar 4 m dari pusat. Kedua-duanya bergerak bersama-sama seolah-olah pada satu batang, maka dalam masa yang sama kedua-duanya melalui sudut yang sama. Namun, kuda di luar bergerak mengikut bulatan yang lebih besar, maka dalam masa yang sama kuda itu melalui lengkok yang dua kali ganda panjangnya. Kedua-duanya melakukan bilangan pusingan yang sama, tetapi satu pusingan kuda di luar dua kali ganda panjangnya. Animasi menunjukkannya: jejari yang membawa kedua-dua kuda berputar sebagai satu keseluruhan, sudutnya dikongsi, namun kesan merah bertambah dengan kadar dua kali ganda kadar kesan biru.

Dalam masa yang sama, jarak dua kali ganda bermaksud laju dua kali ganda. Mari kita kira. Dalam satu putaran, kuda melalui seluruh lilitan bulatannya 2π · r, dan hal ini mengambil masa satu tempoh T. Laju ialah jarak dibahagi dengan masa:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Awas, r ialah jarak dari pusat, iaitu jejari bulatan yang dilalui oleh kuda itu, dan bukan diameter seluruh kuda pusing. Bagi kuda di luar, kita gantikan 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nilai ini lebih kurang 9 km/h, iaitu laju berlari anak. Kuda di dalam:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1.26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nilai ini kira-kira 4.5 km/h, iaitu laju berjalan biasa. Sesiapa yang berdiri tepat di pusat hanya berputar di tempat yang sama dan tidak bergerak ke mana-mana. Sebab itulah kanak-kanak berebut-rebut kuda di tepi, dan di situ angin juga bertiup lebih kuat. Sesiapa yang duduk berhampiran pusat sebenarnya menunggang anak kuda.

Laju juga boleh diperoleh daripada halaju sudut. Laju ialah jarak dalam suatu masa, $v=\frac{s}{t}$, dan jarak mengikut bulatan ialah panjang lengkok s = φ · r. Kita gantikan:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Pecahan $\frac{\phi }{t}$ ialah halaju sudut, maka

$$v=\omega \cdot r.$$

Laju v ini dipanggil secara khusus halaju linear supaya tidak tertukar dengan halaju sudut. Dengan halaju sudut yang sama, laju ini berubah secara langsung dengan jarak dari pusat. Kita semak dengan kuda di luar:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2.5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Betul. Bagi kuda di dalam, hasilnya $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1.26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, tepat separuh. Perhatikan unitnya: radian per saat darab meter memberikan meter per saat, kerana radian ialah nombor biasa dan hilang daripada hasil tanpa kesan. Jika sudut digantikan dalam darjah, hasilnya nombor yang tidak masuk akal, kerana rumus s = φ · r hanya berlaku bagi radian.

Rumus ini juga berguna dalam arah sebaliknya. Pemilik kuda pusing mahu kuda di luar bergerak 3 m/s. Sepantas manakah kuda pusing itu perlu berputar? Daripada hubungan v = ω · r, kita bahagikan kedua-dua belah dengan jejari:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0.75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Tempoh diperoleh daripada hubungan $\omega =\frac{2\pi }{T}$ dengan hanya menukar tempat tempoh dengan halaju sudut:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0.75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8.4\mathrm{s}$$

Oleh itu, satu putaran kuda pusing mesti mengambil masa kira-kira lapan setengah saat dan bukan sepuluh. Kuda di dalam kemudiannya bergerak dengan separuh laju itu, 1.5 m/s.

Untuk keadaan yang paling ekstrem di hujung yang satu lagi, kita lihat jam. Hujung jarum minit sepanjang 10 cm bergerak dengan tempoh 3 600 s, maka

$$v=\frac{2\pi \cdot 0.1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx 0.00017\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Nilai ini kira-kira satu per enam milimeter sesaat, maka seekor siput pun dapat memotongnya. Oleh itu, gerakan jarum tidak dapat dilihat dengan mata, tetapi selepas lima minit perubahannya jelas kelihatan.

Akhir sekali, kita kembali kepada mesin basuh. Jejari dram kira-kira 25 cm, iaitu 0.25 m, dan halaju sudutnya 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0.25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31.4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Nilai ini kira-kira 113 km/h. Sehelai stokin yang tertekan pada dinding dram semasa memerah meluru dengan laju sebuah kereta di lebuh raya, walaupun mesin basuh itu tetap berada di bilik air.

Kuda pada kuda pusing dan stokin di dalam dram bergerak dengan laju yang sama sepanjang masa, namun anak panah halajunya sentiasa menghala ke arah yang berbeza. Mengapa gerakan seperti ini memecut, ke manakah pecutan itu menghala dan berapakah magnitudnya akan ditunjukkan dalam artikel seterusnya, Pecutan memusat.