구심력

준서가 줄에 매단 돌을 머리 위에서 빙빙 돌린다. 돌은 원을 그리고, 줄은 팽팽해지며, 준서는 돌이 손을 잡아당기는 것을 느낀다. 그런데 줄을 놓자마자 돌은 날아가 버린다. 방향을 트는 것은 공짜가 아니다. 물체가 원을 따라 돌게 하려면 중심을 향하는 힘으로 물체를 그렇게 하도록 만들어야 한다. 이 힘을 구심력이라고 한다.

공식만 찾고 있다면, 반지름이 r인 원을 속력 v로 도는 질량 m인 물체에는 다음 구심력이 작용해야 한다.

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

여기서 ω는 각속도이다.

속도의 방향을 트는 힘

등속 원운동에서는 속도의 크기는 그대로이지만 속도 화살표가 쉬지 않고 돌아간다. 그래서 물체에는 원의 중심을 향하는 구심 가속도가 있고, 그 크기는 다음과 같다.

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

뉴턴 운동 제2법칙에 따르면 모든 가속도는 알짜힘 F = m · a에서 생기고, 알짜힘은 가속도와 같은 쪽을 향한다. 그러니 원을 따라 도는 물체에는 중심을 향하는 알짜힘이 작용해야 한다. 가속도 자리에 구심 가속도를 넣는다.

$$F_c=m\cdot a_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

가속도의 두 번째 꼴을 대입하면 F_c = m · ω² · r이 나온다. 새로운 것을 만들어 낸 것이 아니라, 보통의 가속도 법칙을 방향을 트는 운동에 적용했을 뿐이다. 단위도 맞는다.

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

공식에 따르면 물체의 질량이 클수록, 빠르게 움직일수록, 커브가 급할수록 방향을 틀기 어렵다. 이때 속력은 제곱되므로 속력이 2배이면 4배의 힘이 필요하다.

구심력은 새로운 힘이 아니다

여기서 많이 틀린다. 구심력은 중력, 마찰력, 줄의 힘과 나란히 있는 또 다른 종류의 힘이 아니다. 구심력은 그 상황에서 아주 평범한 실제 힘 하나, 또는 여러 힘의 알짜힘이 맡는 역할이다.

• 원을 따라 도는 돌은 팽팽한 줄의 힘이 붙잡는다,
• 커브를 도는 자동차는 타이어와 도로 사이의 마찰력이 방향을 틀게 한다,
• 달은 지구가 끌어당기는 중력 덕분에 지구 둘레를 돈다.

물체에 작용하는 힘을 그릴 때는 실제 힘만 그린다. 줄의 힘 옆에 “구심력”이라고 적은 화살표를 하나 더 그리면 틀린다. 그림에 줄의 힘이 두 번 들어가기 때문이다. 공식 $F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}$은 힘이 어디에서 오는지 말해 주지 않는다. 물체가 실제로 원을 따라 돌려면 중심을 향하는 알짜힘이 얼마나 커야 하는지만 알려 준다. 힘 하나로 충분할 때도 있고, 경사진 커브에서처럼 여러 힘이 함께 그 몫을 맡을 때도 있다.

줄에 매단 돌

준서의 돌은 질량이 0.2 kg이고, 줄의 길이는 1 m이며, 1초에 원을 두 바퀴 돌므로 주기는 0.5 s이다. 줄은 돌을 얼마나 세게 당겨야 할까?

각속도는 한 주기 동안의 한 바퀴, 즉 2π라디안이다.

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0.5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\fallingdotseq 12.6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

공식의 두 번째 꼴에 대입한다. 라디안은 그냥 수이므로 결과는 뉴턴으로 나온다.

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0.2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3.2{\pi }^2\mathrm{N}\fallingdotseq 31.6\mathrm{N}\end{array}$$

줄은 약 32 N의 힘으로 돌을 당기는데, 3 kg짜리 가방이 매달린 것과 같다. 준서가 돌을 2배 빠르게 돌리면 줄은 4배, 약 126 N을 견뎌야 한다. 돌에 작용하는 중력은 약 2 N뿐이므로 무시했다. 뉴턴 운동 제3법칙에 따라 돌도 같은 크기의 힘으로 줄을 되당기고, 줄은 그 힘을 준서의 손까지 전한다. 준서가 느끼는 것은 이 당기는 힘이다.

줄이 끊어지면

줄이 끊어지는 순간 무슨 일이 일어날까? 답은 애니메이션에 있다. 줄이 버티는 동안에는 초록 힘이 돌을 중심 쪽으로 당기고 빨간 속도 화살표가 돌아간다. 줄이 끊어지는 순간 힘이 사라진다. 이제 수평 방향으로는 돌에 아무것도 작용하지 않으므로, 관성 법칙에 따라 돌은 같은 빠르기로, 끊어진 순간의 속도가 가리키던 쪽으로 곧게 날아간다. 이것이 원의 접선 방향이다.

그러니 돌은 그렇게 보일 수도 있지만 중심에서 뻗어 나가는 직선을 따라 “바깥쪽으로” 날아가지 않는다. 무엇도 돌을 바깥으로 당기지 않는다. 돌은 그저 방향 틀기를 멈췄을 뿐이다. 무릿매는 이것을 이용한다. 돌의 속도가 목표를 향하는 순간에 돌을 놓는 것이다. 준서의 돌은 $\omega \cdot r\fallingdotseq 12.6\mathrm{m}/\mathrm{s}$, 즉 약 45 km/h의 속력으로 날아가므로 이웃집 창문이 위험하다.

커브를 도는 자동차

질량이 1,200 kg인 자동차가 54 km/h의 속력으로 반지름이 50 m인 커브를 돈다. 속력을 바꾸면 54 km/h = 15 m/s이고, 이것을 대입한다.

$$F_c=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{\mathrm{1,200}\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\mathrm{5,400}\mathrm{N}$$

이 5,400 N은 어디에서 올까? 도로에는 줄이 없다. 자동차가 방향을 틀게 하는 것은 커브의 중심을 향하는 타이어와 아스팔트 사이의 마찰력뿐이다.

이때 타이어는 도로 위에서 옆으로 미끄러지지 않는다. 아스팔트에 닿는 곳은 그 순간 도로에 대하여 움직이지 않으므로 이 마찰력은 정지 마찰력이다. 정지 마찰력은 필요한 만큼, 여기서는 5,400 N만큼 크지만, 최댓값까지만이다.

아무 도로에서나 충분할까? 마찰력의 운동 마찰 계수로 계산해 보자. 타이어의 정지 마찰 계수는 이보다 조금 큰 편이므로 결과는 조심스러운 어림이다. 고무의 마찰 계수는 마른 아스팔트에서 약 0.7, 젖은 아스팔트에서 0.5, 눈길에서 0.3, 빙판에서 0.1이다. 자동차에 작용하는 중력은 1,200 kg · 9.81 m/s² = 11,772 N이고, 수평인 도로에서는 수직 항력도 같은 크기이다. 마찰력이 5,400 N을 내야 하므로 마찰 계수는 적어도 $\frac{\mathrm{5,400}\mathrm{N}}{\mathrm{11,772}\mathrm{N}}\fallingdotseq 0.46$이어야 한다. 마른 아스팔트는 여유 있게 해내고, 젖은 아스팔트에서는 겨우 된다. 눈길에서는 마찰력이 기껏해야 $0.3\cdot \mathrm{11,772}\mathrm{N}\fallingdotseq \mathrm{3,500}\mathrm{N}$이므로 자동차는 커브를 돌지 못할 것이다.

커브를 얼마나 빠르게 돌 수 있을까

수평인 도로에서는 수직 항력이 중력과 균형을 이루어 N = m · g이고, 최대 마찰력은 μ_k · m · g이다. 자동차는 마찰력이 충분한 동안 커브를 돌 수 있다.

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le {\mu }_k\cdot m\cdot g$$

최대 속력은 등호가 성립할 때이다. 질량이 약분되고, 양변에 반지름을 곱한 뒤 제곱근을 구한다.

$$v_{max}=\sqrt{{\mu }_k\cdot g\cdot r}$$

마른 아스팔트에서는 μ_k = 0.7이다.

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0.7\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \fallingdotseq 18.5\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

그러니 마른 도로에서 자동차는 이 커브를 기껏해야 약 67 km/h로 돌 수 있고, 앞에서의 54 km/h는 여유 있게 해낸다. 빙판에서는 μ_k = 0.1이다.

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0.1\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \fallingdotseq 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\fallingdotseq 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

빙판에서는 같은 커브에 자전거보다 조금 빠른 속력으로만 들어갈 수 있다. 질량이 약분되었으므로 타이어가 같다면 작은 자동차든 짐을 실은 트럭이든 마찬가지이다. 질량이 큰 자동차는 더 큰 힘이 필요하지만, 도로를 더 세게 누르므로 마찰력도 크다.

자동차가 더 빠르게 커브에 들어가면 어떻게 될까? 마찰력은 최댓값에 이르고 더 이상 커지지 않는다. 중심을 향하는 힘이 반지름 50 m인 원에 필요한 것보다 작으므로 자동차는 덜 방향을 튼다. 더 완만한 호를 따라, 극단적인 경우에는 거의 곧게 접선을 따라 나아가고, 커브는 바퀴 밑에서 빠져나간다. 길가에서 보는 사람에게는 자동차가 “바깥으로 튕겨 나간” 것처럼 보인다. 사실은 무엇도 자동차를 바깥으로 밀지 않았다. 마찰력이 자동차의 방향을 충분히 틀지 못했을 뿐이다.

공식은 거꾸로도 쓸 수 있다. 고속도로 커브를 130 km/h, 즉 약 36.1 m/s로 돌려면 커브의 반지름이 얼마나 커야 할까? 식 v² = μ_k · g · r을 곱 μ_k · g로 나눈다.

$$r=\frac{v^2}{{\mu }_k\cdot g}=\frac{(36.1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0.7\cdot 9.81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\fallingdotseq 190\mathrm{m}$$

젖은 도로에서 마찰 계수가 0.5이면 약 266 m가 필요하고, 이것도 여유가 전혀 없는 값이다. 그래서 고속도로 커브는 반지름이 수백 m인 경우가 많고, 게다가 경사지게 만든다.

경사진 커브

고속도로 진입로, 벨로드롬, 봅슬레이 트랙에서는 커브가 기울어져 있다. 바깥쪽 가장자리가 안쪽보다 높다. 수직 항력은 도로에 수직이므로 더 이상 연직 위쪽이 아니라 커브의 중심 쪽으로 비스듬히 향한다.

그러면 중력과 수직 항력은 상쇄되지 않고, 평평한 도로에서 마찰력이 하던 일의 일부를 수직 항력이 맡는다. 알맞은 속력에서는 두 힘의 알짜힘이 수평으로 중심을 향해 구심력 전체를 맡으므로, 자동차는 마찰 없이도, 예를 들어 빙판에서도 커브를 돌 수 있다. 그림에서는 평행사변형으로 두 힘의 합을 그릴 수 있도록 두 힘을 한 점에서 그렸다. 커브가 가파르게 기울어질수록 더 빠르게 돌 수 있다. 그래서 벨로드롬의 사이클 선수들은 지붕처럼 기울어진 커브를 달린다.

달을 붙잡아 두는 것

달은 지구에서 약 3.84 · 10⁸ m 떨어진 곳에서 지구 둘레를 돌고, 한 바퀴에 27.3일, 즉 약 2.36 · 10⁶ s가 걸린다. 달의 속력은 다음과 같다.

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3.84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2.36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\fallingdotseq \mathrm{1,020}\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

달의 질량은 약 7.35 · 10²² kg이다. 지구가 달을 붙잡아 두어야 하는 구심력은 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{F}_c& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7.35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{1,020}\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3.84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \fallingdotseq 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

어떤 밧줄도 이런 힘을 견디지 못할 것이다. 하지만 달에는 밧줄이 필요 없고, 그 역할을 중력이 맡는다. 지구가 달을 끌어당기기를 멈추면 달은 준서의 돌처럼 접선을 따라 날아가 버릴 것이다.

커브의 최대 속력 계산기

커브의 반지름을 입력하고 노면을 고르면 계산기가 수평인 도로에서의 최대 속력 $v_{max}=\sqrt{{\mu }_k\cdot g\cdot r}$을 구한다.

지금까지는 모든 것을 도로에서 보았고, 거기서 보면 자동차도 돌도 중심을 향하는 힘 때문에 방향을 틀 뿐이다. 그런데 자동차 안의 승객은 다르게 겪는다. 승객은 문에 몸이 눌리고, 승객이 보기에는 무엇인가가 자신을 문 쪽으로 미는 것 같다. 자동차와 함께 움직이는 사람의 눈으로 운동을 어떻게 나타낼 수 있는지는 관성력이 보여 준다.

자동차 안의 승객이 커브를 어떻게 겪는지, 그리고 왜 무엇인가가 자신을 바깥으로 미는 것처럼 느끼는지는 다음 글 관성력과 원심력에서 설명한다.