Daya memusat

Raju memutarkan sebiji batu yang diikat pada tali di atas kepalanya. Batu itu berpusing, tali menjadi tegang, dan Raju dapat merasakan batu itu menarik tangannya. Namun, sebaik sahaja dia melepaskan tali, batu itu terpelanting. Membelok tidak berlaku secara percuma: sesiapa yang mahu jasad bergerak mengikut bulatan mesti memaksanya dengan daya yang menghala ke pusat. Daya ini dipanggil daya memusat.

Jika anda hanya mencari rumus: pada jasad berjisim m yang bergerak dengan laju v mengikut bulatan berjejari r, mesti bertindak daya memusat

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

dengan ω ialah halaju sudut.

Daya yang membelokkan halaju

Dalam gerakan membulat seragam, laju kekal sama, tetapi anak panah halaju sentiasa berpusing. Oleh itu, jasad mempunyai pecutan memusat yang menghala ke pusat bulatan dan bermagnitud

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Menurut Hukum Gerakan Newton Kedua, setiap pecutan berpunca daripada daya paduan, F = m · a, dan daya paduan menghala ke arah pecutan. Jadi, pada jasad yang bergerak mengikut bulatan, mesti bertindak daya paduan ke arah pusat. Pecutan digantikan dengan pecutan memusat:

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Jika bentuk kedua pecutan digantikan, kita peroleh F_c = m · ω² · r. Tiada apa-apa yang baharu di sini, cuma hukum daya biasa yang digunakan pada pembelokan. Unitnya betul:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Menurut rumus ini, membelok semakin sukar apabila jisim jasad semakin besar, lajunya semakin tinggi dan selekohnya semakin tajam. Laju dikuasaduakan, maka pada laju dua kali ganda, daya empat kali ganda diperlukan.

Daya memusat bukan daya baharu

Di sinilah kesilapan sering berlaku. Daya memusat bukan jenis daya tambahan yang berdiri di sebelah berat, daya geseran atau tegangan tali. Daya memusat ialah peranan yang dimainkan dalam situasi tertentu oleh daya sebenar yang biasa, atau oleh paduan beberapa daya:

• batu pada bulatan ditahan oleh tegangan tali,
• kereta di selekoh dibelokkan oleh geseran antara tayar dengan jalan,
• Bulan mengorbit Bumi kerana graviti yang digunakan oleh Bumi untuk menariknya.

Semasa melukis daya-daya yang bertindak pada jasad, lukis hanya daya yang sebenar. Anak panah berlabel “daya memusat” yang ditambah di sebelah tali ialah kesilapan, kerana tegangan tali akan muncul dua kali dalam rajah. Rumus $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$ tidak menyatakan dari mana daya itu datang. Rumus ini hanya menyatakan sebesar mana daya paduan yang menghala ke pusat mesti ada supaya jasad benar-benar bergerak mengikut bulatan. Kadangkala satu daya sudah mencukupi, kadangkala beberapa daya menyumbang serentak, seperti yang akan kita lihat pada selekoh bercondong.

Batu pada tali

Jisim batu Raju ialah 0.2 kg, panjang tali 1 m, dan dalam satu saat batu itu mengelilingi bulatan dua kali, maka tempohnya 0.5 s. Sekuat manakah tali mesti menarik batu itu?

Halaju sudut ialah satu putaran, 2π radian, dalam satu tempoh:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0.5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12.6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Kita gantikan ke dalam bentuk kedua rumus. Radian ialah nombor biasa, maka hasilnya dalam newton:

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0.2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3.2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31.6\mathrm{N}\end{array}$$

Tali menarik batu dengan daya kira-kira 32 N, seolah-olah sebuah beg seberat tiga kilogram tergantung padanya. Jika Raju memutarkan batu itu dengan laju dua kali ganda, tali mesti menahan empat kali ganda daya itu, kira-kira 126 N. Berat batu hanya kira-kira 2 N, sebab itulah berat diabaikan. Menurut Hukum Gerakan Newton Ketiga, batu menarik tali balik dengan daya yang sama besar, dan tali memindahkan daya itu hingga ke tangan Raju. Tarikan inilah yang dirasai oleh Raju.

Apabila tali putus

Apakah yang berlaku sebaik sahaja tali putus? Jawapannya ditunjukkan oleh animasi. Selagi tali bertahan, tali menarik batu dengan daya hijau ke arah pusat, dan anak panah merah halaju berpusing. Pada saat tali putus, daya itu hilang. Pada arah mengufuk, tiada lagi apa-apa yang bertindak pada batu, maka menurut hukum inersia batu itu bergerak lurus, sama laju dan ke arah halajunya pada saat tali putus. Arah itu ialah mengikut tangen kepada bulatan.

Jadi, batu itu tidak terpelanting “keluar” mengikut garis lurus dari pusat, seperti yang mungkin disangka. Tiada apa-apa yang menariknya ke luar, batu itu hanya berhenti membelok. Lastik menggunakan prinsip ini: batu dilepaskan tepat pada saat halajunya menghala ke sasaran. Batu Raju terpelanting dengan laju ω · r ≈ 12.6 m/s, iaitu kira-kira 45 km/h, maka tingkap jiran dalam bahaya.

Kereta di selekoh

Sebuah kereta berjisim 1 200 kg melalui selekoh berjejari 50 m dengan laju 54 km/h. Kita tukarkan laju, 54 km/h = 15 m/s, dan gantikan:

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5400\mathrm{N}$$

Dari manakah datangnya 5 400 N itu? Di jalan raya tiada tali. Yang memaksa kereta membelok hanyalah geseran antara tayar dengan jalan tar, yang menghala ke pusat selekoh.

Tayar tidak menggelongsor ke sisi di atas jalan. Titik yang menyentuh jalan tar tidak bergerak relatif kepada jalan pada ketika itu, maka geseran itu ialah geseran statik. Geseran ini tepat sebesar yang diperlukan, di sini 5 400 N, tetapi hanya hingga nilai maksimumnya.

Adakah sebarang jalan mencukupi? Kita akan mengira dengan pekali geseran kinetik. Geseran statik tayar biasanya lebih besar sedikit, maka hasilnya ialah anggaran yang berhati-hati. Bagi getah di atas jalan tar kering, pekalinya kira-kira 0.7, di atas jalan tar basah 0.5, di atas salji 0.3 dan di atas ais 0.1. Berat kereta ialah 1 200 kg · 9.81 m/s² = 11 772 N, dan di jalan mengufuk tindak balas normal sama besar. Geseran mesti membekalkan 5 400 N, maka pekali geseran mesti sekurang-kurangnya $\frac{5400\mathrm{N}}{11772\mathrm{N}}\approx 0.46$. Jalan tar kering dapat melakukannya dengan mudah, di atas jalan tar basah hanya cukup-cukup sahaja. Di atas salji, geseran hanya dapat memberikan paling banyak 0.3 · 11 772 N ≈ 3 500 N, dan kereta itu tidak dapat melalui selekoh tersebut.

Sepantas manakah selekoh dapat dilalui

Di jalan mengufuk, tindak balas normal mengimbangi berat, R = m · g, dan daya geseran maksimum ialah μ · m · g. Kereta dapat melalui selekoh selagi geseran mencukupi:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le \mu \cdot m\cdot g$$

Laju maksimum ialah laju apabila kedua-dua belah sama. Jisim terbatal, kedua-dua belah didarab dengan jejari, dan kita cari punca kuasa dua:

$$v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$$

Di atas jalan tar kering, μ = 0.7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0.7\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18.5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Jadi, di jalan kering, kereta dapat melalui selekoh itu dengan laju paling tinggi kira-kira 67 km/h, dan laju kita, 54 km/h, masih mempunyai lebihan yang selesa. Di atas ais, μ = 0.1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0.1\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Di atas jalan berais, selekoh yang sama hanya dapat dimasuki sedikit lebih laju daripada penunggang basikal. Oleh sebab jisim terbatal, hal ini berlaku sama bagi kereta kecil dan lori yang penuh muatan dengan tayar yang sama. Kereta yang lebih besar jisimnya memang memerlukan daya yang lebih besar, tetapi kereta itu juga menekan jalan dengan lebih kuat, maka geserannya juga lebih besar.

Bagaimana pula jika kereta memasuki selekoh dengan lebih laju? Geseran mencapai nilai maksimum dan tidak dapat memberikan lebih. Daya ke arah pusat lebih kecil daripada yang diperlukan oleh bulatan berjejari 50 m, maka kereta membelok kurang. Kereta bergerak mengikut lengkok yang lebih landai, dalam kes ekstrem hampir lurus mengikut tangen, dan selekoh itu terlepas dari bawah rodanya. Bagi pemerhati di tepi jalan, kereta itu kelihatan seperti “tercampak ke luar”. Sebenarnya, tiada apa-apa yang menolaknya ke luar, geseran hanya tidak dapat membelokkannya secukupnya.

Rumus ini juga boleh digunakan secara terbalik. Seberapa lebar selekoh yang diperlukan oleh lebuh raya supaya dapat dilalui dengan laju 130 km/h, iaitu kira-kira 36.1 m/s? Persamaan v² = μ · g · r dibahagi dengan hasil darab μ · g:

$$r=\frac{v^2}{\mu \cdot g}=\frac{(36.1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0.7\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Di jalan basah dengan pekali 0.5, jejari yang diperlukan sudah kira-kira 266 m, dan itu pun masih tanpa sebarang lebihan keselamatan. Oleh itu, selekoh lebuh raya biasanya mempunyai jejari beratus-ratus meter dan juga bercondong.

Selekoh bercondong

Di susur masuk lebuh raya, di velodrom dan di trek bobsled, selekoh dicondongkan: tepi luarnya lebih tinggi daripada tepi dalamnya. Tindak balas normal serenjang dengan jalan, maka daya ini tidak lagi menghala tegak ke atas, tetapi condong ke arah pusat selekoh.

Berat dan tindak balas normal kemudiannya tidak saling membatalkan, dan sebahagian tugas yang dilakukan oleh geseran di jalan rata diambil alih oleh tindak balas normal. Pada laju yang sesuai, paduan kedua-duanya menghala tepat secara mengufuk ke pusat dan membekalkan seluruh daya memusat, maka kereta dapat melalui selekoh itu walaupun tanpa geseran, contohnya di atas ais. Dalam rajah, kedua-dua daya dilukis dari satu titik yang sama supaya hasil tambahnya dapat dibina dengan segi empat selari. Semakin curam kecondongan selekoh, semakin laju selekoh itu dapat dilalui. Sebab itulah penunggang basikal di velodrom bergerak di selekoh yang condong seperti bumbung.

Apakah yang memegang Bulan

Bulan mengorbit Bumi pada jarak kira-kira 3.84 · 10⁸ m, dan satu orbit mengambil masa 27.3 hari, iaitu kira-kira 2.36 · 10⁶ s. Lajunya ialah

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3.84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2.36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Jisim Bulan kira-kira 7.35 · 10²² kg. Daya memusat yang mesti dikenakan oleh Bumi untuk memegangnya ialah

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7.35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3.84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Tiada tali yang dapat menahan daya sebesar itu. Namun, Bulan tidak memerlukan tali, peranannya diambil alih oleh graviti. Jika Bumi berhenti menarik Bulan, Bulan akan terpelanting mengikut tangen sama seperti batu Raju.

Kalkulator laju maksimum di selekoh

Masukkan jejari selekoh dan pilih permukaan. Kalkulator akan mengira laju maksimum $v_{max}=\sqrt{\mu \cdot g\cdot r}$ di jalan mengufuk.

Setakat ini kita memperihalkan semuanya dari jalan, tempat kelihatan bahawa kereta dan batu hanya dipaksa membelok oleh daya ke arah pusat. Namun, penumpang di dalam kereta mengalaminya secara berbeza: dia tertekan pada pintu, dan dari sudut pandangannya seolah-olah ada sesuatu yang menolaknya ke situ. Cara memperihalkan gerakan dari sudut pandangan seseorang yang bergerak bersama kereta ditunjukkan oleh daya inersia.

Bagaimana penumpang di dalam kereta mengalami selekoh dan mengapa dia merasakan ada sesuatu yang menolaknya ke luar diterangkan dalam artikel seterusnya, Daya inersia.