Mặt phẳng nghiêng

Bảo đặt chiếc xe trượt tuyết lên một con dốc phủ tuyết rồi buông tay. Xe trượt bắt đầu chạy và trên đường đi ngày càng nhanh. Trong khi đó chỉ có Trái Đất kéo nó xuống, và trọng lực hướng thẳng đứng xuống dưới chứ không xiên theo con dốc. Vì sao xe không rơi vuông góc xuống đất mà lại chạy dọc theo con dốc? Và vì sao trên dốc thoải nó trượt xuống chậm hơn trên dốc đứng? Cả hai câu hỏi được giải thích bằng một mẹo: phân tích trọng lực thành hai thành phần.

Sườn dốc, cầu trượt, đường dốc lên xuống hay tấm ván đặt xiên trong vật lí đều gọi là mặt phẳng nghiêng. Độ nghiêng của mặt phẳng cho bởi góc α mà mặt phẳng tạo với mặt đất nằm ngang.

Phân tích trọng lực

Ta thay trọng lực $\overrightarrow{P}$ bằng hai lực có cùng tác dụng khi cộng lại. Một lực hướng dọc theo con dốc xuống dưới, lực kia vuông góc với mặt dốc. Như vậy trọng lực là đường chéo của hình chữ nhật dựng từ hai thành phần, như mọi phép phân tích lực.

Thành phần nét đứt màu xanh dương ${\overrightarrow{F}}_1$ kéo xe trượt dọc theo con dốc xuống dưới, còn thành phần kia, ${\overrightarrow{F}}_2$, ép xe vào tuyết. Riêng thành phần này không làm xe dịch đi đâu được, vì tuyết không cho xe lún xuyên qua. Như vậy trong toàn bộ trọng lực, chỉ phần F₁ làm xe trượt chuyển động, đó là câu trả lời cho câu hỏi thứ nhất.

Các thành phần lớn bao nhiêu? Trọng lực, thành phần ${\overrightarrow{F}}_2$ và đoạn nét đứt màu xám từ đầu mũi tên ${\overrightarrow{F}}_2$ đến đầu mũi tên $\overrightarrow{P}$ tạo thành một tam giác vuông, vuông tại đầu mũi tên ${\overrightarrow{F}}_2$. Trong tam giác đó, trọng lực là cạnh huyền, còn góc tại trọng tâm giữa nó và thành phần ${\overrightarrow{F}}_2$ được kí hiệu trên hình là α, giống như độ nghiêng của con dốc. Vì sao như vậy, ta sẽ giải thích ngay sau đây. Trước hết hãy nhớ lại sin và côsin: sin của một góc trong tam giác vuông là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền, côsin là tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền. Đối diện với góc α là cạnh góc vuông nét đứt dài bằng F₁, cạnh kề là F₂, nên

$$\sin \alpha =\frac{F_1}{P},\cos \alpha =\frac{F_2}{P}.$$

Nhân cả hai đẳng thức với trọng lực:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =P\cdot \sin \alpha \\ F_2& =P\cdot \cos \alpha \end{array}$$

Còn phải giải thích như đã hứa. Trọng lực vuông góc với mặt đất nằm ngang, thành phần ${\overrightarrow{F}}_2$ vuông góc với con dốc. Hãy tưởng tượng ta xoay cả mặt đất lẫn con dốc đi một góc vuông. Mặt đất trở thành phương thẳng đứng, con dốc trở thành đường vuông góc với con dốc, và góc giữa chúng không thay đổi khi xoay. Vì vậy góc giữa trọng lực và đường vuông góc với con dốc bằng góc giữa mặt đất và con dốc. Thật vậy, hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc thì bằng nhau.

Ai không thích xoay thì có thể tính. Kéo dài trọng lực thẳng đứng xuống đến mặt đất. Đường thẳng đứng, mặt đất và con dốc tạo thành một tam giác vuông có góc α ở dưới, sát mặt đất, nên góc ở phía con dốc là 90° − α. Đường vuông góc với con dốc tạo với con dốc một góc vuông, vì vậy nó lệch khỏi phương thẳng đứng một góc 90° − (90° − α) = α.

Ta kiểm tra kết quả bằng các trường hợp giới hạn. Trên mặt đất nằm ngang, α = 0°, sin α = 0 và cos α = 1. Thành phần dọc theo con dốc biến mất và toàn bộ trọng lực ép xuống mặt đỡ, đúng như phải thế. Con dốc càng đứng thì sin càng lớn và xe trượt bị kéo xuống càng mạnh. Đó là câu trả lời cho câu hỏi thứ hai.

Thử với chiếc xe trượt tuyết khối lượng 10 kg của Bảo trên con dốc nghiêng 30°. Trọng lực là

$$P=m\cdot g=10\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=98,1\mathrm{N}.$$

Thay sin 30° = 0,5 và cos 30° ≈ 0,866:

$$\begin{array}{rl}{F}_1& =98,1\mathrm{N}\cdot 0,5=49,05\mathrm{N}\\ F_2& =98,1\mathrm{N}\cdot \mathrm{0,866}\approx 85\mathrm{N}\end{array}$$

Chú ý rằng 49,05 N + 85 N không bằng 98,1 N. Thật vậy, các thành phần được cộng như các mũi tên, không phải như các số.

Trong bài kiểm tra, người ta hay đổi chỗ sin và côsin. Không cần nhớ cái nào ở đâu, chỉ cần nghĩ đến mặt đất nằm ngang. Ở đó thành phần dọc theo con dốc phải biến mất, mà giá trị 0 tại 0° là của sin, không phải của côsin. Vậy thành phần dọc theo con dốc là thành phần có sin.

Phản lực pháp tuyến trên dốc

Tuyết tác dụng lên xe trượt bằng phản lực pháp tuyến $\overrightarrow{N}$, mà phản lực này luôn vuông góc với mặt đỡ, ở đây tức là vuông góc với con dốc, hướng ra ngoài. Theo phương vuông góc với con dốc, xe trượt không chuyển động, không lún xuống cũng không bật lên. Vì vậy các lực theo phương này cân bằng nhau, và phản lực pháp tuyến cân bằng với thành phần ${\overrightarrow{F}}_2$:

$$N=P\cdot \cos \alpha$$

Trên dốc, phản lực pháp tuyến nhỏ hơn trọng lực. Với xe trượt của Bảo, nó bằng 85 N, không phải 98,1 N. Đây là chỗ hay sai nhất trong các bài kiểm tra: ai lấy nguyên N = m · g từ sàn nằm ngang sang dốc sẽ tính sai cả lực ma sát.

Con dốc càng đứng thì côsin càng nhỏ, xe trượt ép vào tuyết càng yếu và ma sát càng nhỏ. Với bức tường thẳng đứng, cos 90° = 0 và phản lực pháp tuyến biến mất hoàn toàn.

Xe trượt không có ma sát

Bắt đầu với một con dốc nhẵn tuyệt đối, chẳng hạn xe trượt có lưỡi trượt bằng thép trên băng. Ta bỏ qua lực cản của không khí. Phản lực pháp tuyến triệt tiêu thành phần ${\overrightarrow{F}}_2$, và chỉ còn một lực dọc theo con dốc, F₁. Theo định luật II Newton, nó bằng khối lượng nhân gia tốc:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha$$

Chia cho khối lượng:

$$a=g\cdot \sin \alpha$$

Khối lượng đã giản ước. Xe trượt không người và xe trượt có Bảo ngồi sẽ nhanh dần như nhau trên con dốc nhẵn, giống như vật nhẹ và vật nặng rơi với cùng gia tốc. Xe trượt có khối lượng lớn hơn đúng là bị kéo xuống bằng lực lớn hơn, nhưng cũng khó chuyển động hơn theo đúng mức đó.

Với con dốc nghiêng 30°:

$$a=9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 0,5\approx 4,9{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Đúng bằng một nửa gia tốc rơi tự do. Các trường hợp giới hạn cũng khớp: trên mặt đất nằm ngang sin α = 0 và xe trượt không tự chuyển động, với bức tường thẳng đứng sin 90° = 1 và a = g, tức là rơi tự do.

Xe trượt có ma sát

Nhưng trên tuyết thật, xe trượt bị ma sát hãm lại. Lực ma sát $\overrightarrow{F_{\mathrm{ms}}}$ hướng dọc theo con dốc lên trên, ngược chiều chuyển động, và tỉ lệ với phản lực pháp tuyến. Nhưng trên dốc, trong công thức không dùng toàn bộ trọng lực, mà chỉ phần P · cos α của nó, tức là phản lực pháp tuyến:

$$F_{\mathrm{ms}}={\mu }_t\cdot N={\mu }_t\cdot P\cdot \cos \alpha$$

Với lưỡi trượt trên tuyết đã nén chặt, ta lấy μ_t = 0,1. Lưỡi trượt bằng thép hay nhựa trượt trên tuyết tốt hơn nhiều so với, chẳng hạn, cao su. Lực hãm xe trượt của Bảo là

$$F_{\mathrm{ms}}=0,1\cdot 85\mathrm{N}\approx 8,5\mathrm{N}.$$

Hợp lực dọc theo con dốc là thành phần F₁ trừ đi lực ma sát, khoảng 49,05 N − 8,5 N ≈ 40,6 N, và gia tốc là

$$a=\frac{40,6\mathrm{N}}{10\mathrm{kg}}\approx 4,06{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Tổng quát: định luật II dọc theo con dốc là

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -{\mu }_t\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha ,$$

và chia phương trình cho khối lượng, ta được công thức gia tốc trên dốc có ma sát:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -{\mu }_t\cdot \cos \alpha )$$

Ở đây khối lượng cũng giản ước. Thay 9,81 m/s² · (0,5 − 0,1 · 0,866) vào, ta lại được 4,06 m/s².

Trên con dốc thoải hơn, nghiêng 10°, sin 10° ≈ 0,174 và cos 10° ≈ 0,985, nên

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\mathrm{0,174}-0,1\cdot \mathrm{0,985})\\ & \approx 0,74{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.\end{array}$$

Độ nghiêng nhỏ hơn 3 lần, nhưng gia tốc nhỏ hơn hơn 5 lần. Ở đây ma sát lấy đi phần lớn thành phần dọc theo con dốc. Còn trên con dốc nghiêng 5°, biểu thức trong ngoặc sẽ âm: xe trượt đang chạy sẽ chậm dần cho đến khi dừng hẳn. Vì sao sau đó nó đứng yên, phần tiếp theo sẽ giải thích.

Khi nào vật đứng yên

Bảo cùng em trai kéo xe trượt trở lên và nghỉ một lúc ở đoạn đường thoải hơn. Xe trượt đứng yên ở đó và không trượt xuống. Lực ma sát nghỉ giữ nó lại; lực này luôn lớn vừa đúng để cân bằng lực kéo xe xuống, ở đây là thành phần F₁. Lớn nhất nó có thể đạt μ_n · N, trong đó μ_n là hệ số ma sát nghỉ. Vậy xe trượt đứng yên chừng nào

$$P\cdot \sin \alpha \le {\mu }_n\cdot P\cdot \cos \alpha .$$

Thương của sin và côsin gọi là tang, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Trong tam giác vuông, đó là tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề. Trọng lực giản ước, và sau khi chia cho côsin còn lại

$$\tan \alpha \le {\mu }_n.$$

Khối lượng không quyết định vật trên dốc có trượt xuống hay không, chỉ có độ nghiêng và bề mặt quyết định. Biết tang, ta tìm góc bằng phím tan⁻¹ trên máy tính cầm tay.

Trên con dốc nghiêng 5°, tan 5° ≈ 0,087, nhỏ hơn 0,1, và ma sát nghỉ còn lớn hơn ma sát trượt. Vì vậy xe trượt đã dừng ở đó sẽ không tự chuyển động trở lại. Công thức với gia tốc âm chỉ mô tả chuyển động đi xuống.

Từ đây có một thí nghiệm đơn giản. Đặt một khối gỗ đồ chơi lên tấm ván và từ từ nâng một đầu ván lên. Với gỗ trên gỗ, μ_n ≈ 0,5, vì vậy khối gỗ bắt đầu chuyển động khi tan α đạt 0,5, tức là vào khoảng 27°.

Ô tô đỗ đã kéo phanh tay cũng vậy. Trên đường nhựa khô, ngay cả con phố rất dốc cũng giữ được nó. Nhưng trên mặt đường đóng băng, hệ số ma sát nghỉ chỉ vào khoảng 0,1, và tan α = 0,1 ứng với độ nghiêng chưa đến 6°. Con dốc như vậy có ở hầu hết các thành phố, và ô tô sẽ trượt xuống trên băng, dù nhẹ hay nặng.

Ma sát trượt nhỏ hơn ma sát nghỉ. Vì vậy với độ nghiêng khoảng 20°, khối gỗ tự đứng yên, nhưng chỉ cần gõ nhẹ là nó chuyển động và tiếp tục nhanh dần, vì tan 20° ≈ 0,36 lớn hơn hệ số ma sát trượt μ_t = 0,3.

Một bài kiểm tra giải từng bước

Một thùng táo khối lượng 20 kg nằm trên tấm ván gỗ đặt xiên nối thùng xe với mặt đất. Tấm ván dài 2 m và tạo với mặt đất góc 35°. Hệ số ma sát trượt của gỗ trên gỗ là 0,3, hệ số ma sát nghỉ là 0,5. Thùng có tự chuyển động không? Gia tốc của nó là bao nhiêu và nó chạm đất với tốc độ bao nhiêu?

Tóm tắt đề bài. m = 20 kg, α = 35°, s = 2 m, μ_t = 0,3, μ_n = 0,5, g = 9,81 m/s². Cần tìm a và v. Các đơn vị đều là đơn vị cơ bản, không cần đổi.

Vẽ các lực. Chúng giống như với xe trượt tuyết.

Có chuyển động không? tan 35° ≈ 0,70 lớn hơn μ_n = 0,5. Ma sát nghỉ không giữ được cái thùng.

Phân tích trọng lực. Để hình dung bằng số: P = m · g = 196,2 N, sin 35° ≈ 0,5736 và cos 35° ≈ 0,8192. Thành phần F₁ ≈ 112,5 N kéo thùng dọc theo tấm ván, thành phần F₂ ≈ 160,7 N ép nó vào tấm ván. Nhưng sau đó ta tính bằng chữ và chỉ thay số ở cuối.

Cộng các lực dọc theo tấm ván. Theo phương vuông góc với tấm ván, các lực cân bằng nhau, nên N = m · g · cos α và lực ma sát là F_ms = μ_t · m · g · cos α. Dọc theo tấm ván, F₁ kéo xuống và ma sát kéo lên:

$$m\cdot a=m\cdot g\cdot \sin \alpha -{\mu }_t\cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha$$

Rút ra gia tốc. Sau khi chia cho khối lượng:

$$a=g\cdot (\sin \alpha -{\mu }_t\cdot \cos \alpha )$$

Tốc độ lúc cuối. Thùng xuất phát từ trạng thái đứng yên và nhanh dần đều, nên v² = 2 · a · s và

$$v=\sqrt{2\cdot a\cdot s}.$$

Thay số. Gia tốc để nguyên trong máy tính, không làm tròn:

$$\begin{array}{rl}a& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (\sin 35°-0,3\cdot \cos 35°)\\ & \approx 3,22{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ v& \approx \sqrt{2\cdot \mathrm{3,216}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2\mathrm{m}}\\ & \approx 3,6\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Kiểm tra: gia tốc nhỏ hơn g · sin 35° ≈ 5,6 m/s² khi không có ma sát, đúng như phải thế.

Cái thùng tự chuyển động, nhanh dần với gia tốc khoảng 3,22 m/s² và chạm đất với tốc độ khoảng 3,6 m/s, gần 13 km/h. Vì số táo bên trong, tốt nhất nên có người đỡ thùng ở phía dưới.

Như vậy trên mặt phẳng nghiêng, chỉ cần phân tích trọng lực, sau đó tính như trên mặt đất nằm ngang: theo phương vuông góc với mặt đỡ là cân bằng, dọc theo mặt đỡ là định luật II. Nhưng đến giờ mọi vật đều chuyển động theo đường thẳng.

Cần gì để xe trượt tuyết hay ô tô rẽ được, bài tiếp theo, Lực hướng tâm, sẽ cho thấy.