Равномерно движение по окръжност

Конче на въртележка, върхът на секундарника или камъче, заседнало в протектора на гума (гледано от колата), кръжат по окръжност. Ако при това държат все същия темп, говорим за равномерно движение по окръжност: траекторията е окръжност и големината на скоростта не се променя. За еднакви интервали от време описват дъги с еднаква дължина.

Посоката на скоростта, напротив, се променя непрекъснато, защото стрелката на скоростта сочи винаги по допирателната към окръжността. Движението е равномерно само по големина на скоростта. Как да го опишем с числа?

По права за определяне на положението стигаше едно число, положението върху оста. По окръжност също ни стига едно число: ъгълът, на който тялото се е завъртяло от старта. Ъглите затова ще ни съпровождат на всяка крачка.

Период и честота

Въртележката на панаира потегля и после се върти със все същия темп. Заставаш до нея с хронометър и измерваш, че приятелката на конче минава край теб на всеки десет секунди. Времето на един оборот се нарича период, означава се T и се измерва в секунди:

$$T=10\mathrm{s}$$

Можем да попитаме и обратното: колко оборота прави въртележката за една секунда. Това е честотата ν. Когато един оборот трае десет секунди, за една секунда въртележката прави една десета от оборот. В общия случай честотата изчисляваме като един оборот, разделен на периода:

$$\nu =\frac{1}{T}$$

Заместваме:

$$\nu =\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Мерната единица „за секунда“, тоест $\frac{1}{\mathrm{s}}$, носи името херц и означение Hz. Въртележката има честота 0,1 Hz. Зависимостта важи и обратно, $T=\frac{1}{\nu }$: колкото повече обороти в секунда, толкова по-къс е един оборот. Периодът и честотата говорят за едно и също от противоположни страни: единият показва секунди на оборот, другата обороти в секунда.

Секундната стрелка обикаля циферблата за минута, периодът ѝ затова е T = 60 s и честотата $\nu =\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Периодът на минутната стрелка е цял час, 3600 s. Което се влачи, има дълъг период и малка честота; което препуска, има обратното.

При моторите и пералните машини честотата се посочва в обороти в минута. Пералня, която центрофугира на 1200 об/min, завърта барабана хиляда и двеста пъти в минута. Минутата има шейсет секунди, така че за секунда това е

$$\nu =\frac{1200\mathrm{о}\mathrm{б}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{о}\mathrm{б}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Оборотът е просто брой, така че оборотите в секунда и херцовете съвпадат. Един оборот на барабана трае

$$T=\frac{1}{\nu }=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

пет стотни от секундата. Нищо чудно, че прането зад прозорчето виждаш само като размазано петно.

Ъгъл, измерван с дъга

Въртележката за някакво време се завърта на определен ъгъл. В градуси можем да го измерваме: четвърт оборот е 90°, цял оборот 360°. Физиката обаче предпочита да измерва ъглите в радиани и веднага ще видим защо.

Представи си ъгъл с връх в центъра на окръжността. Рамената му отсичат от окръжността дъга с дължина s. На по-голяма окръжност дъгата на същия ъгъл е по-дълга, и то точно толкова пъти, колкото пъти е по-голям радиусът: два пъти по-голяма окръжност, два пъти по-дълга дъга. Отношението на дължината на дъгата към радиуса затова не зависи от големината на окръжността, а само от ъгъла. Точно това отношение дава големината на ъгъла в радиани:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Ъгълът, на който тялото се завърта по окръжността, наричаме ъглов път и го означаваме с гръцката буква φ (фи). Един радиан е ъгъл, чиято дъга е със същата дължина като радиуса. Числото в радиани затова казва колко радиуса се побират в дъгата.

А колко радиана е един цял оборот? Дъгата е тогава цялата обиколка на окръжността, тоест 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Радиусът се съкрати, както очаквахме. Един цял оборот е 2π радиана, приблизително 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Половин оборот е π rad = 180°, четвърт оборот $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. Един радиан е $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, така че в цялата окръжност се побират шест радиана и още малко.

Да видим какво стана с мерните единици. Дължината на дъгата и радиусът са в метри и при делението метрите се съкращават, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Радианът затова е безразмерна единица, всъщност просто число, също както мащабът на карта, и той е частно на две дължини. Означението rad само напомня, че числото означава ъгъл, и в пресмятанията можем да го допишем или пропуснем. Веднага ще ни бъде полезно.

Да се върнем към въртележката. Вътрешното конче, на 2 m от центъра, се премества по своята дъга с 3 m. На какъв ъгъл се е завъртяло? Във формулата заместваме дъгата и радиуса:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Радиусът се побира в дъгата един път и половина. В градуси това е 1,5 · 57,3° ≈ 86°, почти четвърт оборот.

Защо не градуси? Числото 360 е договорка, наследена от древните вавилонци, докато радианът произлиза направо от окръжността. Благодарение на това дължината на дъгата се изчислява съвсем просто, s = φ · r. С градуси във формулата щеше да се мярка дробта $\frac{2\pi }{360}$. Във физичните формули затова ъглите почти винаги се заместват в радиани. Който пресмята синус или косинус на такъв ъгъл с калкулатор, трябва да го превключи от режим DEG на RAD. Който иска да знае повече за радианите, ще намери информация в статията Радианна мярка на ъгъл.

Ъглова скорост

Темпото на въртене на въртележката изразява ъгловата скорост ω (омега). Това е ъгълът, на който тялото се завърта за единица време:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Ъгъла измерваме в радиани, а времето в секунди и ъгловата скорост затова се измерва в rad/s. При равномерно движение по окръжност тялото за еднакви интервали от време се завърта на еднакви ъгли, така че ъгловата скорост е постоянна.

За един период въртележката се завърта на цял оборот, на 2π радиана. Затова

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Във формулата влиза периодът на нашата въртележка:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Всяка секунда въртележката се завърта малко повече от половин радиан, тоест на около 36°. Секундната стрелка при период 60 s е шест пъти по-бавна, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Тъй като $\frac{1}{T}=\nu$, важи и ω = 2π · ν. Барабанът на пералнята има ъглова скорост

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Честотата и ъгловата скорост лесно се объркват, така че внимавай. И двете описват колко бързо се върти въртележката, само че в различни единици: честотата в обороти в секунда, ъгловата скорост в радиани в секунда. Един оборот има 2π радиана и затова ъгловата скорост е винаги число 2π пъти по-голямо от честотата. Който забрави 2π, ще получи за въртележката 0,1 rad/s вместо 0,63 rad/s. Радианът е просто число, така че rad/s и Hz след съкращаване са и двете само „за секунда“. Ъгловата скорост въпреки това не се записва в херцове, точно за да не я обърка някой с честотата.

При постоянна ъглова скорост ъгълът излиза както пътят при равномерно праволинейно движение, само с ъглова скорост вместо скорост и с ъгъл вместо път. От $\omega =\frac{\phi }{t}$ с умножение по времето получаваме φ = ω · t. За 2,5 s въртележката се завърта на

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

тоест на четвърт оборот. Четвърт период впрочем трае точно 2,5 s.

При ъгловата скорост същественото е, че е обща за цялата въртележка. Кончето в края и кончето до центъра се завъртат веднъж в кръг за едни и същи десет секунди, всяка секунда на един и същ ъгъл.

Защо краят се движи по-бързо

На въртележката един до друг се возят две кончета, вътрешното на 2 m от центъра и външното на 4 m от центъра. Движат се заедно като на един прът и затова за еднакво време описват еднакъв ъгъл. Външното конче обаче се движи по по-голяма окръжност и затова за същото време изминава два пъти по-дълга дъга. И двете правят при возенето еднакъв брой обиколки, само че обиколката на външното конче е два пъти по-дълга. Анимацията го показва: лъчът с двете кончета се върти като цяло, ъгълът им е общ и червената следа въпреки това расте два пъти по-бързо от синята.

За едно и също време двоен път означава двойна скорост. Нека я пресметнем. За един оборот кончето изминава цялата обиколка на своята окръжност 2π · r и това му отнема един период T. Скоростта е път, разделен на време:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Внимавай, r е разстоянието от центъра, радиусът на окръжността, по която се движи кончето, а не диаметърът на цялата въртележка. За външното конче заместваме 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Това е приблизително 9 km/h, доста бързо подтичване. Вътрешното конче:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Това е около 4,5 km/h, обикновено ходене. Който стои точно в центъра, се върти на място и никъде не се движи. Затова децата се бият за кончетата в края, нали там и повече духа. Който седне близо до центъра, се вози всъщност на пони.

До скоростта можем да стигнем и от ъгловата скорост. Скоростта е път за време, $v=\frac{s}{t}$, а пътят по окръжността е дължината на дъгата s = φ · r. Заместваме:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Дробта $\frac{\phi }{t}$ е ъгловата скорост, така че

$$v=\omega \cdot r.$$

Скоростта v се нарича отделно линейна скорост, за да не се бърка с ъгловата. При една и съща ъглова скорост тя расте право пропорционално на разстоянието от центъра. Ще го проверим с външното конче:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Вярно е. За вътрешното конче излиза $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, точно наполовина. Погледни мерните единици: радиан в секунда по метър дава метър в секунда, защото радианът е просто число и от резултата изчезва без следа. Ако бяхме заместили ъгъла в градуси, би излязло безсмислено число, защото формулата s = φ · r важи само за радиани.

Формулата служи и в обратната посока. Собственикът на въртележката би искал външното конче да се движи с 3 m/s. Колко бързо трябва да се върти въртележката? От зависимостта v = ω · r делим двете страни на радиуса:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Периода получаваме от зависимостта $\omega =\frac{2\pi }{T}$, достатъчно е в нея да разменим периода с ъгловата скорост:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Един оборот на въртележката затова трябва да трае около осем секунди и половина вместо десет. Вътрешното конче тогава ще се движи с два пъти по-малка скорост, 1,5 m/s.

За обратната крайност посягаме към часовника. Върхът на минутна стрелка с дължина 10 cm обикаля с период 3600 s, така че

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Това е около една шеста от милиметъра в секунда, така че охлюв би го изпреварил. Затова не виждаме с око как се движи стрелката, но след пет минути вече се вижда, че се е преместила.

В заключение се връщаме към пералнята. Барабанът има радиус около 25 cm, тоест 0,25 m, и ъглова скорост 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Това е около 113 km/h. Чорапът, притиснат към стената на барабана, при центрофугирането се носи със скоростта на кола на магистрала, макар пералнята да си стои в банята.

Кончето на въртележката и чорапът в барабана се движат все със същата скорост и въпреки това стрелката на скоростта им всеки миг сочи на друга страна. Защо такова движение е ускорено, накъде сочи това ускорение и колко е голямо, ще покаже следващата статия, Центростремително ускорение.