동역학 예제

힘은 직접 계산해 볼 때 가장 잘 이해된다. 힘의 합성에서 시작해 뉴턴 운동 법칙, 운동량, 마찰력을 거쳐 커브와 관성력까지 이어지는 예제 13개가 기다리고 있다. 그 가운데 셋(미끄럼틀, 눈길에서의 제동, 열차의 출발)은 힘과 운동을 잇는다. 힘에서 가속도를, 가속도에서 속력이나 이동 거리를 구한다. 검증된 순서를 따른다. 조건 적기, 힘의 그림, 양의 방향, 문자로 풀기, 단위와 함께 대입하기, 문장으로 답하기이다. 힘의 그림은 직접 그리자. 그림은 첫 예제에만 있다. 예제마다 먼저 직접 풀어 보자.

예제 1: 진흙에 빠진 콤바인과 트랙터 두 대

콤바인이 진흙에 빠졌다. 트랙터 두 대가 각각 밧줄로 30 kN의 힘으로 콤바인을 끌어낸다. 두 밧줄이 이루는 각은 β = 60°이고, 콤바인은 두 밧줄 사이의 가운데 축 위에 있다. 알짜힘의 크기를 구하시오.

콤바인을 나타내는 주황색 점에서 나가는 두 힘 F⃗_1(빨강)과 F⃗_2(파랑). 각각 축에서 각 α만큼 기울어져 있고, 초록 알짜힘 F⃗는 축을 따라간다

풀이:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30,000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

두 밧줄 사이의 가운데 축을 따라 x축을 잡고, 끄는 방향을 양의 방향으로 한다. 콤바인이 축 위에 있으므로 각 밧줄은 축에서 밧줄 사이의 각의 절반 $α = \frac{β}{2} = 30 °$ 만큼 기울어져 있다. 두 힘을 성분으로 분해한다. 축에 수직인 성분은 크기가 같고 방향이 반대이므로 상쇄된다. 축 방향으로는 같은 성분 F₁ · cos α 두 개가 남는다.

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30,000 N \cdot \cos 30 ° \\ ≒ 51,962 N \end{aligned}$

알짜힘은 60 kN이 아니라 약 52 kN이다. 두 트랙터가 저마다 조금씩 다른 쪽으로 끌므로 끄는 힘의 일부는 헛되이 쓰인다. 밧줄이 벌어질수록 손실이 커진다. 밧줄 사이의 각이 β = 120°이면 α = 60°이고 알짜힘은 2 · 30,000 N · cos 60° = 30,000 N으로, 트랙터 한 대만 끄는 것과 같다.

예제 2: 모터보트

탄 사람까지 합해 질량이 300 kg인 보트를 프로펠러 덕분에 물이 900 N의 힘으로 앞으로 민다. 물의 저항은 300 N이다. 보트의 가속도를 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

나아가는 방향을 양의 방향으로 잡는다. 저항은 그 반대쪽을 향하므로 알짜힘에서 빼기 부호를 가진다. 그다음은 힘을 더하고 질량으로 나누기만 하면 된다.

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

단위도 맞는다. 뉴턴 매 킬로그램은 미터 매 초 제곱이다. 보트의 가속도는 2 m/s²이다. 물의 저항은 속력에 따라 커지고, 900 N에 이르면 알짜힘이 0이 되어 보트는 일정한 속력으로 나아간다.

예제 3: 대형 트럭과 승용차

질량이 10,000 kg인 대형 트럭이 질량이 1,000 kg인 승용차와 부딪힌다. 어느 쪽이 상대에게 더 큰 힘을 작용하는지 답하시오. 충돌의 힘이 50,000 N일 때 두 자동차의 가속도를 구하시오.

풀이: 대부분의 사람은 트럭이라고 답한다. 하지만 충돌의 두 힘은 작용과 반작용의 쌍이므로 크기가 같고 방향이 반대이다. 트럭은 승용차를 50,000 N의 힘으로 밀고, 승용차도 트럭을 같은 힘으로 민다. 차이는 그 힘이 물체에 무엇을 하는가에 있다.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10,000 kg, m_{2} = 1,000 kg \\ F & = 50,000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

트럭이 달리는 방향을 양의 방향으로 잡는다.

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50,000 N}{10,000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50,000 N}{1,000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

트럭의 가속도는 −5 m/s²으로 느려지고, 승용차는 중력 가속도의 약 5배인 50 m/s²의 가속도를 얻는다. 그래서 힘은 같아도 승용차에 탄 사람이 더 크게 다친다.

예제 4: 내려가는 엘리베이터 안의 체중계

질량이 80 kg인 지훈이 엘리베이터 안에서 체중계 위에 서 있다. 엘리베이터는 아래로 내려가다가 1층에 닿기 전에 크기가 1.5 m/s²인 감속으로 브레이크를 건다. 체중계가 가리키는 값을 구하시오.

풀이: 위쪽을 양의 방향으로 잡는다. 엘리베이터는 아래로 움직이면서 느려지므로 가속도는 위쪽을 향하고 a = 1.5 m/s²이다.

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1.5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

중력은 지훈을 아래로 당기고, 체중계의 수직 항력은 지훈을 위로 받친다. 제2법칙에 따라 N − m · g = m · a이므로, 수직 항력은 위로 출발하는 엘리베이터에서와 같이 구한다.

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9.81 {m / s}^{2} + 1.5 {m / s}^{2}) \\ = 904.8 N \end{aligned}$

체중계는 힘을 중력 가속도로 나누어 $\frac{N}{g} = \frac{904.8 N}{9.81 {m / s}^{2}} ≒ 92 kg$ 을 보여 준다. 정지해 있다면 실제 질량인 80 kg을 보여 줄 것이다. 지훈은 아래로 내려가는데도 몸이 무거워졌다고 느낀다. 움직이는 방향이 아니라 가속도의 방향이 중요하다.

예제 5: 화성 탐사 로버

탐사 로버 퍼서비어런스의 질량은 1,025 kg이다. 지구에서, 그리고 중력 가속도가 3.71 m/s²인 화성에서 로버에 작용하는 중력을 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} m & = 1,025 kg \\ g & = 3.71 {m / s}^{2} \\ W & = ? (N) \end{aligned}$

중력은 질량 곱하기 중력 가속도이다. 화성에서는 다음과 같고,

$W = m \cdot g = 1,025 kg \cdot 3.71 {m / s}^{2} ≒ 3,803 N,$

지구에서는 같은 계산에 g = 9.81 m/s²을 넣으면 다음과 같다.

$W = 1,025 kg \cdot 9.81 {m / s}^{2} ≒ 10,055 N .$

화성에서 로버에 작용하는 중력은 약 3.8 kN으로, 지구에서의 10 kN의 3분의 1이 조금 넘는다. 하지만 질량은 어디서나 같으므로, 같은 힘을 받으면 똑같이 굼뜨게 움직이기 시작한다.

예제 6: 테니스 서브

테니스 선수가 질량 57 g인 공으로 서브를 넣는다. 공은 토스의 가장 높은 점에서 거의 정지해 있다. 라켓이 공에 5 ms 동안 닿고, 공은 50 m/s의 속력으로 날아간다. 라켓이 공에 작용하는 평균 힘을 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0.057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0.005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

공이 날아가는 방향을 양의 방향으로 잡는다. 힘은 작용하는 시간 동안의 운동량 변화, 즉 충격량을 충돌 시간으로 나눈 것이다.

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0.057 kg \cdot 50 m / s}{0.005 s} = 570 N \end{aligned}$

질량이 58 kg인 사람이 공 위에 서 있는 것과 비슷한 힘이지만, 겨우 1,000분의 5초 동안이다. 라켓은 평균 570 N의 힘으로 공을 민다. 닿는 시간이 2배라면 같은 속력을 내는 데 절반의 힘으로 충분할 것이다.

예제 7: 엉겨 붙은 아이스하키 선수

질량이 90 kg인 아이스하키 선수가 6 m/s의 속력으로 달리다가, 맞은편에서 4 m/s의 속력으로 달려오는 질량 80 kg인 상대 선수와 정면으로 부딪힌다. 충돌한 뒤 둘은 엉겨 붙는다. 둘이 어느 쪽으로, 얼마나 빠르게 움직이는지 구하시오.

풀이: 첫째 선수가 달리는 방향을 양의 방향으로 잡으므로 상대 선수의 속도는 음수이다.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

얼음 위의 마찰은 작고 충돌은 짧으므로 두 선수를 고립계로 본다. 운동량 보존 법칙에 따라 충돌 전후의 운동량은 같다.

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ ≒ 1.29 m / s \end{aligned}$

결과가 양수이므로 두 선수는 질량도 속력도 더 큰 선수가 달리던 쪽으로 약 1.3 m/s의 속력으로 미끄러진다. 부호를 잊은 사람은 터무니없는 5.1 m/s를 얻는다.

예제 8: 체육관의 벤치

질량이 25 kg인 나무 벤치가 나무 바닥 위에 있다. 정지 마찰 계수는 0.5, 운동 마찰 계수는 0.3이다. 수평 방향의 힘 100 N으로 벤치를 움직일 수 있는지 조사하시오. 또 130 N의 힘으로 밀 때 벤치의 가속도를 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ μ_{s} & = 0.5, μ_{k} = 0.3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

수평인 바닥에서는 수직 항력이 중력과 같아서 N = m · g이다. 최대 정지 마찰력은 다음과 같다.

$μ_{s} \cdot m \cdot g = 0.5 \cdot 25 kg \cdot 9.81 {m / s}^{2} ≒ 123 N .$

힘 100 N은 이보다 작으므로 벤치는 서 있고, 정지 마찰력은 100 N이다. 힘 130 N은 벤치를 움직이게 하고, 그 뒤로는 운동 마찰력만 벤치를 늦춘다. 미는 방향을 양의 방향으로 잡는다.

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - μ_{k} \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0.3 \cdot 25 kg \cdot 9.81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ ≒ 2.26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

벤치는 약 2.3 m/s²의 가속도로 움직이기 시작한다. 100 N으로는 벤치를 전혀 움직이지 못한다.

예제 9: 미끄럼틀

아이가 길이 4 m, 기울기 30°인 미끄럼틀을 정지 상태에서 미끄러져 내려온다. 바지와 미끄럼틀 사이의 운동 마찰 계수는 0.3이다. 아이가 아래에 닿을 때의 속력을 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} α & = 30 °, μ_{k} = 0.3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

미끄럼틀을 따라 아래쪽을 양의 방향으로 잡는다. 중력의 비탈 방향 성분은 m · g · sin α이고, 마찰력 μ_k · m · g · cos α는 운동과 반대쪽을 향한다. 질량을 약분하면 마찰이 있는 비탈에서의 가속도 a = g · (sin α − μ_k · cos α)가 남는다. 감을 잡자면 약 2.36 m/s²이다.

시간을 모르므로 아래에서의 속력은 시간이 없는 관계식 v² = 2 · a · s로 구한다. 여기에 가속도를 문자로 대입한다.

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - μ_{k} \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9.81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0.3 \cdot \cos 30 °)} \\ ≒ 4.34 m / s \end{aligned}$

아이는 약 4.3 m/s, 즉 16 km/h가 조금 안 되는 속력으로 아래에 닿는다. 마찰이 없다면 6 m/s가 넘을 것이다.

예제 10: 커브를 도는 자전거

마찰 계수가 0.7인 마른 아스팔트에서 반지름 12 m인 수평 커브를 자전거가 돌 수 있는 최대 속력을 구하시오. 마찰 계수가 0.5인 젖은 아스팔트에서는 얼마인지 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ μ_{k} & = 0.7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

자전거를 원 위에 붙잡아 두는 것은 커브의 중심을 향하는 타이어의 마찰력뿐이다. 이 힘이 구심력으로 충분해야 하므로 $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq μ_{k} \cdot m \cdot g$ 이다. 질량이 약분된다.

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{μ_{k} \cdot g \cdot r} = \sqrt{0.7 \cdot 9.81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ ≒ 9.1 m / s \end{aligned}$

약 33 km/h이다. 젖은 도로에서는 같은 계산으로 7.7 m/s, 28 km/h가 조금 안 된다. 질량이 약분되었으므로 질량이 큰 사람이라고 더 쉽거나 어렵지 않다. 더 빠르면 바퀴가 커브 바깥으로 미끄러져 나간다.

예제 11: 브레이크를 밟는 승합차 안의 상자

승합차의 나무 바닥 위에 연장이 든 질량 30 kg인 나무 상자가 놓여 있고, 정지 마찰 계수는 0.5이다. 운전자가 크기가 6 m/s²인 감속으로 브레이크를 밟는다. 승합차 안에서 보고, 상자가 앞으로 미끄러지는지 조사하시오.

풀이: 승합차는 브레이크를 밟으므로 비관성 기준계이다. 이 기준계에서는 상자에 승합차의 가속도와 반대쪽, 즉 앞쪽을 향하는 관성력이 더해진다. 앞쪽을 양의 방향으로 잡는다.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, μ_{s} = 0.5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

승합차의 가속도는 뒤쪽을 향하므로 음수이다. 관성력과 최대 정지 마찰력은 다음과 같다.

$\begin{aligned} F_{i} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ μ_{s} \cdot m \cdot g & = 0.5 \cdot 30 kg \cdot 9.81 {m / s}^{2} ≒ 147 N \end{aligned}$

관성력이 양수로 나왔으므로 앞쪽을 향한다. 마찰력은 상자를 붙잡지 못하고, 상자는 앞으로 미끄러진다. 마찰력이 상자를 붙잡을 수 있는 것은 감속이 $μ_{s} \cdot g ≒ 4.9 {m / s}^{2}$ 일 때까지이고, 질량은 약분된다. 밖에서 보아도 관성력이 없을 뿐 상황은 같다. 상자가 6 m/s²으로 감속하려면 180 N의 마찰력이 필요하지만, 정지 마찰력은 기껏해야 147 N이다. 그래서 상자는 승합차보다 덜 느려진다.

예제 12: 눈길에서의 제동

눈 덮인 도로를 45 km/h로 달리던 자동차의 운전자가 바퀴가 잠기도록 브레이크를 밟는다. 눈 위에서 타이어의 운동 마찰 계수는 0.3이다. 제동 거리와 제동에 걸리는 시간을 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12.5 m / s \\ μ_{k} & = 0.3 \\ s_{b} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

달리는 방향을 양의 방향으로 잡는다. 자동차를 느리게 하는 것은 마찰력뿐이므로 $m \cdot | a | = μ_{k} \cdot m \cdot g$ 이고, 감속은 $| a | = μ_{k} \cdot g$ 이다. 이것을 제동 거리의 공식에 대입한다.

$\begin{aligned} s_{b} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot μ_{k} \cdot g} = \frac{(12.5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0.3 \cdot 9.81 {m / s}^{2}} ≒ 26.5 m \\ t & = \frac{v}{μ_{k} \cdot g} = \frac{12.5 m / s}{0.3 \cdot 9.81 {m / s}^{2}} ≒ 4.2 s \end{aligned}$

자동차는 26.5 m를 가서 멈추고, 브레이크를 4초 넘게 밟는다. 마찰 계수가 0.7인 마른 도로라면 11.4 m로 충분했을 것이다. 공식에 질량이 없으므로 짐을 가득 실은 자동차도, 적어도 이렇게 단순화한 경우에는 똑같이 멈춘다.

예제 13: 열차의 출발

질량이 400 t인 열차가 역에서 출발한다. 레일은 기관차의 바퀴를 통해 열차를 200 kN의 힘으로 앞으로 밀고, 운동을 방해하는 저항은 40 kN이다. 힘들이 변하지 않는다면 열차가 90 km/h의 속력에 이르는 데 걸리는 시간과 그동안 가는 거리를 구하시오.

풀이:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400,000 kg \\ F_{1} & = 200,000 N, F_{2} = 40,000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

달리는 방향을 양의 방향으로 잡는다. 먼저 동역학, 즉 가속도 법칙이다.

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160,000 N}{400,000 kg} = 0.4 {m / s}^{2}$

그다음은 정지 상태에서 시작하는 등가속도 직선 운동의 운동학과 시간이 없는 공식이다.

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0.4 {m / s}^{2}} = 62.5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0.4 {m / s}^{2}} ≒ 781 m \end{aligned}$

확인: 평균 속력은 12.5 m/s이고, 62.5 s 동안이면 똑같이 781 m이다. 열차는 약 1분과 1 km가 조금 안 되는 거리가 필요하다. 실제로는 저항이 속력에 따라 커지므로 출발에 조금 더 오래 걸린다.

여행의 끝

이것으로 운동학과 동역학 교재가 끝난다. 물리량과 단위가 무엇인지에서 시작해, 속력과 가속도를 거쳐 힘과 뉴턴 운동 법칙에 이르렀고, 마지막에는 둘을 하나로 이었다. 힘은 가속도가 얼마인지 알려 주고, 가속도는 물체가 어디로, 얼마나 빠르게 가는지 알려 준다. 이 짝만 있으면 운동과 힘에 관한 문제 대부분을 풀 수 있다. 일과 에너지는 나중에 다룬다.

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