빗면

시우가 눈 덮인 언덕에 썰매를 놓고 손을 뗀다. 썰매는 미끄러지기 시작하고 내려가면서 점점 빨라진다. 그런데 썰매를 아래로 당기는 것은 지구뿐이고, 중력은 비탈을 따라 비스듬히가 아니라 연직 아래쪽을 향한다. 썰매는 왜 땅을 향해 수직으로 떨어지지 않고 언덕을 따라 미끄러질까? 그리고 왜 완만한 비탈에서는 가파른 비탈에서보다 천천히 내려올까? 두 질문은 중력을 두 성분으로 분해하는 방법 하나로 설명할 수 있다.

비탈, 미끄럼틀, 경사로, 비스듬히 걸쳐 놓은 판자를 물리학에서는 빗면이라고 한다. 빗면이 얼마나 기울어졌는지는 수평인 땅과 이루는 각 α로 나타낸다.

중력의 분해

중력 $\vec{W}$ 를 함께 작용할 때 같은 효과를 내는 두 힘으로 바꾼다. 하나는 비탈을 따라 아래쪽을 향하고, 다른 하나는 비탈에 수직으로 비탈 안쪽을 향한다. 어떤 힘을 분해할 때나 그렇듯이 중력은 두 성분으로 만든 직사각형의 대각선이 된다.

썰매에 작용하는 중력 W⃗를 비탈 방향 성분 F⃗_1과 비탈에 수직인 성분 F⃗_2로 분해한다

파란 점선 성분 ${\vec{F}}_{1}$ 은 썰매를 비탈을 따라 아래로 당기고, 다른 성분 ${\vec{F}}_{2}$ 는 썰매를 눈 속으로 누른다. 이 성분은 혼자서는 썰매를 어디로도 움직이지 못한다. 눈이 썰매를 통과시키지 않기 때문이다. 그러니 중력 전체 가운데 썰매를 움직이게 하는 것은 일부 F₁뿐이고, 이것이 첫째 질문의 답이다.

두 성분의 크기는 얼마일까? 중력, 성분 ${\vec{F}}_{2}$ , 그리고 ${\vec{F}}_{2}$ 의 끝점에서 $\vec{W}$ 의 끝점으로 가는 회색 점선은 ${\vec{F}}_{2}$ 의 끝점에서 직각인 직각삼각형을 이룬다. 이 삼각형에서 중력은 빗변이고, 무게중심에서 중력과 성분 ${\vec{F}}_{2}$ 사이의 각은 그림에서 비탈의 기울기와 같은 α로 표시되어 있다. 왜 그런지는 곧 설명한다. 먼저 사인과 코사인을 떠올리자. 직각삼각형에서 한 각의 사인은 높이와 빗변의 비, 코사인은 밑변과 빗변의 비이다. 각 α의 맞은편에는 길이가 F₁과 같은 점선 변이 있고, 각에 붙은 변은 F₂이므로 다음과 같다.

$\sin α = \frac{F_{1}}{W}, \cos α = \frac{F_{2}}{W} .$

두 식에 중력을 곱한다.

$\begin{aligned} F_{1} & = W \cdot \sin α \\ F_{2} & = W \cdot \cos α \end{aligned}$

약속한 설명이 남았다. 중력은 수평인 땅에 수직이고, 성분 ${\vec{F}}_{2}$ 는 비탈에 수직이다. 땅과 비탈을 직각만큼 돌린다고 상상해 보자. 땅은 연직선이 되고 비탈은 비탈에 수직인 선이 되며, 그 사이의 각은 돌려도 변하지 않는다. 그래서 중력과 비탈의 수선 사이의 각은 땅과 비탈 사이의 각과 같다. 두 변이 각각 서로 수직인 두 예각은 크기가 같기 때문이다.

돌리는 것이 마음에 들지 않는다면 계산해도 된다. 중력을 연직 아래로 땅까지 늘이자. 연직선, 땅, 비탈은 아래쪽 땅 근처의 각이 α인 직각삼각형을 이루므로, 비탈 쪽의 각은 90° − α이다. 비탈의 수선은 비탈과 직각을 이루므로 연직선에서 90° − (90° − α) = α만큼 기울어진다.

이것이 맞는지 극단적인 경우로 확인해 보자. 수평인 땅에서는 α = 0°, sin α = 0, cos α = 1이다. 비탈 방향 성분은 사라지고 중력 전체가 바닥면을 누른다. 그래야 한다. 비탈이 가파를수록 사인값이 커지고 썰매를 아래로 더 세게 당긴다. 이것이 둘째 질문의 답이다.

시우의 질량 10 kg인 썰매를 기울기 30°인 비탈에 놓아 보자. 중력은 다음과 같다.

$W = m \cdot g = 10 kg \cdot 9.81 {m / s}^{2} = 98.1 N .$

sin 30° = 0.5와 $\cos 30 ° ≒ 0.866$ 을 대입한다.

$\begin{aligned} F_{1} & = 98.1 N \cdot 0.5 = 49.05 N \\ F_{2} & = 98.1 N \cdot 0.866 ≒ 85 N \end{aligned}$

주의하자. 49.05 N + 85 N은 98.1 N이 아니다. 성분은 수가 아니라 화살표로 더하기 때문이다.

시험에서는 사인과 코사인을 바꿔 쓰는 일이 흔하다. 어느 쪽이 어디에 들어가는지 외울 필요는 없고, 수평인 땅을 떠올리면 된다. 거기서는 비탈 방향 성분이 사라져야 하고, 0°에서 0이 되는 것은 코사인이 아니라 사인이다. 그러니 비탈 방향 성분이 사인이 들어간 쪽이다.

비탈에서의 수직 항력

눈은 썰매에 수직 항력 $\vec{N}$ 을 작용하는데, 수직 항력은 언제나 바닥면에 수직이므로 여기서는 비탈에 수직으로 바깥쪽을 향한다. 썰매는 비탈에 수직인 방향으로는 움직이지 않는다. 눈에 파묻히지도, 튀어 오르지도 않는다. 그래서 이 방향의 힘들은 평형을 이루고, 수직 항력은 성분 ${\vec{F}}_{2}$ 와 균형을 이룬다.

$N = W \cdot \cos α$

비탈에서는 수직 항력이 중력보다 작다. 시우의 썰매에서는 98.1 N이 아니라 85 N이다. 시험에서 가장 많이 틀리는 곳이 여기이다. 수평인 바닥에서 쓰던 N = m · g를 그대로 가져오면 비탈에서의 마찰력도 틀리게 된다.

비탈이 가파를수록 코사인값이 작아지고, 썰매가 눈을 누르는 힘이 약해지며, 마찰력도 작아진다. 연직인 벽에서는 cos 90° = 0이므로 수직 항력이 완전히 사라진다.

마찰이 없는 썰매

강철 날이 달린 썰매가 얼음 위를 미끄러지는 것처럼 완벽하게 매끄러운 비탈에서 시작하자. 공기 저항은 무시한다. 수직 항력이 성분 ${\vec{F}}_{2}$ 를 상쇄하므로 비탈 방향의 힘 F₁ 하나만 남는다. 가속도 법칙에 따라 이 힘은 질량 곱하기 가속도와 같다.

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α$

질량으로 나눈다.

$a = g \cdot \sin α$

질량이 약분되었다. 가벼운 물체와 무거운 물체가 같은 가속도로 떨어지는 것처럼, 빈 썰매와 시우가 탄 썰매는 매끄러운 비탈에서 똑같이 빨라질 것이다. 질량이 큰 썰매는 더 큰 힘이 아래로 당기지만, 그만큼 움직이기 시작하기도 어렵다.

기울기가 30°인 비탈에서는 다음과 같다.

$a = 9.81 {m / s}^{2} \cdot 0.5 ≒ 4.9 {m / s}^{2}$

중력 가속도의 절반이다. 극단적인 경우도 맞는다. 수평인 땅에서는 sin α = 0이므로 썰매가 저절로 움직이지 않고, 연직인 벽에서는 sin 90° = 1이므로 a = g, 즉 자유 낙하이다.

마찰이 있는 썰매

실제 눈 위에서는 마찰이 썰매를 늦춘다. 마찰력 $\vec{f}$ 는 운동과 반대로 비탈을 따라 위쪽을 향하고, 수직 항력에 비례한다. 그런데 비탈에서는 공식에 중력 전체가 아니라 그 일부 W · cos α, 즉 수직 항력이 들어간다.

$f = μ_{k} \cdot N = μ_{k} \cdot W \cdot \cos α$

다져진 눈 위의 썰매 날에 대해서는 μ_k = 0.1을 쓴다. 강철이나 플라스틱 날은 예를 들어 고무보다 눈 위에서 훨씬 잘 미끄러진다. 시우의 썰매를 늦추는 힘은 다음과 같다.

$f = 0.1 \cdot 85 N ≒ 8.5 N .$

비탈 위의 썰매에 작용하는 모든 힘: 성분으로 나눈 중력 W⃗, 수직 항력 N⃗, 마찰력 f⃗. 마찰력은 눈 위의 썰매보다 크게 그렸다

비탈 방향의 알짜힘은 성분 F₁에서 마찰력을 뺀 약 $49.05 N - 8.5 N ≒ 40.6 N$ 이고, 가속도는 다음과 같다.

$a = \frac{40.6 N}{10 kg} ≒ 4.06 {m / s}^{2} .$

일반적으로 비탈 방향의 가속도 법칙은 다음과 같다.

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ_{k} \cdot m \cdot g \cdot \cos α,$

식을 질량으로 나누면 마찰이 있는 비탈에서의 가속도 공식을 얻는다.

$a = g \cdot (\sin α - μ_{k} \cdot \cos α)$

여기서도 질량이 약분되었다. 9.81 m/s² · (0.5 − 0.1 · 0.866)을 계산하면 역시 4.06 m/s²이 나온다.

기울기가 10°인 더 완만한 비탈에서는 $\sin 10 ° ≒ 0.174$ , $\cos 10 ° ≒ 0.985$ 이므로 다음과 같다.

$\begin{aligned} a & = 9.81 {m / s}^{2} \cdot (0.174 - 0.1 \cdot 0.985) \\ ≒ 0.74 {m / s}^{2} . \end{aligned}$

기울기는 3분의 1이지만 가속도는 5분의 1보다도 작다. 여기서는 마찰이 비탈 방향 성분의 대부분을 빼앗는다. 그리고 기울기가 5°인 비탈에서는 괄호 안이 음수가 된다. 미끄러지던 썰매는 느려지다가 멈출 것이다. 그 뒤에 썰매가 왜 서 있는지는 다음 절에서 설명한다.

물체가 서 있을 조건

시우와 동생이 썰매를 다시 위로 끌고 올라가다가 완만한 구간에서 잠깐 쉰다. 썰매는 그곳에 서 있고 미끄러져 내려가지 않는다. 썰매를 붙잡는 것은 정지 마찰력이다. 정지 마찰력은 언제나 썰매를 아래로 당기는 힘, 여기서는 성분 F₁과 균형을 이룰 만큼만 크다. 그 최댓값은 μ_s · N이고, 여기서 μ_s는 정지 마찰 계수이다. 그러니 썰매는 다음이 성립하는 동안 서 있다.

$W \cdot \sin α \leq μ_{s} \cdot W \cdot \cos α .$

사인값과 코사인값의 비를 탄젠트라고 하며 $\tan α = \frac{\sin α}{\cos α}$ 이다. 직각삼각형에서 탄젠트는 높이와 밑변의 비이다. 중력이 약분되고, 코사인값으로 나누면 다음이 남는다.

$\tan α \leq μ_{s} .$

물체가 비탈에서 미끄러지는지는 질량이 아니라 기울기와 면에만 달려 있다. 탄젠트값을 알 때 그 각은 계산기의 tan⁻¹ 버튼으로 구한다.

기울기가 5°인 비탈에서는 $\tan 5 ° ≒ 0.087$ 로 0.1보다 작고, 정지 마찰력은 운동 마찰력보다도 크다. 그래서 멈춘 썰매는 거기서 저절로 다시 움직이지 않는다. 가속도가 음수로 나오는 공식은 내려가는 운동만 나타낸다.

여기서 간단한 실험을 할 수 있다. 블록 장난감의 나무 블록을 판자 위에 세우고 판자의 한쪽 끝을 천천히 들어 올린다. 나무 위의 나무에서는 $μ_{s} ≒ 0.5$ 이므로 tan α가 0.5에 이를 때, 즉 대략 27°일 때 블록이 움직이기 시작한다.

바퀴를 잠근 채 주차한 자동차도 마찬가지이다. 마른 아스팔트에서는 꽤 가파른 길에서도 자동차가 서 있다. 하지만 빙판에서는 정지 마찰 계수가 약 0.1뿐이고, tan α = 0.1은 기울기 6°가 채 안 되는 비탈에 해당한다. 이런 언덕은 거의 어느 도시에나 있고, 자동차는 가볍든 무겁든 얼음 위를 미끄러져 내려간다.

운동 마찰력은 정지 마찰력보다 작다. 그래서 기울기가 약 20°일 때 블록은 혼자서는 서 있지만, 톡 건드리면 움직이기 시작해 계속 빨라진다. $\tan 20 ° ≒ 0.36$ 은 운동 마찰 계수 μ_k = 0.3보다 크기 때문이다.

시험 문제를 단계별로

질량이 20 kg인 사과 상자가 트럭 짐칸과 땅을 비스듬히 잇는 나무판자 위에 놓여 있다. 판자의 길이는 2 m이고 땅과 35°의 각을 이룬다. 나무 위의 나무의 운동 마찰 계수는 0.3, 정지 마찰 계수는 0.5이다. 상자가 저절로 움직이기 시작하는지 조사하고, 가속도와 땅에 닿을 때의 속력을 구하시오.

조건을 적는다. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ_k = 0.3, μ_s = 0.5, g = 9.81 m/s². 구하는 것은 a와 v이다. 단위는 기본 단위이므로 바꿀 필요가 없다.

힘을 그린다. 썰매일 때와 같다.

움직이기 시작할까? $\tan 35 ° ≒ 0.70$ 은 μ_s = 0.5보다 크다. 정지 마찰력은 상자를 붙잡지 못한다.

중력을 분해한다. 수로 감을 잡아 보면 W = m · g = 196.2 N, $\sin 35 ° ≒ 0.5736$ , $\cos 35 ° ≒ 0.8192$ 이다. 판자를 따라 상자를 당기는 힘은 $F_{1} ≒ 112.5 N$ , 판자 쪽으로 누르는 힘은 $F_{2} ≒ 160.7 N$ 이다. 하지만 계산은 계속 문자로 하고 수는 마지막에 대입한다.

판자 방향의 힘을 더한다. 판자에 수직인 방향으로는 힘들이 균형을 이루므로 N = m · g · cos α이고, 마찰력은 f = μ_k · m · g · cos α이다. 판자를 따라 아래로는 F₁이, 위로는 마찰력이 당긴다.

$m \cdot a = m \cdot g \cdot \sin α - μ_{k} \cdot m \cdot g \cdot \cos α$

가속도를 나타낸다. 질량으로 나누면 다음과 같다.

$a = g \cdot (\sin α - μ_{k} \cdot \cos α)$

마지막 속력. 상자는 정지 상태에서 출발해 고르게 빨라지므로 v² = 2 · a · s이고 다음과 같다.

$v = \sqrt{2 \cdot a \cdot s} .$

값을 대입한다. 가속도는 계산기에서 반올림하지 않은 채로 둔다.

$\begin{aligned} a & = 9.81 {m / s}^{2} \cdot (\sin 35 ° - 0.3 \cdot \cos 35 °) \\ ≒ 3.22 {m / s}^{2} \\ v & ≒ \sqrt{2 \cdot 3.216 {m / s}^{2} \cdot 2 m} \\ ≒ 3.6 m / s \end{aligned}$

확인: 가속도는 마찰이 없을 때의 $g \cdot \sin 35 ° ≒ 5.6 {m / s}^{2}$ 보다 작으므로 맞는다.

상자는 저절로 움직이기 시작하고, 약 3.22 m/s²의 가속도로 빨라지며, 약 3.6 m/s, 즉 거의 13 km/h의 속력으로 땅에 닿는다. 사과를 생각하면 아래에서 누군가 상자를 받아 주는 것이 좋겠다.

그러니 빗면에서는 중력을 분해하기만 하면 나머지는 수평인 땅에서와 같이 계산한다. 바닥면에 수직인 방향으로는 평형, 바닥면을 따라서는 가속도 법칙이다. 하지만 지금까지 모든 물체는 직선을 따라 움직였다.

썰매나 자동차가 방향을 틀려면 무엇이 필요한지는 다음 글 구심력에서 알아본다.

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