Tổng hợp chuyển động

Khi bạn đi bộ trên thang cuốn đang chạy, bạn thực hiện hai chuyển động cùng lúc: đôi chân đưa bạn đi trên các bậc thang, còn các bậc thang chở bạn đi lên. Chiếc thuyền trên sông chuyển động so với nước, còn dòng nước thì suốt thời gian đó cuốn thuyền đi. Chuyển động tổng hợp có được bằng cách tổng hợp các chuyển động thành phần, nghĩa là cộng các vận tốc của chúng như vectơ, như các mũi tên.

Đi bộ trên thang cuốn

Thang cuốn ở ga tàu điện ngầm đi lên với tốc độ v₂ = 0,5 m/s, và bạn bước đi trên đó với tốc độ v₁ = 1 m/s. Tốc độ này đo so với các bậc thang, bạn cũng sẽ bước nhanh như vậy trên cầu thang thường. So với nhà ga, bạn đi nhanh hơn, vì các bậc thang dưới chân tự chạy. Hai mũi tên cùng hướng, nên độ lớn của chúng chỉ việc cộng lại:

$$v=v_1+v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}+0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Mỗi giây bạn bước được 1 mét trên các bậc thang, và các bậc thang đưa bạn đi thêm nửa mét nữa. Nếu thang cuốn dài s = 30 m thì bạn lên đến nơi sau

$$t=\frac{s}{v}=\frac{30\mathrm{m}}{1,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=20\mathrm{s}.$$

Nếu chỉ đứng yên tại chỗ, bạn sẽ đi mất $\frac{30\mathrm{m}}{0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$, tròn 1 phút.

Lần này bạn bước lên một thang cuốn đang đi xuống và đi ngược lên với bước chân như cũ. Bây giờ hai mũi tên ngược hướng nhau, vì vậy độ lớn trừ cho nhau:

$$v=v_1-v_2=1\mathrm{m}/\mathrm{s}-0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}=0,5\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Bạn vẫn lên được, nhưng 30 mét lại mất trọn 1 phút. Nếu chỉ đi nửa mét mỗi giây, bạn sẽ dậm chân tại chỗ. Với bước chân còn chậm hơn nữa, thang cuốn sẽ chậm mà chắc đưa bạn xuống dưới.

Vậy thực ra bạn đi nhanh thế nào? Có hai câu trả lời đúng. So với các bậc thang là 1 m/s, so với nhà ga là 1,5 m/s hoặc 0,5 m/s. Điều đó phụ thuộc vào hệ quy chiếu, tức là ta mô tả chuyển động so với cái gì.

Trên thang cuốn, hai mũi tên nằm trên cùng một đường thẳng, nên chỉ cần cộng hoặc trừ độ lớn. Thú vị hơn là khi hai chuyển động hướng về hai phía khác nhau.

Chiếc thuyền qua sông

Một con sông rộng d = 60 m, nước chảy với tốc độ v₂ = 1 m/s. Từ bờ, một chiếc thuyền nhỏ rời bến; trên mặt nước đứng yên, thuyền đi với tốc độ v₁ = 2 m/s. Người lái hướng mũi thuyền vuông góc với bờ bên kia và giữ nguyên như thế suốt thời gian đi. Thuyền có cập bờ ngay đối diện chỗ xuất phát không? Tóm tắt đề bài:

$$\begin{array}{rl}d& =60\mathrm{m}\\ v_1& =2\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v_2& =1\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Không cập được. Trong khi thuyền rẽ nước sang ngang, nước dưới thuyền vẫn chảy và mang thuyền theo. Mũi thuyền luôn hướng vuông góc với bờ, nhưng thuyền lại trôi xiên và cập bờ xa hơn một đoạn về phía hạ lưu. Trong hình động thấy rõ điều này: thuyền không đi theo hướng mũi thuyền chỉ. Mũi thuyền chỉ hướng chuyển động của thuyền so với nước. Vậy dòng nước đẩy thuyền đi bao nhiêu mét?

Các chuyển động không cản trở nhau

Chìa khoá để tính là nguyên lí độc lập của các chuyển động: nếu một vật đồng thời thực hiện nhiều chuyển động thì mỗi chuyển động diễn ra như thể không có các chuyển động kia. Vật sẽ đến cùng một chỗ như khi các chuyển động diễn ra lần lượt, cái này sau cái kia.

Thử áp dụng cho chiếc thuyền theo hai bước. Trước hết, hãy tưởng tượng nước đứng yên và người lái chèo thuyền nửa phút. Thuyền đi thẳng sang bên kia và dừng lại ngay đối diện. Sau đó người lái ngừng chèo và để dòng nước cuốn thuyền đi nửa phút, dòng nước đẩy thuyền dọc theo bờ. Thuyền sẽ dừng lại đúng ở chỗ mà nó đến được khi làm cả hai việc cùng lúc. Trên thực tế, hai chuyển động diễn ra đồng thời, vì vậy thuyền đi xiên, nhưng chuyển động này không làm chậm chuyển động kia.

Với chiếc thuyền, điều này dễ hình dung. So với nước, nó đi vuông góc sang bờ bên kia, giống hệt như trên mặt ao. Dòng nước chỉ đẩy cả khối nước cùng với chiếc thuyền về phía hạ lưu, như thang cuốn đẩy các bậc thang cùng với bạn. Vì vậy, theo phương ngang sông, chỉ có tốc độ riêng 2 m/s của thuyền đưa nó đi. Dòng nước chảy dọc theo bờ, nên không giúp mà cũng không cản việc sang sông. Do đó thời gian sang sông chỉ phụ thuộc vào chiều rộng con sông và tốc độ theo phương ngang sông:

$$t=\frac{d}{v_1}=\frac{60\mathrm{m}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=30\mathrm{s}$$

Trong suốt 30 giây đó, dòng nước cuốn thuyền đi với tốc độ 1 m/s. Khoảng cách mà thuyền cập bờ xa hơn về phía hạ lưu gọi là độ trôi:

$$x=v_2\cdot t=1\mathrm{m}/\mathrm{s}\cdot 30\mathrm{s}=30\mathrm{m}$$

Thuyền cập bờ cách điểm ngay đối diện 30 mét về phía hạ lưu. Cứ đi được 2 mét theo phương ngang sông thì dòng nước lại đẩy thuyền đi 1 mét dọc theo bờ, vì vậy vệt đi của thuyền là một đường thẳng. Nếu nước chảy nhanh gấp đôi, thuyền vẫn sang đến bờ bên kia sau nửa phút, nhưng cách đích 60 mét.

So với bờ, thuyền chuyển động nhanh thế nào? Vận tốc tổng hợp là tổng vectơ

$$\overrightarrow{v}={\overrightarrow{v}}_1+{\overrightarrow{v}}_2.$$

Vẽ hai mũi tên từ một điểm rồi dựng thêm thành hình bình hành, vận tốc tổng hợp là đường chéo của nó. Hai mũi tên vuông góc với nhau, nên hình bình hành ở đây là hình chữ nhật, như ở nửa bên trái của hình. Độ lớn của vận tốc tổng hợp tính theo định lí Pythagore:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2+v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2+(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 2,24\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

So với bờ, thuyền đi nhanh hơn trên mặt nước đứng yên, nhưng phần tốc độ thêm ấy lại đưa nó đến chỗ khác với ý muốn. Sẽ là sai nếu cộng các tốc độ như những số thông thường, 2 m/s + 1 m/s = 3 m/s. Chỉ các mũi tên cùng hướng mới cộng như vậy, như trên thang cuốn.

Có thể kiểm tra kết quả theo một cách khác. Trong 30 s, với tốc độ $\sqrt{5{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}$, thuyền đi được một quãng đường xiên khoảng 67,1 m. Cạnh huyền của tam giác tạo bởi chiều rộng con sông và độ trôi cũng dài đúng như vậy:

$$\sqrt{(60\mathrm{m}{)}^2+(30\mathrm{m}{)}^2}=\sqrt{4.500{\mathrm{m}}^2}\approx 67,1\mathrm{m}$$

Khớp. Thuyền sang sông mất 30 giây, trong lúc đó chuyển động so với bờ với tốc độ khoảng 2,24 m/s và cập bờ cách 30 mét về phía hạ lưu.

Làm sao cập bờ ngay đối diện

Muốn cập bờ đúng chỗ đối diện, người lái phải hướng thuyền xiên về phía thượng lưu. Khi đó một phần vận tốc của thuyền thắng dòng nước, phần còn lại đẩy thuyền sang ngang. Vận tốc tổng hợp $\overrightarrow{v}$ phải hướng thẳng sang bờ bên kia, như ở nửa bên phải của hình.

Ở bên phải, hãy tìm tam giác tạo bởi mũi tên đỏ, mũi tên xanh lá và đoạn nét đứt phía trên. Đoạn nét đứt là cạnh đối diện của hình bình hành, nên nó dài bằng mũi tên của dòng nước và song song với mũi tên đó. Vì vậy nó vuông góc với mũi tên xanh lá, như dòng nước ở phía dưới. Cạnh huyền là tốc độ của thuyền v₁, còn đối diện với góc α là tốc độ dòng nước v₂. Do đó

$$\sin \alpha =\frac{v_2}{v_1}=\frac{1\mathrm{m}/\mathrm{s}}{2\mathrm{m}/\mathrm{s}}=\frac{1}{2}.$$

Sin bằng một nửa ứng với góc 30°. Người lái phải hướng thuyền lệch khỏi phương vuông góc với bờ một góc 30° về phía ngược dòng.

Cũng đi đến kết quả này nếu phân tích vận tốc của thuyền thành hai thành phần vuông góc. Một thành phần hướng ngược dòng và có độ lớn v₁ · sin α, thành phần kia hướng sang ngang sông và có độ lớn v₁ · cos α. Muốn thuyền đi thẳng sang bờ đối diện, thành phần ngược dòng phải cân bằng đúng với dòng nước, tức là phải có v₁ · sin α = v₂. Chia cho tốc độ v₁, ta lại được $\sin \alpha =\frac{1}{2}$. Khi đó dòng nước không đẩy thuyền đi đâu nữa, và chỉ còn chuyển động sang ngang.

Tốc độ theo phương ngang sông là cạnh góc vuông còn lại, tính theo định lí Pythagore:

$$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{v_1^2-v_2^2}=\sqrt{(2\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2-(1\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}\\ & =\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 1,73\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Cũng sẽ ra như vậy nếu tính v₁ · cos α = 2 m/s · cos 30°. Nguyên lí độc lập lại có ích lần thứ hai. Thời gian sang sông chỉ do tốc độ theo phương ngang quyết định, mà tốc độ này giờ nhỏ hơn trước, nên sang sông sẽ lâu hơn:

$$t=\frac{d}{v}=\frac{60\mathrm{m}}{\sqrt{3{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}}\approx 34,6\mathrm{s}$$

Đường thẳng sang bờ ngắn hơn, vậy mà lại mất thêm gần 5 giây. Ai muốn sang bờ bên kia nhanh nhất, chẳng hạn người bơi qua sông, nên hướng vuông góc với bờ và chấp nhận bị trôi. Ai muốn cập đúng cầu tàu ngay đối diện thì phải hướng ngược dòng và chấp nhận đi lâu hơn.

Phi công cũng biết mẹo này khi bay trong gió ngang. Máy bay bay với mũi hơi hướng ngược gió để so với mặt đất nó đi thẳng đến đích. Vì thế khi hạ cánh trong gió ngang mạnh, máy bay tiến đến đường băng như thể đi nghiêng, và chỉ nắn thẳng lại ngay sát mặt đất.

Còn một chỗ dễ nhầm nữa. Nếu dòng nước chảy nhanh hơn thuyền thì sin sẽ lớn hơn 1, mà không có góc nào như vậy. Khi dòng nước chảy nhanh bằng thuyền, thuyền phải hướng thẳng ngược dòng và hoàn toàn không tiến được sang ngang. Dòng nước bao giờ cũng đẩy thuyền trôi đi, dù thuyền có hướng thế nào. Ngay cả khi dòng nước chỉ chậm hơn thuyền một chút, người lái đã phải hướng gần như thẳng ngược dòng và thuyền chỉ nhích sang ngang chậm như rùa bò.

Mưa rơi xiên nhìn từ ô tô đang chạy

Ngoài trời mưa như trút, không có gió, nên các giọt mưa rơi thẳng đứng, những giọt lớn có tốc độ khoảng 9 m/s. Khi ô tô đứng yên, nhìn qua cửa sổ bạn thấy những vạch thẳng đứng. Nhưng xe vừa lăn bánh, các giọt mưa bên ngoài cửa sổ bên đã bay xiên về phía sau, và xe chạy càng nhanh thì chúng càng xiên.

Ta mô tả điều này trong hệ quy chiếu gắn với ô tô. So với ô tô, cả cảnh vật đều lùi về phía sau, cây cối, nhà cửa và cả các giọt mưa. Như vậy mỗi giọt mưa thực hiện hai chuyển động: rơi xuống với tốc độ 9 m/s và đồng thời chuyển động về phía sau với tốc độ của ô tô. Vận tốc tổng hợp là tổng vectơ của chúng và hướng xiên xuống dưới, về phía sau.

Khi ô tô cũng chạy 9 m/s, tức là khoảng 32 km/h, hai mũi tên dài bằng nhau và vuông góc với nhau. Vận tốc tổng hợp là đường chéo của một hình vuông, vì vậy các giọt mưa rơi xiên một góc 45°. Trên đường cao tốc, mũi tên nằm ngang dài gấp mấy lần mũi tên thẳng đứng, và các giọt mưa bay gần như nằm ngang.

Có thể lập luận ngược lại. Khi chạy với tốc độ 32 km/h mà bạn thấy vệt mưa nghiêng đúng 45° thì bạn biết các giọt mưa rơi nhanh bằng tốc độ xe chạy. Từ đồng hồ tốc độ và độ nghiêng của vệt mưa, ta ước lượng được tốc độ của mưa mà không cần bước ra khỏi xe.

Khi ô tô chạy dưới mưa, kính chắn gió phía trước bị nước xối nhiều nhất, còn kính sau có ít giọt mưa rơi vào. Cũng vì lí do đó, ai chạy dưới mưa đều nghiêng ô về phía trước. Trong hệ quy chiếu của người chạy, các giọt mưa rơi xiên từ phía trước vào ô. Người đứng ở trạm xe buýt thì cầm ô thẳng đứng, vì với họ mưa rơi từ trên xuống.

Ngay cả tốc độ mà các giọt mưa đập vào kính chắn gió cũng là tốc độ tổng hợp. Ở 32 km/h, nó là đường chéo của hình vuông cạnh 9 m/s, tức là $\sqrt{2}\cdot 9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 12,7\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Chính vì thế, khi chạy nhanh dưới mưa, các giọt mưa đập vào kính rào rào như vậy.

Chiếc thuyền, ô tô và giọt mưa ở đây đều chuyển động theo đường thẳng. Nhưng con ngựa gỗ trên vòng quay hay đầu kim đồng hồ lại chạy vòng tròn. Bài tiếp theo, Chuyển động tròn đều, sẽ trình bày cách mô tả chuyển động tròn, chu kì, tần số và radian là gì, và vì sao mép vòng quay chạy nhanh hơn những chỗ gần tâm.