Lực hướng tâm

Khoa quay tít một hòn đá buộc dây trên đầu. Hòn đá chạy vòng tròn, sợi dây căng ra và Khoa cảm thấy trong tay hòn đá đang kéo dây. Nhưng ngay khi Khoa buông dây, hòn đá bay mất. Rẽ không phải tự nhiên mà có: ai muốn vật chuyển động trên đường tròn thì phải buộc nó làm vậy bằng một lực hướng vào tâm. Lực đó gọi là lực hướng tâm.

Nếu bạn chỉ cần công thức: vật khối lượng m chuyển động với tốc độ v trên đường tròn bán kính r phải chịu lực hướng tâm

$$F_{\mathrm{ht}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=m\cdot {\omega }^2\cdot r,$$

trong đó ω là tốc độ góc.

Lực làm vận tốc đổi hướng

Trong chuyển động tròn đều, độ lớn vận tốc không đổi, nhưng mũi tên vận tốc liên tục quay. Vì vậy vật có gia tốc hướng tâm, hướng vào tâm đường tròn và có độ lớn

$$a_{\mathrm{ht}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r.$$

Theo định luật II Newton, mọi gia tốc đều do hợp lực gây ra, F = m · a, và hợp lực hướng theo hướng của gia tốc. Vậy vật chuyển động trên đường tròn phải chịu một hợp lực hướng vào tâm. Thay gia tốc bằng gia tốc hướng tâm:

$$F_{\mathrm{ht}}=m\cdot a_{\mathrm{ht}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$$

Nếu thay dạng thứ hai của gia tốc, ta được F_ht = m · ω² · r. Ta không nghĩ ra điều gì mới, đây chỉ là định luật II quen thuộc áp dụng cho việc rẽ. Đơn vị khớp:

$$\frac{\mathrm{kg}\cdot (\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2=\mathrm{N}$$

Theo công thức, vật có khối lượng càng lớn, chạy càng nhanh và khúc cua càng gấp thì rẽ càng khó. Trong đó tốc độ được bình phương, vì vậy với tốc độ gấp đôi thì cần lực lớn gấp 4.

Lực hướng tâm không phải là một lực mới

Ở đây người ta hay sai. Lực hướng tâm không phải là một loại lực khác đứng bên cạnh trọng lực, lực ma sát hay lực căng dây. Nó là một vai trò mà trong tình huống cụ thể, một lực thật hoàn toàn bình thường, hoặc hợp lực của nhiều lực, đảm nhận:

• lực căng của sợi dây giữ hòn đá trên đường tròn,
• ma sát giữa lốp và mặt đường làm ô tô rẽ ở khúc cua,
• Mặt Trăng quay quanh Trái Đất nhờ lực hấp dẫn mà Trái Đất hút nó.

Khi vẽ các lực tác dụng lên vật, chỉ vẽ những lực thật. Một mũi tên ghi “lực hướng tâm” vẽ thêm bên cạnh sợi dây là sai, vì như vậy lực căng dây bị vẽ hai lần trên hình. Công thức $F_{\mathrm{ht}}=\frac{m\cdot v^2}{r}$ không cho biết lực đó lấy từ đâu. Nó chỉ cho biết hợp lực hướng vào tâm phải lớn bao nhiêu để vật thực sự chuyển động trên đường tròn. Đôi khi chỉ cần một lực, đôi khi nhiều lực cùng góp phần, như ta sẽ thấy ở khúc cua nghiêng.

Hòn đá buộc dây

Hòn đá của Khoa có khối lượng 0,2 kg, sợi dây dài 1 m và mỗi giây hòn đá quay được 2 vòng, vậy chu kì là 0,5 s. Sợi dây phải kéo hòn đá mạnh thế nào?

Tốc độ góc là 1 vòng, tức 2π radian, trong một chu kì:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{0,5\mathrm{s}}=4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 12,6\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Thay vào dạng thứ hai của công thức. Radian chỉ là một con số, vì vậy kết quả ra niutơn:

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{ht}}& =m\cdot {\omega }^2\cdot r=0,2\mathrm{kg}\cdot (4\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 1\mathrm{m}\\ & =3,2{\pi }^2\mathrm{N}\approx 31,6\mathrm{N}\end{array}$$

Sợi dây kéo hòn đá với lực khoảng 32 N, như thể có một túi đồ 3 ki-lô-gam treo trên đó. Nếu Khoa quay hòn đá nhanh gấp đôi, sợi dây phải chịu được lực gấp 4, khoảng 126 N. Trọng lực của hòn đá chỉ khoảng 2 N, vì vậy ta đã bỏ qua nó. Theo định luật III Newton, hòn đá kéo ngược lại sợi dây với lực cùng độ lớn, và sợi dây truyền lực đó đến tận tay Khoa. Chính lực kéo đó là điều Khoa cảm nhận được.

Khi sợi dây đứt

Điều gì xảy ra khi sợi dây bị đứt? Hình động cho câu trả lời. Chừng nào sợi dây còn giữ, nó kéo hòn đá vào tâm bằng lực màu xanh lá, và mũi tên vận tốc màu đỏ quay đi. Vào lúc sợi dây đứt, lực biến mất. Theo phương ngang không còn gì tác dụng lên hòn đá, nên theo định luật quán tính nó bay thẳng, nhanh như cũ và theo hướng mà vận tốc của nó chỉ vào lúc dây đứt. Đó là hướng theo tiếp tuyến của đường tròn.

Như vậy hòn đá không bay “ra ngoài” theo đường thẳng xuất phát từ tâm như ta tưởng. Không có gì kéo nó ra ngoài, nó chỉ đơn giản là thôi rẽ. Cái ná dây dựa vào điều đó: hòn đá được thả ra đúng lúc vận tốc của nó hướng vào mục tiêu. Hòn đá của Khoa bay ra với tốc độ ω · r ≈ 12,6 m/s, tức là khoảng 45 km/h, nên cửa sổ nhà hàng xóm gặp nguy.

Ô tô ở khúc cua

Một ô tô khối lượng 1.200 kg chạy với tốc độ 54 km/h qua khúc cua bán kính 50 m. Đổi tốc độ, 54 km/h = 15 m/s, rồi thay số:

$$F_{\mathrm{ht}}=\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{1.200\mathrm{kg}\cdot (15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=5.400\mathrm{N}$$

5.400 N này từ đâu mà có? Trên đường không có sợi dây nào. Chỉ có ma sát giữa lốp và mặt đường nhựa, hướng vào tâm khúc cua, buộc ô tô phải rẽ.

Trong khi đó lốp xe không trượt ngang trên mặt đường. Chỗ lốp tiếp xúc với mặt đường vào lúc đó không chuyển động so với mặt đường, vì vậy đây là ma sát nghỉ. Nó lớn vừa đúng như cần thiết, ở đây là 5.400 N, nhưng chỉ đến giá trị cực đại của nó.

Mặt đường nào cũng đủ cho việc này chứ? Ta sẽ tính với các hệ số ma sát trượt. Ma sát nghỉ của lốp thường lớn hơn một chút, nên kết quả là một ước lượng thận trọng. Với cao su trên đường nhựa khô, hệ số khoảng 0,7, trên đường ướt 0,5, trên tuyết 0,3 và trên băng 0,1. Trọng lực của ô tô là 1.200 kg · 9,81 m/s² = 11.772 N, và trên đường nằm ngang phản lực pháp tuyến cũng có độ lớn như vậy. Ma sát phải cung cấp 5.400 N, vì vậy hệ số ma sát phải ít nhất bằng $\frac{5.400\mathrm{N}}{11.772\mathrm{N}}\approx 0,46$. Đường nhựa khô làm được điều này dễ dàng, trên đường ướt thì vừa sít sao. Trên tuyết, ma sát cho nhiều nhất 0,3 · 11.772 N ≈ 3.500 N, và ô tô sẽ không qua nổi khúc cua.

Có thể qua khúc cua nhanh đến mức nào

Trên đường nằm ngang, phản lực pháp tuyến cân bằng trọng lực, N = m · g, và lực ma sát lớn nhất là μ_t · m · g. Ô tô qua được khúc cua chừng nào ma sát còn đủ:

$$\frac{m\cdot v^2}{r}\le {\mu }_t\cdot m\cdot g$$

Tốc độ lớn nhất là tốc độ mà tại đó xảy ra dấu bằng. Khối lượng giản ước, nhân cả hai vế với bán kính rồi khai căn:

$$v_{max}=\sqrt{{\mu }_t\cdot g\cdot r}$$

Trên đường nhựa khô, μ_t = 0,7:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 18,5\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 67\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Vậy trên đường khô, ô tô qua khúc cua với tốc độ nhiều nhất khoảng 67 km/h, và 54 km/h của ta vẫn còn dư. Trên băng, μ_t = 0,1:

$$\begin{array}{rl}{v}_{max}& =\sqrt{0,1\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 50\mathrm{m}}\\ & \approx 7\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 25\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Vào cùng khúc cua ấy trên mặt đường đóng băng, chỉ có thể đi nhanh hơn người đi xe đạp một chút. Vì khối lượng đã giản ước, điều này đúng như nhau với ô tô nhỏ và với xe tải chở đầy hàng có cùng loại lốp. Ô tô có khối lượng lớn hơn đúng là cần lực lớn hơn, nhưng nó cũng ép mặt đường mạnh hơn, nên ma sát cũng lớn hơn.

Nếu ô tô vào khúc cua nhanh hơn thì sao? Ma sát đạt giá trị cực đại và không cho thêm được nữa. Lực hướng vào tâm nhỏ hơn mức mà đường tròn bán kính 50 m cần, vì vậy ô tô rẽ ít hơn. Nó đi theo một cung thoải hơn, trong trường hợp cực đoan gần như thẳng theo tiếp tuyến, và khúc cua “lẩn” mất khỏi bánh xe. Người quan sát bên đường thấy như ô tô “bị văng ra ngoài”. Thực ra chẳng có gì đẩy nó ra ngoài, chỉ là ma sát không đủ làm nó rẽ.

Công thức cũng dùng được theo chiều ngược lại. Đường cao tốc cần khúc cua rộng bao nhiêu để có thể qua với tốc độ 130 km/h, tức là khoảng 36,1 m/s? Chia phương trình v² = μ_t · g · r cho tích μ_t · g:

$$r=\frac{v^2}{{\mu }_t\cdot g}=\frac{(36,1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{0,7\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 190\mathrm{m}$$

Trên đường ướt, với hệ số 0,5, đã cần khoảng 266 m, mà như vậy vẫn chưa có chút dự phòng nào. Vì thế khúc cua trên đường cao tốc thường có bán kính hàng trăm mét và còn được làm nghiêng.

Khúc cua nghiêng

Ở đường dẫn lên cao tốc, ở trường đua xe đạp lòng chảo hay ở đường trượt xe trượt lòng máng, khúc cua được làm nghiêng: mép ngoài cao hơn mép trong. Phản lực pháp tuyến vuông góc với mặt đường, nên nó không còn hướng thẳng đứng lên trên nữa, mà xiên vào tâm khúc cua.

Khi đó trọng lực và phản lực pháp tuyến không triệt tiêu nhau, và phản lực pháp tuyến đảm nhận một phần công việc mà trên đường bằng do ma sát làm. Với tốc độ thích hợp, hợp lực của chúng hướng đúng theo phương ngang vào tâm và tạo ra toàn bộ lực hướng tâm, vì vậy ô tô có thể qua khúc cua ngay cả khi không có ma sát, chẳng hạn trên băng. Trên hình, hai lực được vẽ từ một điểm chung để dựng tổng của chúng bằng hình bình hành. Khúc cua nghiêng càng dốc thì càng có thể qua nhanh. Vì vậy các tay đua xe đạp ở trường đua lòng chảo chạy ở những khúc cua dốc như mái nhà.

Cái gì giữ Mặt Trăng

Mặt Trăng quay quanh Trái Đất ở khoảng cách khoảng 3,84 · 10⁸ m và mỗi vòng mất 27,3 ngày, tức là khoảng 2,36 · 10⁶ s. Tốc độ của nó là

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}{2,36\cdot {10}^6\mathrm{s}}\approx 1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Mặt Trăng có khối lượng khoảng 7,35 · 10²² kg. Lực hướng tâm Trái Đất phải tác dụng để giữ nó là

$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{ht}}& =\frac{m\cdot v^2}{r}=\frac{7,35\cdot {10}^{22}\mathrm{kg}\cdot (1.020\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{3,84\cdot {10}^8\mathrm{m}}\\ & \approx 2\cdot {10}^{20}\mathrm{N}\end{array}$$

Không sợi cáp nào chịu được lực như vậy. Nhưng Mặt Trăng không cần cáp, vai trò đó do lực hấp dẫn đảm nhận. Nếu Trái Đất thôi hút Mặt Trăng, nó sẽ bay đi theo tiếp tuyến, giống như hòn đá của Khoa.

Máy tính tốc độ lớn nhất ở khúc cua

Nhập bán kính khúc cua và chọn loại mặt đường. Máy tính sẽ cho tốc độ lớn nhất $v_{max}=\sqrt{{\mu }_t\cdot g\cdot r}$ trên đường nằm ngang.

Đến giờ ta mô tả mọi thứ từ mặt đường, nơi thấy rõ rằng ô tô và hòn đá chỉ bị một lực hướng vào tâm buộc phải rẽ. Nhưng hành khách trên ô tô lại cảm nhận khác: người đó bị ép vào cửa xe, và nhìn từ chỗ người đó thì như có cái gì đẩy mình vào cửa. Muốn mô tả chuyển động từ góc nhìn của người ngồi trên ô tô, ta cần đến các lực quán tính.

Hành khách bên trong ô tô cảm nhận khúc cua thế nào và vì sao người đó thấy như có gì đẩy mình ra ngoài, bài tiếp theo, Lực quán tính, sẽ giải thích.