Импулс на тяло и импулс на сила

През двора на склад дава на заден ход камион със скорост 10 km/h, приблизително с темпото на бегач любител. На стрелбището пък излита куршум със скорост 800 m/s. Кое от двете се спира по-трудно? Куршумът води по скорост, камионът по маса. Физиката има за този двубой величина, която свързва масата и скоростта. Нарича се импулс на тялото и е произведение на масата и скоростта:

$$p=m\cdot v$$

Казано на разговорен език, импулсът показва колко движение има в тялото. Мерната единица е килограм по метър в секунда, kg·m/s. Собствено име, като нютона, тази единица не е получила.

Тяло с два пъти по-голяма маса има при една и съща скорост два пъти по-голям импулс, два пъти по-бързо тяло със същата маса също. Това отговаря на опита. Медицинбол се хваща по-трудно от футболна топка, хвърлена със същата скорост, а топка, ритната с воле, по-трудно от онази, която някой просто ти подава.

Камион или куршум?

Камионът има маса 40 t = 40 000 kg. Скоростта преобразуваме в метри в секунда, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, и заместваме:

$$p=40000\mathrm{kg}\cdot 2,78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Куршумът има маса 10 g = 0,01 kg:

$$p=0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Импулсът на бавния камион е почти четиринайсет хиляди пъти по-голям от импулса на бързия куршум. Куршумът наистина лети около триста пъти по-бързо, но камионът има четири милиона пъти по-голяма маса. Торба с пясък спира куршума, а камионът я отмества. Защо точно импулсът решава колко трудно е да се спре едно тяло, ще видим след малко.

Скоростта е вектор и затова е вектор и импулсът:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Масата е положително число, така че импулсът сочи винаги като скоростта. Два еднакви камиона, които се движат с еднаква скорост един срещу друг, имат импулси с еднаква големина, но с противоположна посока. По права избираме положителна посока и импулсът, насочен срещу нея, получава знак минус, както и скоростта.

Как да променим импулса

Импулсът на тялото се променя само когато се промени скоростта му, а за това е нужна сила. Тръгваме от втория закон на Нютон F = m · a и вместо ускорението заместваме промяната на скоростта за време, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Масата не се променя, така че маса по промяна на скоростта е промяната на импулса. Тялото в началото е имало скорост v₀ и импулс p₀ = m · v₀, в края скорост v и импулс p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

След заместване в закона на силата получаваме втория закон на Нютон, записан чрез импулса:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Силата е промяна на импулса за единица време, подобно на ускорението, което е промяна на скоростта за единица време. С вектори $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, така че импулсът се променя по посока на равнодействащата. Самият Нютон е изказал закона чрез импулса: под промяна на движението е разбирал промяна на импулса.

Импулс на силата

Формулата умножаваме по времето Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Произведението на силата и времето на действието ѝ се нарича импулс на силата, J = F · Δt. Мерната единица е нютон по секунда и това е същото като единицата за импулс на тяло:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Импулсът на силата е равен на промяната на импулса на тялото. От това следва важно нещо: когато тялото трябва да загуби определен импулс, например да спре, импулсът на силата е даден. Голяма сила го постига за кратко време, малка сила за дълго. Два пъти по-дълго време означава два пъти по-малка сила, десет пъти по-дълго една десета.

Сега вече знаем защо торбата с пясък спира куршума, а камиона не. Куршумът в пясъка спира приблизително за хилядна от секундата и торбата го спира със средна сила

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}=8000\mathrm{N}.$$

Не е малко, но пясъкът го издържа. Ако със същата по големина сила трябваше да спре камиона, трябваше да го спира

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Куршумът се спира на път около 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (средна скорост по време). Камионът за четиринайсет секунди със средна скорост 1,39 m/s би изминал почти 20 m. Торбата би трябвало да е дълга двайсет метра и затова камионът просто я отмества и продължава.

Импулсът на силата работи и обратно, когато тялото потегля. Футболист ритва неподвижна топка с маса 0,45 kg и топката излита със скорост 30 m/s. Топката е получила импулс 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Допирът на крака трае около стотна от секундата, така че кракът действа върху топката със средна сила

$$F=\frac{13,5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=1350\mathrm{N}.$$

Който иска да рита по-силно, трябва да действа върху топката или с по-голяма сила, или по-дълго. Затова тласкачът на гюле не хвърля гюлето само с китката, а го тласка по цялата дълга траектория на ръката.

Силата при удар не е постоянна, бързо нараства и пак спада. От промяната на импулса изчисляваме средната ѝ стойност и тя ще ни е достатъчна.

Въздушна възглавница

Представи си кола, която се движи със скорост 50 km/h и се удря в стена. Пътникът с маса 70 kg е с поставен колан и пред него се издува въздушна възглавница. Коланът с възглавницата го спира приблизително за 0,1 s. С каква сила действа върху него?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Положителната посока ще е посоката на движение. Пътникът губи целия импулс, който е имал:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Промяната на импулса е Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Минусът само казва, че силата сочи срещу посоката на движение. Големина на силата:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,1\mathrm{s}}=9730\mathrm{N}$$

Когато килограм по метър в секунда разделим на секунда, получаваме kg·m/s², тоест нютон. Върху пътника действат около 9700 N. Силата на тежестта му е 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, така че коланът и въздушната възглавница го спират със сила около четиринайсет пъти по-голяма. Много е, но може да се оцелее.

Ако нямаше нито колан, нито възглавница, щеше да се удари във волана и таблото и да спре за около 0,01 s. Губи същия импулс, само за една десета от времето:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=97300\mathrm{N}$$

Това са около 97 000 N, десет пъти повече и около сто и четиридесет пъти повече от силата на тежестта. Въздушната възглавница не намалява импулса, който пътникът губи, той е даден от масата и скоростта му. Само го отнема по-дълго и затова с по-малка сила. Същото прави и зоната на деформация на колата, която при удар постепенно се смачква и удължава времето на спиране.

Меко приземяване

Гимнастичката Божана с маса 40 kg скача от гредата и пада със скорост 4 m/s. Точно преди удара има импулс

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

На твърдия под спира и със свити колене приблизително за 0,05 s, на постелка, която се огъва под нея, приблизително за 0,25 s. Равнодействащата сила, която я спира:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,05\mathrm{s}}=3200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

На постелката силата е пет пъти по-малка, защото ударът трае пет пъти по-дълго. Целия импулс Божана губи и в двата случая. Постелката не променя колко импулс изчезва, само го отнема по-бавно.

Червеният правоъгълник е падането на пода, синият на постелката. Височината на правоъгълника е средната сила, ширината времето на удара, така че лицето на правоъгълника е сила по време, тоест импулс на силата. Червеният правоъгълник е пет пъти по-висок и пет пъти по-тесен от синия и двата имат едно и също лице 160 N·s, защото и двата удара са отнели на Божана един и същ импулс. Истинската сила при удара бързо скача и пак спада. Импулсът на силата е тогава лицето под нейната крива, а средната сила е височината на правоъгълник със същото лице.

Подът и постелката при това трябва да натискат с още около 390 N повече, колкото е силата на тежестта на Божана, защото Земята я тегли надолу и по време на удара. Равнодействащата е разлика между силата, с която опората натиска нагоре, и силата на тежестта.

Същия принцип използват пясъкът при скока на дължина, дюшекът при овчарския скок или свиването на коленете, когато скачаш от зидана ограда.

Защо при хващане ръцете се отдръпват

Когато хващаш силно хвърлена топка, ръцете сами се отдръпват с нея към тялото. Така топката се спира по-дълго и с по-малка сила и дланите не болят. Който държи ръцете схванати, спира топката за миг с голяма сила и топката често му отскача. Най-добре го знае всеки, който някога е хващал сурово яйце.

Оранжевите маркировки отбелязват къде е била топката след равни интервали от време. Горе топката се спира в схванатата червена ръка почти мигновено. Долу синята ръка се отдръпва с нея и топката забавя постепенно, маркировките се доближават една към друга. Сивият контур показва откъде е започнала ръката. Спирането долу трае много по-дълго и затова ръката спира топката с много по-малка сила.

Хандбална топка с маса 0,4 kg лети със скорост 15 m/s и има импулс 6 kg·m/s. Схванатите ръце я спират приблизително за 0,01 s със сила 600 N, отпуснатите за 0,1 s със сила само 60 N.

Отскокът е по-лош от спирането

Хвърляш в стена топка пластилин с маса 0,06 kg със скорост 20 m/s. Положителната посока избираме към стената. Топката се залепва, така че импулсът ѝ се променя от 1,2 kg·m/s на нула:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Сега вземи тенис топка със същата маса и скорост. В идеалния случай тя отскача и лети обратно със същата скорост 20 m/s, тоест срещу положителната посока, и импулсът ѝ е −1,2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2,4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Промяната на импулса излиза двойна. Стената трябва първо да спре тенис топката и после да я изпрати обратно. При същото по продължителност докосване стената действа върху тенис топката с два пъти по-голяма сила, отколкото върху пластилина. Грешка би било да се каже, че импулсът не се е променил, когато тенис топката лети все със същата скорост. Скоростта има същата големина, но противоположна посока, а импулсът е вектор. Затова и топка, която ти отскача от схванатите ръце, боли повече, отколкото ако ти остане в дланите.

Къде обаче е отишъл импулсът, който тенис топката е загубила при отскока? А ако вместо в стена се удари в друго тяло, което може да тръгне?

Как се смята това, защо пушката при изстрел ритва стрелеца в рамото и колко бързо се движат съединени вагони, показва следващата статия, Закон за запазване на импулса.