Chuyển động tròn đều

Con ngựa gỗ trên vòng quay, đầu kim giây hay viên sỏi mắc trong rãnh lốp (nhìn từ trong ô tô) đều chạy theo đường tròn. Nếu chúng luôn giữ nguyên nhịp, ta nói đến chuyển động tròn đều: quỹ đạo là đường tròn và tốc độ không đổi. Trong những khoảng thời gian bằng nhau, vật đi được những cung dài bằng nhau.

Ngược lại, hướng của vận tốc thay đổi liên tục, vì mũi tên vận tốc luôn hướng theo tiếp tuyến của đường tròn. Chuyển động chỉ “đều” xét về tốc độ. Mô tả nó bằng các con số thế nào?

Trên đường thẳng, chỉ cần một con số để xác định vị trí, đó là toạ độ trên trục. Trên đường tròn, một con số cũng đủ: góc mà vật đã quay được kể từ lúc xuất phát. Vì vậy ở đây ta sẽ gặp góc ở mọi bước.

Chu kì và tần số

Vòng quay ngựa gỗ ở hội chợ bắt đầu quay rồi giữ nguyên nhịp. Bạn đứng cạnh, cầm đồng hồ bấm giây, và đo được rằng cứ 10 giây người bạn ngồi trên ngựa gỗ lại lướt qua trước mặt bạn một lần. Thời gian quay hết một vòng gọi là chu kì, kí hiệu T, đo bằng giây:

$$T=10\mathrm{s}$$

Ta cũng có thể hỏi ngược lại: trong 1 giây vòng quay quay được bao nhiêu vòng. Đó là tần số f. Khi một vòng mất 10 giây thì trong 1 giây vòng quay quay được một phần mười vòng. Tổng quát, tần số bằng 1 vòng chia cho chu kì:

$$f=\frac{1}{T}$$

Thay số:

$$f=\frac{1}{10\mathrm{s}}=0,1{\mathrm{s}}^{-1}$$

Đơn vị “trên giây”, tức là $\frac{1}{\mathrm{s}}$, có tên là héc (hertz), kí hiệu Hz. Vòng quay có tần số 0,1 Hz. Hệ thức này cũng đúng theo chiều ngược lại, $T=\frac{1}{f}$: số vòng trong 1 giây càng nhiều thì một vòng càng ngắn. Chu kì và tần số nói về cùng một điều từ hai phía ngược nhau: một đại lượng cho số giây ứng với một vòng, đại lượng kia cho số vòng trong một giây.

Kim giây đi hết mặt đồng hồ trong 1 phút, vì vậy chu kì của nó là T = 60 s và tần số là $f=\frac{1}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,017}\mathrm{Hz}$. Chu kì của kim phút là cả 1 giờ, 3.600 s. Cái gì quay chậm thì có chu kì dài và tần số nhỏ; cái gì quay nhanh thì ngược lại.

Động cơ và máy giặt ghi tần số theo số vòng trên phút. Máy giặt vắt ở 1.200 vòng/phút thì lồng giặt quay 1.200 vòng mỗi phút. 1 phút có 60 giây, nên mỗi giây là

$$f=\frac{1.200\mathrm{v}\mathrm{ò}\mathrm{ng}}{60\mathrm{s}}=20\mathrm{v}\mathrm{ò}\mathrm{ng}/\mathrm{s}=20\mathrm{Hz}.$$

Số vòng chỉ là một con số đếm, vì vậy vòng trên giây và héc là một. Một vòng quay của lồng giặt mất

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{20\mathrm{Hz}}=0,05\mathrm{s},$$

5 phần trăm giây. Chẳng trách quần áo sau ô cửa kính chỉ còn là một vệt nhoè.

Góc đo bằng cung

Sau một khoảng thời gian, vòng quay quay được một góc nào đó. Ta đã biết đo góc bằng độ: một phần tư vòng là 90°, cả vòng là 360°. Nhưng vật lí thích đo góc bằng radian hơn, và ta sẽ thấy ngay vì sao.

Hãy tưởng tượng một góc có đỉnh ở tâm đường tròn. Hai cạnh của nó chắn trên đường tròn một cung có độ dài s. Trên đường tròn lớn hơn, cung của cùng góc đó dài hơn, và dài hơn đúng bằng số lần bán kính lớn hơn: đường tròn lớn gấp đôi thì cung dài gấp đôi. Vì vậy tỉ số giữa độ dài cung và bán kính không phụ thuộc vào kích thước đường tròn mà chỉ phụ thuộc vào góc. Chính tỉ số này cho số đo của góc tính bằng radian:

$$\phi =\frac{s}{r}$$

Góc mà vật quay được trên đường tròn gọi là góc quay, kí hiệu bằng chữ Hy Lạp φ (phi). Một radian là góc có cung dài bằng bán kính. Vì vậy số đo bằng radian cho biết cung chứa bao nhiêu lần bán kính.

Vậy cả một vòng là bao nhiêu radian? Khi đó cung là cả chu vi đường tròn, tức là 2π · r:

$$\phi =\frac{2\pi \cdot r}{r}=2\pi$$

Bán kính giản ước, đúng như ta chờ đợi. Một vòng có 2π radian, khoảng 6,28:

$$360°=2\pi \mathrm{rad}$$

Nửa vòng là π rad = 180°, một phần tư vòng là $\frac{\pi }{2}\mathrm{rad}=90°$. 1 radian bằng $\frac{360°}{2\pi }\approx 57,3°$, vì thế cả vòng tròn chứa được 6 radian và thêm một chút.

Hãy xem các đơn vị đã ra sao. Độ dài cung và bán kính đều tính bằng mét, khi chia thì mét giản ước, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m}}=1$. Vì vậy radian là một đơn vị không thứ nguyên, thực chất chỉ là một con số, giống như tỉ lệ xích của bản đồ, cũng là thương của hai độ dài. Kí hiệu rad chỉ nhắc rằng con số đó là một góc, và trong tính toán ta được phép viết hoặc bỏ nó. Điều này sẽ có ích ngay sau đây.

Trở lại vòng quay. Con ngựa gỗ phía trong, cách tâm 2 m, đi được 3 m trên cung tròn của nó. Nó đã quay được một góc bao nhiêu? Thay cung và bán kính vào công thức:

$$\phi =\frac{s}{r}=\frac{3\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}=1,5\mathrm{rad}$$

Cung chứa bán kính một lần rưỡi. Tính theo độ, đó là 1,5 · 57,3° ≈ 86°, gần một phần tư vòng.

Sao không dùng độ? Số 360 là một quy ước kế thừa từ người Babylon cổ, còn radian xuất phát trực tiếp từ đường tròn. Nhờ vậy, độ dài cung tính rất đơn giản, s = φ · r. Với độ, công thức đó sẽ vướng thêm phân số $\frac{2\pi }{360}$. Vì thế trong các công thức vật lí, góc hầu như luôn được thay số theo radian. Ai tính sin hay côsin của góc như vậy bằng máy tính cầm tay thì phải chuyển máy từ chế độ DEG sang RAD. Ai muốn biết thêm về radian có thể đọc bài Radian.

Tốc độ góc

Nhịp quay của vòng quay được biểu thị bằng tốc độ góc ω (ômêga). Đó là góc mà vòng quay quay được trong một đơn vị thời gian:

$$\omega =\frac{\phi }{t}$$

Góc đo bằng radian và thời gian bằng giây, vì vậy tốc độ góc đo bằng rad/s. Trong chuyển động tròn đều, vật quay được những góc bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau, nên tốc độ góc không đổi.

Trong một chu kì, vòng quay quay được cả một vòng, tức là 2π radian. Do đó

$$\omega =\frac{2\pi }{T}.$$

Thay chu kì của vòng quay vào công thức:

$$\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{10\mathrm{s}}=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 0,63\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Mỗi giây vòng quay quay được hơn nửa radian một chút, tức là khoảng 36°. Kim giây, với chu kì 60 s, chậm hơn 6 lần, $\omega =\frac{2\pi \mathrm{rad}}{60\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,105}\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Vì $\frac{1}{T}=f$, ta cũng có ω = 2π · f. Lồng máy giặt có tốc độ góc

$$\omega =2\pi \cdot 20\mathrm{Hz}=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\approx 126\mathrm{rad}/\mathrm{s}.$$

Tần số và tốc độ góc rất dễ nhầm với nhau, nên hãy cẩn thận. Cả hai đều mô tả vòng quay quay nhanh thế nào, chỉ khác đơn vị: tần số tính bằng vòng trên giây, tốc độ góc tính bằng radian trên giây. Một vòng có 2π radian, vì vậy tốc độ góc luôn là một số lớn gấp 2π lần tần số. Ai quên 2π sẽ được 0,1 rad/s cho vòng quay thay vì 0,63 rad/s. Radian chỉ là một con số, nên sau khi giản ước, cả rad/s lẫn Hz đều chỉ là “trên giây”. Dù vậy, người ta không viết tốc độ góc bằng héc, chính là để không ai nhầm nó với tần số.

Khi tốc độ góc không đổi, góc được tính giống như quãng đường trong chuyển động thẳng đều, chỉ có tốc độ góc thay cho tốc độ và góc thay cho quãng đường. Từ $\omega =\frac{\phi }{t}$, nhân với thời gian, ta được φ = ω · t. Trong 2,5 s, vòng quay quay được

$$\phi =\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2,5\mathrm{s}=\frac{\pi }{2}\mathrm{rad},$$

tức là một phần tư vòng. Mà một phần tư chu kì cũng đúng bằng 2,5 s.

Điều quan trọng ở tốc độ góc là nó chung cho cả vòng quay. Con ngựa ở mép và con ngựa gần tâm đều quay hết một vòng trong cùng 10 giây, mỗi giây quay được cùng một góc.

Vì sao mép vòng quay chạy nhanh hơn

Trên vòng quay có hai con ngựa gỗ đặt cạnh nhau, con phía trong cách tâm 2 m, con phía ngoài cách tâm 4 m. Chúng quay cùng nhau như gắn trên một thanh, vì vậy trong cùng một thời gian quay được cùng một góc. Nhưng con ngựa phía ngoài chạy trên đường tròn lớn hơn, nên trong cùng thời gian ấy đi được cung dài gấp đôi. Cả hai quay cùng một số vòng trong lượt chơi, chỉ có điều mỗi vòng của con ngựa phía ngoài dài gấp đôi. Hình động cho thấy điều đó: thanh mang hai con ngựa quay như một khối, góc của chúng là chung, vậy mà vệt màu đỏ dài ra nhanh gấp đôi vệt màu xanh dương.

Cùng thời gian mà quãng đường gấp đôi nghĩa là tốc độ gấp đôi. Ta hãy tính nó. Trong một vòng, con ngựa đi hết cả chu vi đường tròn của nó, 2π · r, mất đúng một chu kì T. Tốc độ bằng quãng đường chia cho thời gian:

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}$$

Chú ý rằng r là khoảng cách đến tâm, bán kính của đường tròn mà con ngựa chạy theo, chứ không phải đường kính của cả vòng quay. Với con ngựa phía ngoài, ta thay 4 m:

$$v=\frac{2\pi \cdot 4\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Đó là khoảng 9 km/h, một nước chạy kha khá. Con ngựa phía trong:

$$v=\frac{2\pi \cdot 2\mathrm{m}}{10\mathrm{s}}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Đó là khoảng 4,5 km/h, tốc độ đi bộ bình thường. Ai đứng đúng ở tâm thì quay tại chỗ và không đi đâu cả. Vì thế trẻ con tranh nhau những con ngựa ở mép, ở đó gió cũng thổi mạnh hơn. Ai ngồi gần tâm thì chẳng khác gì cưỡi một chú ngựa con.

Cũng có thể tính tốc độ từ tốc độ góc. Tốc độ là quãng đường trong một đơn vị thời gian, $v=\frac{s}{t}$, và quãng đường trên đường tròn là độ dài cung s = φ · r. Thay vào:

$$v=\frac{\phi \cdot r}{t}=\frac{\phi }{t}\cdot r$$

Phân số $\frac{\phi }{t}$ là tốc độ góc, vì vậy

$$v=\omega \cdot r.$$

Tốc độ v được gọi riêng là tốc độ dài, để không nhầm với tốc độ góc. Với cùng một tốc độ góc, nó tỉ lệ thuận với khoảng cách đến tâm. Kiểm tra với con ngựa phía ngoài:

$$v=\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 4\mathrm{m}=\frac{4\pi }{5}\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 2,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Khớp. Với con ngựa phía trong ta được $\frac{\pi }{5}\mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 2\mathrm{m}\approx 1,26\mathrm{m}/\mathrm{s}$, đúng một nửa. Hãy nhìn các đơn vị: radian trên giây nhân mét cho mét trên giây, vì radian chỉ là một con số và biến mất khỏi kết quả mà không để lại dấu vết. Nếu thay góc bằng độ, ta sẽ được một con số vô nghĩa, vì công thức s = φ · r chỉ đúng với radian.

Công thức này cũng dùng được theo chiều ngược lại. Chủ vòng quay muốn con ngựa phía ngoài chạy 3 m/s. Vòng quay phải quay nhanh thế nào? Từ hệ thức v = ω · r, chia cả hai vế cho bán kính:

$$\omega =\frac{v}{r}=\frac{3\mathrm{m}/\mathrm{s}}{4\mathrm{m}}=0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}$$

Chu kì có được từ hệ thức $\omega =\frac{2\pi }{T}$, chỉ cần đổi chỗ chu kì và tốc độ góc:

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi \mathrm{rad}}{0,75\mathrm{rad}/\mathrm{s}}\approx 8,4\mathrm{s}$$

Vì vậy một vòng của vòng quay phải mất khoảng 8,5 giây thay vì 10 giây. Con ngựa phía trong khi đó sẽ chạy với tốc độ bằng một nửa, 1,5 m/s.

Để xét một trường hợp cực đoan ở phía ngược lại, ta lấy chiếc đồng hồ. Đầu kim phút dài 10 cm quay với chu kì 3.600 s, nên

$$v=\frac{2\pi \cdot 0,1\mathrm{m}}{3.600\mathrm{s}}\approx \mathrm{0,000}17\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Đó là khoảng một phần sáu mi-li-mét mỗi giây, đến con ốc sên cũng vượt qua được. Vì thế mắt ta không nhìn thấy kim chuyển động, nhưng sau 5 phút thì thấy.

Cuối cùng, ta trở lại chiếc máy giặt. Lồng giặt có bán kính khoảng 25 cm, tức là 0,25 m, và tốc độ góc 40π rad/s:

$$v=40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}\cdot 0,25\mathrm{m}=10\pi \mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 31,4\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Đó là khoảng 113 km/h. Chiếc tất bị ép vào thành lồng khi vắt lao đi với tốc độ của ô tô trên đường cao tốc, dù chiếc máy giặt vẫn đứng yên trong phòng tắm.

Con ngựa gỗ trên vòng quay và chiếc tất trong lồng giặt luôn chuyển động nhanh như nhau, vậy mà mũi tên vận tốc của chúng mỗi lúc lại chỉ một hướng khác. Bài tiếp theo, Gia tốc hướng tâm, sẽ cho thấy vì sao chuyển động như vậy có gia tốc, gia tốc đó hướng về đâu và lớn bao nhiêu.