Động lượng và xung lượng của lực

Trong sân kho hàng, một xe tải đang lùi với tốc độ 10 km/h, gần bằng nhịp chạy của người chạy bộ thư giãn. Còn ở trường bắn, một viên đạn bay ra với tốc độ 800 m/s. Cái nào khó làm dừng lại hơn? Viên đạn hơn về tốc độ, xe tải hơn về khối lượng. Cho cuộc so tài này, vật lí có một đại lượng gắn khối lượng với vận tốc. Nó gọi là động lượng và là tích của khối lượng với vận tốc:

$$p=m\cdot v$$

Nói nôm na, động lượng cho biết trong vật có “bao nhiêu chuyển động”. Đơn vị của nó là ki-lô-gam nhân mét trên giây, kg·m/s. Khác với niutơn, đơn vị này không có tên riêng.

Với cùng tốc độ, vật có khối lượng gấp đôi có động lượng gấp đôi, và vật có cùng khối lượng nhưng nhanh gấp đôi cũng vậy. Điều này khớp với kinh nghiệm. Bắt quả bóng tạ khó hơn bắt quả bóng đá được ném nhanh như vậy, và bắt quả bóng vừa bị sút vô lê khó hơn quả bóng ai đó chỉ đưa cho bạn.

Xe tải hay viên đạn?

Xe tải có khối lượng 40 t = 40.000 kg. Đổi tốc độ ra mét trên giây, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, rồi thay số:

$$p=40.000\mathrm{kg}\cdot 2,78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Viên đạn có khối lượng 10 g = 0,01 kg:

$$p=0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Động lượng của chiếc xe tải chậm chạp lớn gần 14.000 lần động lượng của viên đạn nhanh. Viên đạn bay nhanh hơn khoảng 300 lần, nhưng xe tải có khối lượng lớn hơn 4 triệu lần. Một bao cát chặn được viên đạn, còn xe tải thì đẩy bao cát đi. Vì sao chính động lượng quyết định việc làm dừng một vật khó đến đâu, ta sẽ thấy ngay sau đây.

Vận tốc là một vectơ, nên động lượng cũng là một vectơ:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Khối lượng là số dương, nên động lượng luôn cùng hướng với vận tốc. Hai xe tải giống nhau chạy ngược chiều nhau với cùng tốc độ có động lượng cùng độ lớn nhưng ngược hướng. Trên một đường thẳng, ta chọn chiều dương, và động lượng hướng ngược chiều đó mang dấu trừ, giống như vận tốc.

Làm thay đổi động lượng thế nào

Động lượng của vật chỉ thay đổi khi vận tốc của nó thay đổi, và muốn vậy phải có lực. Xuất phát từ định luật II Newton F = m · a và thay gia tốc bằng độ biến thiên vận tốc trong một đơn vị thời gian, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Khối lượng không đổi, nên khối lượng nhân độ biến thiên vận tốc là độ biến thiên động lượng. Lúc đầu vật có vận tốc v₀ và động lượng p₀ = m · v₀, lúc cuối có vận tốc v và động lượng p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Thay vào định luật về lực, ta được định luật II Newton viết qua động lượng:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Lực là độ biến thiên động lượng trong một đơn vị thời gian, tương tự như gia tốc là độ biến thiên vận tốc trong một đơn vị thời gian. Viết dưới dạng vectơ, $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, nên động lượng thay đổi theo hướng của hợp lực. Chính Newton đã phát biểu định luật qua động lượng: với ông, sự thay đổi chuyển động là sự thay đổi động lượng.

Xung lượng của lực

Nhân công thức với khoảng thời gian Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Tích của lực với thời gian tác dụng của nó gọi là xung lượng của lực, I = F · Δt. Đơn vị là niutơn nhân giây, và nó cũng chính là đơn vị của động lượng:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Xung lượng của lực bằng độ biến thiên động lượng. Từ đó suy ra một điều quan trọng: khi vật phải mất đi một lượng động lượng nhất định, chẳng hạn khi dừng lại, thì xung lượng đã được xác định. Lực lớn làm được việc đó trong thời gian ngắn, lực nhỏ thì trong thời gian dài. Thời gian dài gấp đôi nghĩa là lực bằng một nửa, dài gấp 10 lần thì lực bằng một phần mười.

Bây giờ ta đã biết vì sao bao cát chặn được viên đạn mà không chặn được xe tải. Trong cát, viên đạn dừng lại sau khoảng một phần nghìn giây, nên bao cát hãm nó với lực trung bình

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}=8.000\mathrm{N}.$$

Không nhỏ, nhưng cát chịu được. Nếu cũng với lực ấy mà phải làm dừng xe tải thì nó phải hãm xe trong

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8.000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Viên đạn bị hãm trên quãng đường khoảng 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (tốc độ trung bình nhân thời gian). Trong 14 giây, với tốc độ trung bình 1,39 m/s, xe tải sẽ đi được gần 20 m. Bao cát sẽ phải dài 20 mét, vì vậy xe tải chỉ việc đẩy nó đi rồi chạy tiếp.

Xung lượng cũng đúng theo chiều ngược lại, khi vật bắt đầu chuyển động. Một cầu thủ sút quả bóng đang nằm yên có khối lượng 0,45 kg, và quả bóng bay đi với tốc độ 30 m/s. Quả bóng đã nhận được động lượng 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Thời gian chân chạm bóng khoảng một phần trăm giây, nên chân tác dụng lên bóng một lực trung bình

$$F=\frac{13,5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=1.350\mathrm{N}.$$

Ai muốn sút mạnh hơn thì phải tác dụng lên bóng một lực lớn hơn hoặc lâu hơn. Vì thế vận động viên đẩy tạ không ném quả tạ chỉ bằng cổ tay, mà đẩy nó suốt cả quãng dài của cánh tay.

Lực khi va chạm không phải là không đổi, nó tăng nhanh rồi lại giảm. Từ độ biến thiên động lượng ta tính được giá trị trung bình của nó, và như thế là đủ.

Túi khí

Hãy tưởng tượng một ô tô chạy với tốc độ 50 km/h và đâm vào tường. Hành khách có khối lượng 70 kg đã thắt dây an toàn, và trước mặt người đó một túi khí bung ra. Dây an toàn và túi khí làm người đó dừng lại trong khoảng 0,1 s. Chúng tác dụng lên người đó một lực bao nhiêu?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Chiều dương là chiều chuyển động. Hành khách mất toàn bộ động lượng vốn có:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Độ biến thiên động lượng là Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Dấu trừ chỉ cho biết lực hướng ngược chiều chuyển động. Độ lớn của lực:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,1\mathrm{s}}=9.730\mathrm{N}$$

Khi lấy ki-lô-gam nhân mét trên giây chia cho giây, ta được kg·m/s², tức là niutơn. Hành khách chịu một lực khoảng 9.700 N. Trọng lực của người đó là 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, như vậy dây an toàn và túi khí hãm người đó với lực lớn hơn khoảng 14 lần. Nhiều, nhưng sống sót được.

Nếu không có dây an toàn và túi khí, người đó sẽ đập vào vô lăng và bảng điều khiển và dừng lại trong khoảng 0,01 s. Người đó mất đi cùng một động lượng, chỉ trong một phần mười thời gian:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=97.300\mathrm{N}$$

Đó là khoảng 97.000 N, gấp 10 lần và gấp khoảng 140 lần trọng lực. Túi khí không làm giảm phần động lượng mà hành khách mất đi, phần đó do khối lượng và tốc độ của người đó quyết định. Nó chỉ lấy đi động lượng ấy trong thời gian dài hơn, nên với lực nhỏ hơn. Vùng hấp thụ va chạm của ô tô cũng làm như vậy: khi va chạm nó bị bẹp dần và kéo dài thời gian dừng lại.

Tiếp đất êm

Vận động viên thể dục dụng cụ Mai, khối lượng 40 kg, nhảy xuống khỏi cầu thăng bằng và chạm đất với tốc độ 4 m/s. Ngay trước khi chạm đất, Mai có động lượng

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Trên sàn cứng, dù có khuỵu gối, Mai dừng lại trong khoảng 0,05 s, còn trên tấm đệm lún xuống dưới chân thì trong khoảng 0,25 s. Hợp lực hãm Mai lại:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,05\mathrm{s}}=3.200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

Trên tấm đệm, lực nhỏ hơn 5 lần, vì thời gian tiếp đất dài hơn 5 lần. Trong cả hai trường hợp, Mai đều mất hết động lượng. Tấm đệm không làm thay đổi lượng động lượng mất đi, nó chỉ lấy đi chậm hơn.

Hình chữ nhật màu đỏ là khi tiếp đất trên sàn, màu xanh dương là trên tấm đệm. Chiều cao hình chữ nhật là lực trung bình, chiều rộng là thời gian tiếp đất, vì vậy diện tích hình chữ nhật là lực nhân thời gian, tức là xung lượng. Hình chữ nhật màu đỏ cao gấp 5 lần và hẹp hơn 5 lần hình màu xanh dương, và cả hai có cùng diện tích 160 N·s, vì cả hai lần tiếp đất đều lấy đi của Mai cùng một động lượng. Lực thật khi tiếp đất tăng vọt rồi lại giảm nhanh. Khi đó xung lượng là diện tích phần dưới đường cong của nó, còn lực trung bình là chiều cao của hình chữ nhật có cùng diện tích.

Trong khi đó, sàn và tấm đệm còn phải đẩy mạnh hơn một lượng bằng trọng lực của Mai, khoảng 390 N, vì Trái Đất vẫn kéo Mai xuống cả trong lúc tiếp đất. Hợp lực là hiệu giữa lực mà mặt đỡ đẩy lên và trọng lực.

Hố cát ở môn nhảy xa, tấm nệm ở môn nhảy sào hay việc khuỵu gối khi nhảy xuống từ bức tường thấp đều dựa trên nguyên tắc ấy.

Vì sao khi bắt bóng ta co tay lại

Khi bắt một quả bóng ném mạnh, đôi tay tự lùi lại cùng quả bóng về phía người. Nhờ vậy quả bóng bị hãm trong thời gian dài hơn với lực nhỏ hơn, và lòng bàn tay không đau. Ai đưa tay ra cứng đờ sẽ làm quả bóng dừng lại trong một khoảnh khắc rất ngắn, với lực lớn, và quả bóng thường bật ra. Hiểu rõ điều này nhất là những ai từng bắt một quả trứng sống.

Các dấu màu cam ghi lại vị trí của quả bóng sau những khoảng thời gian bằng nhau. Phía trên, quả bóng dừng lại gần như tức thì khi chạm bàn tay cứng màu đỏ. Phía dưới, bàn tay màu xanh dương lùi lại cùng quả bóng và quả bóng chậm dần, các dấu ngày càng sát nhau. Đường viền màu xám cho biết bàn tay lúc đầu ở đâu. Ở phía dưới, quá trình dừng lại kéo dài lâu hơn nhiều, vì vậy bàn tay hãm quả bóng bằng lực nhỏ hơn nhiều.

Một quả bóng của môn bóng ném có khối lượng 0,4 kg bay với tốc độ 15 m/s và có động lượng 6 kg·m/s. Đôi tay cứng làm nó dừng lại trong khoảng 0,01 s với lực 600 N, đôi tay thả lỏng thì trong 0,1 s với lực chỉ 60 N.

Bật lại còn tệ hơn dừng lại

Bạn ném vào tường một viên đất nặn khối lượng 0,06 kg với tốc độ 20 m/s. Chọn chiều dương là chiều hướng vào tường. Viên đất nặn dính vào tường, nên động lượng của nó thay đổi từ 1,2 kg·m/s về 0:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Bây giờ lấy một quả bóng tennis có cùng khối lượng và tốc độ. Trong trường hợp lí tưởng, nó bật lại và bay ngược trở lại với cùng tốc độ 20 m/s, tức là ngược chiều dương, và động lượng của nó là −1,2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2,4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Độ biến thiên động lượng gấp đôi. Bức tường phải làm quả bóng tennis dừng lại trước rồi còn đẩy nó bay ngược lại. Vì vậy, với cùng thời gian tiếp xúc, tường đẩy quả bóng tennis với lực gấp đôi so với viên đất nặn. Sẽ là sai nếu nói rằng động lượng không đổi vì quả bóng tennis vẫn bay nhanh như cũ. Vận tốc có cùng độ lớn nhưng ngược hướng, mà động lượng là một vectơ. Cũng vì thế, quả bóng bật ra khỏi đôi tay cứng của bạn gây đau hơn so với khi nó nằm gọn trong lòng bàn tay.

Nhưng phần động lượng mà quả bóng tennis mất đi khi bật lại đã đi đâu? Và nếu thay vì đâm vào tường, nó đâm vào một vật khác có thể chuyển động thì sao?

Cách tính trong trường hợp đó, vì sao khẩu súng giật vào vai người bắn và các toa tàu nối với nhau chạy nhanh thế nào, bài tiếp theo, Định luật bảo toàn động lượng, sẽ trình bày.