Текстови задачи за движение

В осем сутринта от Прага по магистрала D1 тръгва кола със скорост 90 km/h. Насреща ѝ в същия момент от Бърно тръгва втора кола със скорост 115 km/h. Магистралата между градовете е дълга 205 km. Кога и къде ще се срещнат колите?

Задачите за движение всеки път изглеждат различно, но почти всички се решават с един и същ трик. За всяко превозно средство записваме къде е в момент t и после търсим момента, когато двете са на едно и също място. Всичко се движи с постоянна скорост, така че ни стигат формулите за равномерно праволинейно движение и обичайният подход за решаване на задачи.

Две коли една срещу друга

Записваме какво знаем и какво търсим. Колата от Прага получава индекс 1, колата от Бърно индекс 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Всичко е в километри и часове, мерните единици не се смесват, така че не е нужно да преобразуваме. Времето ще излезе в часове.

Помага скицата. Покрай магистралата опъваме оста x. Началото поставяме в Прага, така че Бърно е на 205 km.

Скица: ос x покрай магистралата, червената кола от Прага се движи със скорост v_1 надясно, синята кола от Бърно със скорост v_2 наляво

Червената кола се движи по посока на оста, така че положението ѝ е просто пътят, който е изминала:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Синята кола започва от 205 km и се движи срещу посоката на оста. Положението ѝ затова всеки час намалява със 115 km:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Минусът е тук по същата причина, поради която графиката на Огнян намаляваше на връщане към дома. Физикът спокойно би казал, че синята кола има скорост −115 km/h. Ние оставяме скоростта положителна, такава каквато я показва скоростомерът, а посоката записваме със знака във формулата.

Колите се срещат, когато са на едно и също място, тоест когато x₁ = x₂. Задачата решаваме в общ вид:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Вторият ред има смисъл и без уравнения. Изразът v₁ · t е пътят на червената кола, v₂ · t е пътят на синята и заедно те изминават цялото разстояние между градовете. За всеки час колите се доближават една към друга с 90 km + 115 km = 205 km. Заместваме:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Мерните единици са верни: километри, разделени на километри в час, са часове. Мястото на срещата получаваме, като заместим времето в положението на която и да е от колите:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

За проверка: синята кола в този момент е на 205 km − 115 km = 90 km, тоест на същото място. Оценката също е вярна. Ако двете коли се движеха с еднаква скорост, щяха да се срещнат по средата на пътя. Колата от Бърно е по-бърза, така че ще се срещнат по-близо до Прага. Отговор: колите се срещат в девет часа, на 90 km от Прага. Шофьорите едва ли ще успеят да си помахат, нали се носят един към друг тъкмо с тези 205 km за час.

Пресечна точка на графики

Същата задача можем да решим и без уравнение. Положенията на двете коли чертаем в една графика, както по-рано колата с камиона.

Графика на положението на колата от Прага (в червено) и на колата от Бърно (в синьо). Оранжевата пресечна точка показва кога и къде се срещат колите

Червената права излиза от началото и се вдига с наклон 90 km/h. Синята започва на височина 205 km и се спуска надолу, защото колата се движи срещу посоката на оста. Спуска се по-стръмно, отколкото се вдига червената, защото колата от Бърно е по-бърза. До Прага, където положението е нула, стига за по-малко от два часа.

Там, където правите се пресичат, двете коли имат в един и същи момент еднакво положение. Това е точно срещата. От оранжевата пресечна точка слизаме до оста на времето и отчитаме 1 h, наляво към вертикалната ос и отчитаме 90 km.

Да решим уравнението x₁ = x₂ е същото като да потърсим пресечната точка на две прави, само че вместо да чертаем, пресмятаме. Графиката показва какво се случва в задачата и дава бърза оценка. Уравнението дава точното число и когато пресечната точка попадне между деленията.

Настигане

От Пловдив тръгва велосипедист с постоянна скорост 18 km/h. Един час след него по същия път тръгва кола със скорост 54 km/h. Кога и къде ще настигне велосипедиста?

Нека решим откъде ще мерим времето. Най-удобно е да пуснем хронометъра в момента, когато тръгва колата. Велосипедистът дотогава има зад себе си час път, това е преднина от 18 km. Това е неговият начален път s₀ от формулата s = s₀ + v · t. Велосипедистът се движи само напред и е тръгнал от началото на оста, затова началният му път съвпада с началното положение. Оста ще прекараме покрай пътя с начало в Пловдив. Велосипедистът ще има индекс 1, колата индекс 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

И двамата се движат по посока на оста, така че положенията им са

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Колата ще настигне велосипедиста, когато са на едно и също място, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Този път в знаменателя стои разликата на скоростите. Колата всеки час откъсва от преднината 54 km − 18 km = 36 km, както по-рано преднината на колата пред камиона растеше с разликата на скоростите им. Изчисляваме:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Колата настига велосипедиста след половин час, тоест след 30 min. Мястото на срещата отчитаме от положението на колата:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Велосипедистът е в същия момент на 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, вярно е. Отговор: колата настига велосипедиста половин час, след като е тръгнала, на 27 km от Пловдив.

И тук ще начертаем графика на положението. На оста на времето този път са минутите от тръгването на колата, за да не се появяват в чертежа десетични числа.

Графика на положението на велосипедиста (в синьо) и на колата (в червено), време в минути от тръгването на колата. Оранжевата пресечна точка показва кога и къде колата настига велосипедиста

Синята права на велосипедиста не започва в началото, а на височина 18 km, както графиката на колата, която минаваше покрай километричното стълбче. Червената права на колата излиза от нулата и е по-стръмна. Вертикалното разстояние между правите е преднината на велосипедиста. Всяка минута тя намалява, докато в пресечната точка при 30 min и 27 km изчезне напълно. След пресечната точка червената права е над синята: колата е изпреварила велосипедиста и вече се отдалечава.

Внимавай на какво отговаряме. Половин час мерим от тръгването на колата. Велосипедистът в този момент кара вече час и половина. Ако бяхме пуснали хронометъра с него, щеше да излезе час и половина. И двете са верни, всяко време просто се мери от различен момент, и затова в отговора трябва да го посочим.

От формулата виждаме и още нещо. Ако колата се движеше само със 18 km/h, в знаменателя щеше да има нула. На нула не може да се дели и колата нямаше да настигне велосипедиста дори в Бургас.

Влак в тунел

Влак с дължина 200 m минава с постоянна скорост 72 km/h през тунел, дълъг 1 km. Колко време му трябва да мине през тунела цял, тоест от навлизането на локомотива до излизането на последния вагон?

Примамливо е да разделим дължината на тунела на скоростта. Влака обаче тук не бива да смятаме за материална точка, защото за резултата е решаваща точно дължината му, а без скица това лесно се пропуска.

Със сива прекъсната линия влакът, когато челото му навлиза в тунела, с плътна линия влакът, когато краят му излиза от тунела. Челото е и в двете положения в оранжево, в червено е пътят s, който изминава

Достатъчно е да следим една-единствена точка на влака, челото на локомотива (в оранжево). В началото то е при входа на тунела. Когато последният вагон излиза от тунела, челото е след изхода на разстояние, равно на цялата дължина на влака. Изминало е следователно дължината на тунела (в синьо) и към това дължината на влака (в зелено):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Дължините са в метри, затова скоростта преобразуваме в метри в секунда:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Времето е пътят, разделен на скоростта:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Метри, разделени на метри в секунда, са секунди, така че влакът минава през тунела за минута. Който е взел само дължината на тунела, е получил 50 s. В този момент обаче локомотивът тепърва излиза навън и целият влак зад него е още в тунела. Оценката е вярна: километър влакът изминава за петдесет секунди, а двеста метра отгоре за още десет.

Пресметни още колко време в тунела е целият влак. Започва в момента, когато последният вагон навлиза в тунела и челото е следователно на 200 m след входа. Свършва, когато челото стигне до изхода. Челото изминава 1000 m − 200 m = 800 m, което му отнема 40 s. Дължината на влака този път се изважда.

По течението и срещу течението

По Дунав плава туристически кораб. Спрямо водата се движи със скорост 15 km/h, а реката тече със скорост 3 km/h. За колко време ще стигне до пристанище на 36 km по течението и за колко време ще се върне?

Скоростта на кораба мерим спрямо водата. Ако капитанът изключи двигателя, водата би отнасяла кораба със скорост 3 km/h. Както винаги, важно е спрямо какво мерим движението. Спрямо брега корабът по течението за час изминава 15 km със собствена сила и водата го придвижва допълнително с още 3 km. Корабът ще има индекс 1, течението индекс 2. Времето по течението означаваме $t_{+}$ , защото скоростите се събират, а времето срещу течението $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

По течението скоростите се събират и пътуването трае

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Срещу течението водата всеки час връща кораба с 3 km назад и скоростите се изваждат:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Километри, разделени на километри в час, дават часове. Корабът стига до пристанището за два часа и обратно за три.

Ако течението достигнеше скоростта на кораба спрямо водата, в знаменателя на втората формула щеше да има нула, както при колата, която би следвала велосипедиста със само 18 km/h. Корабът срещу течението би стоял спрямо брега на едно място и капитанът би могъл да остави двигателя да работи цял ден, началното пристанище нямаше да се приближи нито с метър.

А сега един капан. С каква средна скорост е плавал корабът по целия път натам и обратно? Който каже 15 km/h, защото течението веднъж е помагало и веднъж е пречело еднакво, е попаднал в капана както при задачата натам 60, обратно 40. Корабът е изминал 72 km за 5 h:

$v_{с р} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Срещу течението е плавал по-дълго, три часа вместо два, и средната скорост затова се е приближила към по-бавната. В спокойна вода същите 72 km щеше да измине за 4,8 h, тоест за 4 h и 48 min. Течение, което помага и пречи еднакво, винаги удължава пътуването натам и обратно.

Във всички задачи в тази статия колите, влаковете и корабите се движеха с постоянна скорост. Истинската кола обаче първо трябва да потегли и преди целта пак да спре. Как да опишем движение, при което скоростта се променя, ще покажем в следващата статия, Ускорение.

« Предишна: Как да решаваме задачи по кинематика и динамика

Следваща: Ускорение »