Bài tập động lực học có lời giải

Cách tốt nhất để hiểu lực là tính toán với chúng. Dưới đây là 13 bài tập, từ tổng hợp lực qua các định luật Newton, động lượng và ma sát đến khúc cua và lực quán tính. Ba bài trong số đó (cầu trượt, phanh trên tuyết và tàu hoả khởi hành) gắn lực với chuyển động: từ lực ta tính gia tốc, từ gia tốc tính tốc độ hoặc quãng đường. Ta giữ cách làm quen thuộc: tóm tắt, vẽ lực, chọn chiều dương, giải tổng quát, thay số kèm đơn vị và trả lời bằng một câu đầy đủ. Hãy tự vẽ hình, chỉ bài đầu tiên có hình minh hoạ. Với mỗi bài, hãy thử tự giải trước.

Bài 1: Hai máy kéo và chiếc máy gặt mắc kẹt

Một chiếc máy gặt đập liên hợp bị sa lầy trong bùn. Hai máy kéo kéo nó ra, mỗi máy kéo bằng một sợi cáp với lực 30 kN. Hai sợi cáp hợp với nhau góc β = 60° và máy gặt nằm đúng trên đường phân giác giữa chúng. Hợp lực lớn bao nhiêu?

Hai lực F⃗_1 (màu đỏ) và F⃗_2 (màu xanh dương) xuất phát từ điểm màu cam biểu diễn máy gặt, mỗi lực lệch khỏi đường phân giác một góc α, và hợp lực F⃗ màu xanh lá dọc theo đường phân giác

Lời giải:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30.000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Chọn trục x dọc theo đường phân giác giữa hai sợi cáp, chiều dương theo hướng kéo. Vì máy gặt nằm trên đường phân giác, mỗi sợi cáp lệch khỏi nó một nửa góc giữa hai sợi cáp, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Ta phân tích cả hai lực thành các thành phần. Các thành phần vuông góc với đường phân giác có độ lớn bằng nhau và ngược hướng, nên triệt tiêu nhau. Dọc theo đường phân giác còn lại hai thành phần bằng nhau F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30.000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51.962 N \end{aligned}$

Hợp lực vào khoảng 52 kN, không phải 60 kN. Một phần lực kéo bị hao phí, vì mỗi máy kéo kéo lệch về một phía. Hai sợi cáp mở càng rộng thì hao phí càng lớn: với góc β = 120° giữa hai sợi cáp, α = 60° và hợp lực là 2 · 30.000 N · cos 60° = 30.000 N, như thể chỉ có một máy kéo.

Bài 2: Xuồng máy

Một chiếc xuồng có khối lượng 300 kg, kể cả người trên xuồng, được nước đẩy về phía trước nhờ chân vịt với lực 900 N. Lực cản của nước là 300 N. Xuồng có gia tốc bao nhiêu?

Lời giải:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Lấy chiều dương là chiều chuyển động của xuồng. Lực cản hướng ngược chiều đó, nên trong hợp lực nó mang dấu trừ. Sau đó chỉ cần cộng các lực rồi chia cho khối lượng:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Đơn vị khớp, niutơn chia ki-lô-gam là mét trên giây bình phương. Xuồng có gia tốc 2 m/s². Lực cản của nước tăng theo tốc độ, và khi nó đạt 900 N thì hợp lực bằng 0 và xuồng sẽ chạy với tốc độ không đổi.

Bài 3: Xe tải và ô tô con

Một xe tải khối lượng 10.000 kg đâm vào một ô tô con khối lượng 1.000 kg. Vật nào tác dụng lên vật kia lực lớn hơn? Chúng có gia tốc bao nhiêu nếu lực va chạm là 50.000 N?

Lời giải: Phần lớn mọi người đoán là xe tải. Nhưng các lực va chạm tạo thành một cặp lực và phản lực, vì vậy chúng có độ lớn bằng nhau và ngược hướng. Xe tải đẩy ô tô với lực 50.000 N và ô tô đẩy xe tải cũng vậy. Khác nhau là ở chỗ lực làm gì với vật.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10.000 kg, m_{2} = 1.000 kg \\ F & = 50.000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe tải:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50.000 N}{10.000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50.000 N}{1.000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Xe tải có gia tốc −5 m/s², tức là chậm dần, còn ô tô nhận gia tốc 50 m/s², lớn gấp khoảng 5 lần gia tốc rơi tự do. Vì thế những người ngồi trong ô tô bị thương nặng hơn, dù các lực bằng nhau.

Bài 4: Chiếc cân trong thang máy đang đi xuống

Quân có khối lượng 80 kg đứng trên cân trong thang máy. Thang máy đi xuống và trước tầng trệt thì hãm với độ giảm tốc 1,5 m/s². Cân chỉ bao nhiêu?

Lời giải: Chiều dương hướng lên. Thang máy đi xuống và chậm dần, nên gia tốc của nó hướng lên: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Trọng lực kéo Quân xuống, phản lực pháp tuyến của cân đỡ Quân lên. Theo định luật II, N − m · g = m · a, vì vậy phản lực pháp tuyến ra giống như ở thang máy bắt đầu đi lên:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Cân lấy lực chia cho gia tốc rơi tự do và chỉ $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . Khi đứng yên, nó sẽ chỉ đúng 80 kg của Quân. Quân cảm thấy mình nặng hơn, dù đang đi xuống. Điều quan trọng là hướng của gia tốc, không phải hướng chuyển động.

Bài 5: Xe tự hành trên Sao Hoả

Xe tự hành Perseverance có khối lượng 1.025 kg. Trên Trái Đất, trọng lực tác dụng lên nó lớn bao nhiêu, và trên Sao Hoả, nơi gia tốc rơi tự do là 3,71 m/s², thì bao nhiêu?

Lời giải:

$\begin{aligned} m & = 1.025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ P & = ? (N) \end{aligned}$

Trọng lực bằng khối lượng nhân gia tốc rơi tự do. Trên Sao Hoả

$P = m \cdot g = 1.025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3.803 N,$

trên Trái Đất, cũng tính như vậy với g = 9,81 m/s²,

$P = 1.025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10.055 N .$

Trên Sao Hoả, trọng lực tác dụng lên xe tự hành khoảng 3,8 kN, hơn một phần ba của 10 kN trên Trái Đất một chút. Nhưng khối lượng của nó ở đâu cũng như nhau, vì vậy với cùng một lực, nó khởi hành chậm chạp như nhau.

Bài 6: Cú giao bóng tennis

Một tay vợt giao quả bóng khối lượng 57 g, quả bóng ở điểm cao nhất khi tung lên gần như đứng yên. Vợt chạm vào bóng trong 5 ms và bóng bay đi với tốc độ 50 m/s. Vợt tác dụng lên bóng một lực trung bình bao nhiêu?

Lời giải:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Chọn chiều dương là chiều bay của quả bóng. Lực bằng độ biến thiên động lượng trong khoảng thời gian lực tác dụng, tức là xung lượng chia cho thời gian va chạm:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Lực này cỡ như một người khối lượng 58 kg đứng trên quả bóng, có điều chỉ trong 5 phần nghìn giây. Vợt ép lên bóng một lực trung bình 570 N. Nếu thời gian tiếp xúc dài gấp đôi thì chỉ cần lực bằng một nửa để đạt cùng tốc độ.

Bài 7: Hai cầu thủ khúc côn cầu ôm nhau

Một cầu thủ khúc côn cầu khối lượng 90 kg trượt với tốc độ 6 m/s và va chạm trực diện với đối thủ khối lượng 80 kg đang trượt ngược lại về phía anh với tốc độ 4 m/s. Sau va chạm, hai người móc vào nhau. Họ chuyển động nhanh thế nào và theo hướng nào?

Lời giải: Chiều dương là chiều chuyển động của cầu thủ thứ nhất, vì vậy vận tốc của đối thủ là âm.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Trên băng, ma sát nhỏ và va chạm ngắn, vì vậy ta coi hai người là một hệ kín. Theo định luật bảo toàn động lượng, động lượng trước va chạm bằng động lượng sau va chạm:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Kết quả dương, vậy cả hai cùng trượt theo chiều của cầu thủ có khối lượng lớn hơn và nhanh hơn, với tốc độ khoảng 1,3 m/s. Ai quên dấu sẽ được 5,1 m/s vô lí.

Bài 8: Chiếc ghế băng trong phòng thể dục

Một chiếc ghế băng bằng gỗ khối lượng 25 kg đặt trên sàn gỗ. Hệ số ma sát nghỉ là 0,5, hệ số ma sát trượt là 0,3. Lực theo phương ngang 100 N có làm nó chuyển động không? Và chiếc ghế có gia tốc bao nhiêu khi ta đẩy nó bằng lực 130 N?

Lời giải:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{n} & = 0, 5, μ_{t} = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

Trên sàn nằm ngang, phản lực pháp tuyến bằng trọng lực, N = m · g. Lực ma sát nghỉ lớn nhất là

$μ_{n} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Lực 100 N nhỏ hơn, chiếc ghế đứng yên và lực ma sát nghỉ đúng bằng 100 N. Lực 130 N làm nó bứt ra, và lúc này chỉ có ma sát trượt hãm nó. Chọn chiều dương là chiều đẩy:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ_{t} \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Chiếc ghế chuyển động với gia tốc khoảng 2,3 m/s². Với 100 niutơn, ta hoàn toàn không làm nó nhúc nhích.

Bài 9: Cầu trượt

Một em bé trượt từ trạng thái đứng yên xuống một cầu trượt dài 4 m, nghiêng 30°. Hệ số ma sát trượt giữa quần và cầu trượt là 0,3. Em bé xuống đến chân cầu trượt với tốc độ bao nhiêu?

Lời giải:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ_{t} = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Chọn chiều dương hướng xuống dọc theo cầu trượt. Thành phần của trọng lực dọc theo con dốc là m · g · sin α, lực ma sát μ_t · m · g · cos α hướng ngược chiều chuyển động. Sau khi giản ước khối lượng, còn lại gia tốc trên dốc có ma sát, a = g · (sin α − μ_t · cos α). Để dễ hình dung, giá trị của nó vào khoảng 2,36 m/s².

Ta chưa biết thời gian, vì vậy tốc độ ở chân cầu trượt tính theo hệ thức không chứa thời gian v² = 2 · a · s. Thay gia tốc dưới dạng tổng quát vào đó:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ_{t} \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Em bé xuống đến nơi với tốc độ khoảng 4,3 m/s, tức là chưa đến 16 km/h. Nếu không có ma sát thì sẽ hơn 6 m/s.

Bài 10: Người đi xe đạp ở khúc cua

Người đi xe đạp được phép qua khúc cua nằm ngang bán kính 12 m trên đường nhựa khô có hệ số ma sát 0,7 với tốc độ lớn nhất bao nhiêu? Và trên đường ướt có hệ số 0,5 thì bao nhiêu?

Lời giải:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ_{t} & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Chỉ có ma sát của lốp, hướng vào tâm khúc cua, giữ người đi xe đạp trên đường tròn. Ma sát này phải đủ để tạo lực hướng tâm, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ_{t} \cdot m \cdot g$ . Khối lượng giản ước:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ_{t} \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Đó là khoảng 33 km/h. Trên đường ướt, cũng tính như vậy, ta được 7,7 m/s, chưa đến 28 km/h. Khối lượng đã giản ước, vì vậy người đi xe đạp nặng hơn không dễ hơn mà cũng không khó hơn. Với tốc độ cao hơn, bánh xe sẽ trượt ra ngoài khúc cua.

Bài 11: Thùng đồ trong xe tải nhỏ đang phanh

Trong một chiếc xe tải nhỏ, trên sàn gỗ có một thùng gỗ đựng dụng cụ khối lượng 30 kg, hệ số ma sát nghỉ là 0,5. Người lái phanh với độ giảm tốc 6 m/s². Hãy xét tình huống từ bên trong xe: chiếc thùng có trượt về phía trước không?

Lời giải: Xe đang phanh, vì vậy nó là một hệ quy chiếu phi quán tính. Trong hệ này, chiếc thùng còn chịu thêm lực quán tính ngược với gia tốc của xe, tức là hướng về phía trước. Chọn chiều dương hướng về phía trước.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{n} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Gia tốc của xe hướng về phía sau, vì vậy là số âm. Lực quán tính và lực ma sát nghỉ lớn nhất:

$\begin{aligned} F_{qt} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{n} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Lực quán tính ra số dương, tức là hướng về phía trước. Ma sát không giữ được chiếc thùng, nó trượt về phía trước. Ma sát chỉ giữ được nó khi độ giảm tốc không quá μ_n · g ≈ 4,9 m/s², khối lượng giản ước. Nhìn từ bên ngoài, tình huống cũng như vậy, chỉ là không có lực quán tính: để chậm lại 6 m/s², chiếc thùng cần lực ma sát 180 N, nhưng ma sát nghỉ chỉ cho nhiều nhất 147 N. Vì vậy chiếc thùng chậm lại ít hơn chiếc xe.

Bài 12: Phanh trên tuyết

Một ô tô chạy trên đường phủ tuyết với tốc độ 45 km/h và người lái phanh đến mức bánh xe bị bó cứng. Hệ số ma sát trượt của lốp trên tuyết là 0,3. Quãng đường phanh dài bao nhiêu và việc phanh mất bao lâu?

Lời giải:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ μ_{t} & = 0, 3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Chiều chuyển động là chiều dương. Chỉ có ma sát làm xe chậm lại, $m \cdot | a | = μ_{t} \cdot m \cdot g$ , nên độ giảm tốc là $| a | = μ_{t} \cdot g$ . Thay nó vào công thức quãng đường phanh:

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ_{t} \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{μ_{t} \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Ô tô dừng lại sau 26,5 m và phanh hơn 4 giây. Trên đường khô với hệ số 0,7, nó chỉ cần 11,4 m. Trong công thức không có khối lượng, vì vậy ngay cả ô tô chở đầy hàng cũng phanh như vậy, ít nhất là trong cách đơn giản hoá này.

Bài 13: Tàu hoả khởi hành

Một đoàn tàu khối lượng 400 t khởi hành từ ga. Đường ray đẩy đoàn tàu về phía trước qua bánh xe của đầu máy với lực 200 kN, các lực cản chuyển động là 40 kN. Sau bao lâu và trên quãng đường bao nhiêu thì tàu đạt tốc độ 90 km/h, nếu các lực không đổi?

Lời giải:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400.000 kg \\ F_{1} & = 200.000 N, F_{2} = 40.000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Chọn chiều dương theo chiều chuyển động. Trước hết là động lực học, định luật về lực:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160.000 N}{400.000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

Sau đó là động học của chuyển động nhanh dần đều từ trạng thái đứng yên và hệ thức không chứa thời gian:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Thử lại: tốc độ trung bình là 12,5 m/s, và trong 62,5 s cho đúng 781 m. Đoàn tàu cần khoảng 1 phút và chưa đến 1 ki-lô-mét. Trên thực tế, lực cản tăng theo tốc độ, vì vậy việc khởi hành kéo dài hơn một chút.

Kết thúc chặng đường

Đến đây phần động học và động lực học kết thúc. Ta đã bắt đầu từ chỗ đại lượng và đơn vị là gì, qua tốc độ và gia tốc đến lực và các định luật Newton, và cuối cùng ghép cả hai lại: lực cho biết gia tốc lớn bao nhiêu, còn gia tốc cho biết vật đi đến đâu và nhanh thế nào. Với cặp đôi này, bạn sẽ giải được phần lớn các bài tập về chuyển động và lực. Công và năng lượng sẽ đến sau.

« Bài trước: Bài tập động học có lời giải

Bài tiếp: Khác »