Задачи по динамика с решения

Силите най-добре ще разберем, като пресмятаме с тях. Чакат те тринайсет задачи от събиране на сили през законите на Нютон, импулса и триенето до завоя и инерчната сила. Три от тях (пързалка, спиране на сняг и потегляне на влак) свързват силите с движението: от силите изчисляваме ускорението, а от ускорението скорост или път. Придържаме се към изпробвания подход: запис, скица на силите, положителна посока, общо решение, заместване с мерните единици и отговор с цяло изречение. Начертай скицата сам, фигура има само първата задача. Опитай всяка задача първо сам.

Задача 1: Два трактора и заседнал комбайн

Комбайн е заседнал в калта. Изтеглят го два трактора, всеки с въже със сила 30 kN. Въжетата сключват ъгъл β = 60° и комбайнът лежи точно на оста между тях. Колко голяма е равнодействащата?

Две сили F⃗_1 (в червено) и F⃗_2 (в синьо) от оранжевата точка, която представя комбайна, всяка отклонена на ъгъл α от оста, и зелена равнодействаща F⃗ по оста

Решение:

$\begin{aligned} F_{1} = F_{2} & = 30 kN = 30 000 N \\ β & = 60 ° \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Оста x избираме по оста между въжетата, положителна по посока на теглене. Тъй като комбайнът лежи на оста, всяко въже е отклонено от нея на половината от ъгъла между въжетата, $α = \frac{β}{2} = 30 °$ . Двете сили разлагаме на съставящи. Съставящите, перпендикулярни на оста, са еднакви по големина и противоположни, така че се уравновесяват. По оста остават две еднакви съставящи F₁ · cos α:

$\begin{aligned} F & = 2 \cdot F_{1} \cdot \cos α = 2 \cdot 30 000 N \cdot \cos 30 ° \\ \approx 51 962 N \end{aligned}$

Равнодействащата е около 52 kN, а не 60 kN. Част от тягата отива напразно, защото тракторите дърпат всеки малко на друга страна. Колкото повече се разтварят въжетата, толкова по-голяма е загубата: при ъгъл β = 120° между въжетата е α = 60° и равнодействащата 2 · 30 000 N · cos 60° = 30 000 N, като че ли тегли само един трактор.

Задача 2: Моторна лодка

Лодка с маса 300 kg заедно с екипажа се тласка напред от водата благодарение на витлото със сила 900 N. Съпротивлението на водата е 300 N. Какво ускорение има лодката?

Решение:

$\begin{aligned} m & = 300 kg \\ F_{1} & = 900 N, F_{2} = 300 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

За положителна вземаме посоката на плаване. Съпротивлението сочи срещу нея, така че в равнодействащата има минус. После просто събираме силите и делим на масата:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{900 N - 300 N}{300 kg} = 2 {m / s}^{2}$

Мерните единици са верни, нютон на килограм е метър в секунда на квадрат. Лодката има ускорение 2 m/s². Съпротивлението на водата със скоростта расте и когато достигне 900 N, равнодействащата ще е нула и лодката ще се движи с постоянна скорост.

Задача 3: Камион и лека кола

Камион с маса 10 000 kg се блъска в лека кола с маса 1000 kg. Кое тяло действа на другото с по-голяма сила? Какви ускорения имат, ако силата на удара е 50 000 N?

Решение: Повечето хора биха заложили на камиона. Силите на удара обаче образуват двойка действие и противодействие и затова са еднакви по големина и противоположни. Камионът бута колата със сила 50 000 N и колата камиона също. Разликата е в това, какво силата прави с тялото.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 000 kg, m_{2} = 1000 kg \\ F & = 50 000 N \\ a_{1} & = ? ({m / s}^{2}), a_{2} = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

За положителна избираме посоката на движение на камиона:

$\begin{aligned} a_{1} & = \frac{- F}{m_{1}} = \frac{- 50 000 N}{10 000 kg} = - 5 {m / s}^{2} \\ a_{2} & = \frac{F}{m_{2}} = \frac{50 000 N}{1000 kg} = 50 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Камионът има ускорение −5 m/s², тоест забавя, докато колата получава ускорение 50 m/s², около пет пъти по-голямо от земното. Затова пътниците в колата пострадват повече, макар силите да са еднакви.

Задача 4: Кантар в асансьор, който се движи надолу

Радо с маса 80 kg стои в асансьор на кантар. Асансьорът се движи надолу и преди партера спира със забавяне 1,5 m/s². Какво ще покаже кантарът?

Решение: Нагоре ще е положителната посока. Асансьорът се движи надолу и забавя, така че ускорението му сочи нагоре: a = 1,5 m/s².

$\begin{aligned} m & = 80 kg \\ a & = 1, 5 {m / s}^{2} \\ N & = ? (N) \end{aligned}$

Силата на тежестта тегли Радо надолу, а реакцията на опората на кантара го носи нагоре. По втория закон N − m · g = m · a, така че реакцията на опората излиза както при асансьора, който потегля нагоре:

$\begin{aligned} N & = m \cdot (g + a) \\ = 80 kg \cdot (9, 81 {m / s}^{2} + 1, 5 {m / s}^{2}) \\ = 904, 8 N \end{aligned}$

Кантарът дели силата на земното ускорение и показва $\frac{N}{g} = \frac{904, 8 N}{9, 81 {m / s}^{2}} \approx 92 kg$ . В покой би показал истинските му 80 kg. Радо се чувства по-тежък, макар да се движи надолу. Решаваща е посоката на ускорението, не посоката на движение.

Задача 5: Марсоход

Марсоходът Perseverance има маса 1025 kg. Колко голяма сила на тежестта действа върху него на Земята и колко на Марс, където ускорението на свободното падане е 3,71 m/s²?

Решение:

$\begin{aligned} m & = 1025 kg \\ g & = 3, 71 {m / s}^{2} \\ G & = ? (N) \end{aligned}$

Силата на тежестта е маса по ускорението на свободното падане. На Марс

$G = m \cdot g = 1025 kg \cdot 3, 71 {m / s}^{2} \approx 3803 N,$

на Земята със същото изчисление с g = 9,81 m/s²

$G = 1025 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 10 055 N .$

На Марс върху марсохода действа сила на тежестта около 3,8 kN, малко над една трета от земните 10 kN. Масата му обаче е навсякъде една и съща и затова при една и съща сила потегля еднакво неохотно.

Задача 6: Тенис сервис

Тенисист сервира топка с маса 57 g, която в най-високата точка на подхвърлянето е почти в покой. Ракетата я докосва 5 ms и топката излита със скорост 50 m/s. С каква средна сила ракетата действа върху нея?

Решение:

$\begin{aligned} m & = 57 g = 0,057 kg \\ v_{0} & = 0 m / s, v = 50 m / s \\ Δ t & = 5 ms = 0,005 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Положителната посока избираме по посоката на полета на топката. Силата е равна на промяната на импулса за времето, през което действа, тоест импулсът на силата, разделен на времето на удара:

$\begin{aligned} F & = \frac{Δ p}{Δ t} = \frac{m \cdot (v - v_{0})}{Δ t} \\ = \frac{0,057 kg \cdot 50 m / s}{0,005 s} = 570 N \end{aligned}$

Това е приблизително толкова, като че ли на топката стои човек с маса 58 kg, само че за пет хилядни от секундата. Ракетата натиска топката със средна сила 570 N. При два пъти по-дълъг допир за същата скорост би стигнала два пъти по-малка сила.

Задача 7: Хокеисти в клинч

Хокеист с маса 90 kg се движи със скорост 6 m/s и се сблъсква челно със съперник с маса 80 kg, който му идва насреща със скорост 4 m/s. След сблъсъка се вкопчват един в друг. С каква скорост и накъде се движат?

Решение: Положителната посока сочи натам, накъдето се движи първият хокеист, и скоростта на съперника затова е отрицателна.

$\begin{aligned} m_{1} & = 90 kg, v_{1} = 6 m / s \\ m_{2} & = 80 kg, v_{2} = - 4 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

На леда триенето е малко и сблъсъкът кратък, двойката затова вземаме като изолирана система. По закона за запазване на импулса импулсът преди сблъсъка е същият като след него:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2}}{m_{1} + m_{2}} \\ = \frac{90 kg \cdot 6 m / s + 80 kg \cdot (- 4 m / s)}{170 kg} \\ \approx 1, 29 m / s \end{aligned}$

Резултатът е положителен, двойката следователно се плъзва натам, накъдето се е движил хокеистът с по-голяма маса и скорост, и то с около 1,3 m/s. Който забрави знака, ще получи безсмислените 5,1 m/s.

Задача 8: Пейка във физкултурния салон

Дървена пейка с маса 25 kg стои на дървен под. Коефициентът на триене в покой е 0,5, при хлъзгане 0,3. Ще я раздвижи ли хоризонтална сила 100 N? И какво ускорение ще има пейката, когато я бутаме със сила 130 N?

Решение:

$\begin{aligned} m & = 25 kg \\ k_{0} & = 0, 5, k = 0, 3 \\ F_{1} & = 100 N, F_{2} = 130 N \\ a & = ? ({m / s}^{2}) \end{aligned}$

На хоризонтален под реакцията на опората е равна на силата на тежестта, N = m · g. Най-голямото триене в покой е

$k_{0} \cdot m \cdot g = 0, 5 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 123 N .$

Силата 100 N е по-малка, пейката стои и триенето в покой е точно 100 N. Силата 130 N я откъсва и вече я спира само триенето при хлъзгане. Положителната посока избираме по посоката на бутане:

$\begin{aligned} a & = \frac{F_{2} - k \cdot m \cdot g}{m} \\ = \frac{130 N - 0, 3 \cdot 25 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2}}{25 kg} \\ \approx 2, 26 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Пейката тръгва с ускорение около 2,3 m/s². Със сто нютона изобщо няма да я помръднем.

Задача 9: Пързалка

Дете се пързаля от покой по пързалка с дължина 4 m и наклон 30°. Коефициентът на триене при хлъзгане на панталоните в пързалката е 0,3. С каква скорост ще стигне долу?

Решение:

$\begin{aligned} α & = 30 °, k = 0, 3 \\ s & = 4 m, v_{0} = 0 m / s \\ v & = ? (m / s) \end{aligned}$

Положителната посока избираме надолу по пързалката. Съставящата на силата на тежестта по склона е m · g · sin α, триенето k · m · g · cos α сочи срещу движението. След съкращаване на масата остава ускорението на склон с триене, a = g · (sin α − k · cos α). За представа излиза около 2,36 m/s².

Не знаем времето, скоростта долу затова дава зависимостта без време v² = 2 · a · s. Заместваме в нея ускорението в общ вид:

$\begin{aligned} v & = \sqrt{2 \cdot g \cdot s \cdot (\sin α - k \cdot \cos α)} \\ = \sqrt{2 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 4 m \cdot (\sin 30 ° - 0, 3 \cdot \cos 30 °)} \\ \approx 4, 34 m / s \end{aligned}$

Детето стига със скорост около 4,3 m/s, тоест по-малко от 16 km/h. Без триене би била над 6 m/s.

Задача 10: Колоездач в завой

С каква най-голяма скорост може колоездачът да мине през хоризонтален завой с радиус 12 m на сух асфалт с коефициент на триене 0,7? А с каква на мокър с коефициент 0,5?

Решение:

$\begin{aligned} r & = 12 m \\ k & = 0, 7 \\ v_{max} & = ? (m / s) \end{aligned}$

На окръжността колоездачът се държи само от триенето на гумите, което сочи към центъра на завоя. То трябва да стигне за центростремителната сила, $\frac{m \cdot v^{2}}{r} \leq k \cdot m \cdot g$ . Масата се съкращава:

$\begin{aligned} v_{max} & = \sqrt{k \cdot g \cdot r} = \sqrt{0, 7 \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \cdot 12 m} \\ \approx 9, 1 m / s \end{aligned}$

Това е около 33 km/h. На мокро със същото изчисление излиза 7,7 m/s, по-малко от 28 km/h. Масата се съкрати, така че колоездач с по-голяма маса не е нито в по-добро, нито в по-лошо положение. При по-висока скорост колелата излизат навън от завоя.

Задача 11: Щайга в спиращ бус

В бус на дървен под лежи дървена щайга с инструменти с маса 30 kg, коефициентът на триене в покой е 0,5. Шофьорът спира със забавяне 6 m/s². Прецени ситуацията отвътре на буса: ще се плъзне ли щайгата напред?

Решение: Бусът спира, така че е неинерциална система. В нея върху щайгата допълнително действа инерчна сила, противоположна на ускорението на буса, тоест напред. Положителната посока избираме напред.

$\begin{aligned} m & = 30 kg, k_{0} = 0, 5 \\ a & = - 6 {m / s}^{2} \end{aligned}$

Ускорението на буса сочи назад и затова е отрицателно. Инерчната сила и най-голямото триене в покой:

$\begin{aligned} F_{и н} & = - m \cdot a = - 30 kg \cdot (- 6 {m / s}^{2}) = 180 N \\ k_{0} \cdot m \cdot g & = 0, 5 \cdot 30 kg \cdot 9, 81 {m / s}^{2} \approx 147 N \end{aligned}$

Инерчната сила излезе положителна, следователно сочи напред. Триенето няма да удържи щайгата, тя ще се плъзне напред. Би я удържало само до забавяне k₀ · g ≈ 4,9 m/s², масата се съкращава. Отвън ситуацията изглежда същата, само без инерчната сила: за забавяне 6 m/s² щайгата би имала нужда от триене 180 N, триенето в покой обаче дава най-много 147 N. Щайгата затова забавя по-малко от буса.

Задача 12: Спиране на сняг

По заснежен път кола се движи със скорост 45 km/h и шофьорът спира така, че колелата се блокират. Коефициентът на триене при хлъзгане на гумите върху сняг е 0,3. Колко дълъг е спирачният път и колко трае спирането?

Решение:

$\begin{aligned} v & = 45 km / h = 12, 5 m / s \\ k & = 0, 3 \\ s_{с п} & = ? (m), t = ? (s) \end{aligned}$

Посоката на движение ще е положителна. Забавя само триенето, $m \cdot | a | = k \cdot m \cdot g$ , така че забавянето е $| a | = k \cdot g$ . Заместваме го във формулата за спирачния път:

$\begin{aligned} s_{с п} & = \frac{v^{2}}{2 \cdot k \cdot g} = \frac{(12, 5 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 26, 5 m \\ t & = \frac{v}{k \cdot g} = \frac{12, 5 m / s}{0, 3 \cdot 9, 81 {m / s}^{2}} \approx 4, 2 s \end{aligned}$

Колата спира след 26,5 m и спирането трае над четири секунди. На сухо с коефициент 0,7 би ѝ стигнали 11,4 m. Масата във формулата липсва, така че и напълно натоварена кола спира еднакво, поне при това опростяване.

Задача 13: Потегляне на влак

Влак с маса 400 t потегля от гарата. Релсите тласкат през колелата на локомотива влака напред със сила 200 kN, съпротивленията срещу движението са 40 kN. За колко време и на какъв път ще достигне скорост 90 km/h, ако силите не се променят?

Решение:

$\begin{aligned} m & = 400 t = 400 000 kg \\ F_{1} & = 200 000 N, F_{2} = 40 000 N \\ v & = 90 km / h = 25 m / s \\ t & = ? (s), s = ? (m) \end{aligned}$

Положителната посока избираме по посоката на движение. Първо динамиката, законът на силата:

$a = \frac{F_{1} - F_{2}}{m} = \frac{160 000 N}{400 000 kg} = 0, 4 {m / s}^{2}$

После кинематиката на равноускорително движение от покой и зависимостта без време:

$\begin{aligned} t & = \frac{v}{a} = \frac{25 m / s}{0, 4 {m / s}^{2}} = 62, 5 s \\ s & = \frac{v^{2}}{2 \cdot a} = \frac{(25 m / s)^{2}}{2 \cdot 0, 4 {m / s}^{2}} \approx 781 m \end{aligned}$

Проверка: средната скорост е 12,5 m/s и за 62,5 s това дава същите 781 m. Влакът има нужда от около минута и по-малко от километър. В действителност съпротивлението със скоростта нараства и затова потеглянето трае малко по-дълго.

Краят на пътя

С това учебникът по кинематика и динамика свършва. Започнахме от това какво изобщо са величина и мерна единица, през скоростта и ускорението стигнахме до силите и законите на Нютон и накрая съединихме и двете: силата казва колко голямо е ускорението, а ускорението – накъде и колко бързо ще стигне тялото. С тази двойка ще се справиш с повечето задачи за движение и сили. Работата и енергията ще дойдат по-късно.

« Предишна: Задачи по кинематика с решения

Следваща: Други »