속력에 관한 문장제

아침 8시에 자동차 한 대가 A시에서 고속도로로 90 km/h의 속력으로 출발한다. 같은 시각에 맞은편 B시에서 다른 자동차가 115 km/h의 속력으로 출발한다. 두 도시 사이의 고속도로는 205 km이다. 두 자동차는 언제, 어디에서 만날까?

속력에 관한 문제는 겉모습이 매번 다르지만 거의 모두 같은 방법으로 풀 수 있다. 탈것마다 시간 t일 때 어디에 있는지 식으로 쓰고, 둘이 같은 곳에 있는 순간을 찾는 것이다. 모두 일정한 속력으로 움직이므로 등속 직선 운동의 공식과 흔히 쓰는 문제 풀이 순서만 있으면 충분하다.

마주 보고 달리는 두 자동차

아는 것과 구하는 것을 적는다. A시에서 출발한 자동차에는 첨자 1, B시에서 출발한 자동차에는 첨자 2를 붙인다.

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

모두 킬로미터와 시간으로 주어졌고 단위가 섞여 있지 않으므로 환산할 필요가 없다. 시간은 시간 단위로 나온다.

그림을 그리면 도움이 된다. 고속도로를 따라 x축을 긋는다. 원점을 A시에 두면 B시는 205 km인 곳에 있다.

그림: 고속도로를 따라 그은 x축. A시에서 출발한 빨간 자동차는 속력 v_1로 오른쪽으로, B시에서 출발한 파란 자동차는 속력 v_2로 왼쪽으로 달린다

빨간 자동차는 축의 방향으로 달리므로 그 위치는 간단히 지금까지 간 이동 거리와 같다.

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

파란 자동차는 205 km인 곳에서 출발해 축의 반대 방향으로 달린다. 그래서 그 위치는 1시간마다 115 km씩 줄어든다.

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

여기에 마이너스 부호가 붙는 것은 도윤이 집으로 돌아올 때 그래프가 내려간 것과 같은 이유이다. 물리학자라면 파란 자동차의 속도가 −115 km/h라고 말해도 된다. 여기서는 속도계가 보여 주는 대로 속력을 양수로 두고, 방향은 식의 부호로 나타낸다.

두 자동차는 같은 곳에 있을 때, 즉 x₁ = x₂일 때 만난다. 문제를 문자로 먼저 풀어 보자.

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

둘째 줄은 방정식 없이도 이해할 수 있다. v₁ · t는 빨간 자동차의 이동 거리, v₂ · t는 파란 자동차의 이동 거리이고, 둘을 합하면 두 도시 사이의 거리 전체가 된다. 두 자동차는 1시간마다 90 km + 115 km = 205 km씩 가까워진다. 값을 대입한다.

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

단위도 맞는다. 킬로미터를 킬로미터 매 시로 나누면 시간이다. 만나는 곳은 시간을 어느 한 자동차의 위치에 대입하면 구할 수 있다.

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

확인해 보자. 이때 파란 자동차는 205 km − 115 km = 90 km인 곳, 즉 같은 곳에 있다. 어림도 맞는다. 두 자동차가 같은 속력으로 달렸다면 길의 한가운데에서 만났을 것이다. B시에서 출발한 자동차가 더 빠르므로 두 자동차는 A시에 더 가까운 곳에서 만난다. 답: 두 자동차는 9시에 A시에서 90 km 떨어진 곳에서 만난다. 두 운전자는 서로 손을 흔들 틈도 없을 것이다. 1시간에 205 km씩 가까워지며 마주 달려오고 있으니 말이다.

그래프의 교점

같은 문제를 방정식 없이도 풀 수 있다. 앞에서 자동차와 화물차를 그렸던 것처럼 두 자동차의 위치를 한 그래프에 그린다.

A시에서 출발한 자동차(빨강)와 B시에서 출발한 자동차(파랑)의 위치 그래프. 주황색 교점이 두 자동차가 언제, 어디에서 만나는지 보여 준다

빨간 직선은 원점에서 시작해 기울기 90 km/h로 올라간다. 파란 직선은 높이 205 km에서 시작해 내려간다. 자동차가 축의 반대 방향으로 달리기 때문이다. 파란 직선은 빨간 직선이 올라가는 것보다 더 가파르게 내려가는데, B시에서 출발한 자동차가 더 빠르기 때문이다. 이 자동차는 2시간이 채 안 되어 위치가 0인 A시에 도착한다.

두 직선이 만나는 곳에서는 두 자동차가 같은 시각에 같은 위치에 있다. 이것이 곧 만남이다. 주황색 교점에서 시간축으로 내려가면 1 h을, 왼쪽의 세로축으로 가면 90 km를 읽을 수 있다.

방정식 x₁ = x₂를 푸는 것은 두 직선의 교점을 찾는 것과 같다. 그리는 대신 계산할 뿐이다. 그래프는 문제에서 무슨 일이 일어나는지 보여 주고 빠르게 어림하게 해 준다. 방정식은 교점이 눈금 사이에 있을 때도 정확한 값을 준다.

따라잡기

자전거 한 대가 A 마을에서 18 km/h의 일정한 속력으로 출발한다. 1시간 뒤에 자동차 한 대가 같은 길을 따라 54 km/h의 속력으로 출발한다. 자동차는 언제, 어디에서 자전거를 따라잡을까?

먼저 시간을 언제부터 잴지 정하자. 자동차가 출발하는 순간에 스톱워치를 누르는 것이 가장 편하다. 이때 자전거는 이미 1시간을 달렸으므로 18 km 앞서 있다. 이것이 공식 s = s₀ + v · t의 처음 이동 거리 s₀이다. 자전거는 앞으로만 달리고 축의 원점에서 출발했으므로 처음 이동 거리는 처음 위치와 같다. 길을 따라 축을 긋고 원점을 A 마을에 둔다. 자전거에는 첨자 1, 자동차에는 첨자 2를 붙인다.

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

둘 다 축의 방향으로 달리므로 위치는 다음과 같다.

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

자동차는 둘이 같은 곳에 있을 때, 즉 x₂ = x₁일 때 자전거를 따라잡는다.

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

이번에는 분모에 속력의 차가 있다. 앞에서 자동차가 화물차보다 두 속력의 차만큼씩 더 앞서 나갔던 것처럼, 자동차는 1시간마다 앞선 거리를 54 km − 18 km = 36 km씩 줄인다. 계산해 보자.

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0.5 h \end{aligned}$

자동차는 반 시간, 즉 30 min 뒤에 자전거를 따라잡는다. 만나는 곳은 자동차의 위치에서 읽는다.

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0.5 h = 27 km$

같은 순간 자전거는 18 km + 18 km/h · 0.5 h = 27 km인 곳에 있으므로 맞는다. 답: 자동차는 출발하고 30분 뒤에 A 마을에서 27 km 떨어진 곳에서 자전거를 따라잡는다.

이 문제도 위치 그래프를 그려 보자. 그림에 소수가 나오지 않도록 이번에는 시간축에 자동차가 출발한 뒤의 분을 적었다.

자전거(파랑)와 자동차(빨강)의 위치 그래프. 시간은 자동차가 출발한 뒤의 분이다. 주황색 교점이 자동차가 언제, 어디에서 자전거를 따라잡는지 보여 준다

자전거의 파란 직선은 원점이 아니라 높이 18 km에서 시작한다. 거리표를 지나던 자동차의 그래프와 같다. 자동차의 빨간 직선은 0에서 시작하고 더 가파르다. 두 직선 사이의 세로 간격이 자전거가 앞선 거리이다. 이 간격은 1분마다 줄어들어 30 min, 27 km인 교점에서 완전히 사라진다. 교점 뒤에서는 빨간 직선이 파란 직선 위에 있다. 자동차가 자전거를 앞질러 점점 멀어지는 것이다.

무엇에 답하는지 주의하자. 30분은 자동차가 출발한 때부터 잰 시간이다. 이때 자전거는 이미 1시간 30분째 페달을 밟고 있다. 스톱워치를 자전거와 함께 눌렀다면 1시간 30분이 나왔을 것이다. 둘 다 맞는다. 시간을 재기 시작한 순간이 다를 뿐이므로 답에는 그 순간을 밝혀야 한다.

공식에서 한 가지를 더 알 수 있다. 자동차가 18 km/h로만 달린다면 분모가 0이 된다. 0으로는 나눌 수 없으므로 자동차는 아무리 멀리 가도 자전거를 따라잡지 못한다.

터널을 지나는 열차

길이가 200 m인 열차가 72 km/h의 일정한 속력으로 길이 1 km인 터널을 지난다. 열차가 터널을 완전히 지나는 데, 즉 기관차가 터널에 들어간 때부터 마지막 객차가 터널을 빠져나올 때까지 얼마나 걸릴까?

터널의 길이를 속력으로 나누고 싶어진다. 하지만 여기서는 열차를 질점으로 볼 수 없다. 결과를 좌우하는 것이 열차의 길이이기 때문이다. 그림 없이는 이것을 놓치기 쉽다.

회색 점선은 앞머리가 터널에 들어가는 순간의 열차, 실선은 끝이 터널을 빠져나오는 순간의 열차이다. 두 위치 모두 앞머리는 주황색, 빨간색은 열차가 간 이동 거리 s이다

열차의 한 점, 기관차의 앞머리(주황)만 따라가면 된다. 처음에 앞머리는 터널 입구에 있다. 마지막 객차가 터널을 빠져나올 때 앞머리는 출구보다 열차 길이만큼 앞에 있다. 그러니 앞머리는 터널의 길이(파랑)에 열차의 길이(초록)를 더한 거리를 간다.

$s = 1,000 m + 200 m = 1,200 m$

길이가 미터로 주어졌으므로 속력을 미터 매 초로 바꾼다.

$v = 72 km / h = \frac{72}{3.6} m / s = 20 m / s$

시간은 이동 거리를 속력으로 나눈 것이다.

$t = \frac{s}{v} = \frac{1,200 m}{20 m / s} = 60 s$

미터를 미터 매 초로 나누면 초이므로 열차는 1분 만에 터널을 지난다. 터널의 길이만 쓴 사람은 50 s를 얻었을 것이다. 하지만 그 순간에는 기관차가 막 터널을 빠져나오고 있고, 그 뒤의 열차 전체는 아직 터널 안에 있다. 어림도 맞는다. 열차는 1 km를 50초에 가고, 나머지 200 m를 다시 10초에 간다.

열차 전체가 터널 안에 있는 시간도 계산해 보자. 이 시간은 마지막 객차가 터널에 들어가는 순간, 즉 앞머리가 입구에서 200 m 들어간 순간에 시작한다. 그리고 앞머리가 출구에 이르면 끝난다. 앞머리는 1,000 m − 200 m = 800 m를 가므로 40 s가 걸린다. 이번에는 열차의 길이를 뺀다.

강물을 따라, 강물을 거슬러

한강에 유람선이 다닌다. 유람선은 물에 대하여 15 km/h의 속력으로 움직이고, 강물은 3 km/h의 속력으로 흐른다. 유람선이 강물을 따라 36 km 떨어진 선착장까지 가는 데 얼마나 걸리고, 돌아오는 데는 얼마나 걸릴까?

유람선의 속력은 물에 대하여 잰 것이다. 선장이 엔진을 끄면 강물이 유람선을 3 km/h의 속력으로 떠내려 보낼 것이다. 늘 그렇듯이 운동을 무엇에 대하여 재는지가 중요하다. 강가에 대하여 보면 강물을 따라 내려갈 때 유람선은 1시간 동안 자기 힘으로 15 km를 가고, 강물이 여기에 3 km를 더 밀어 준다. 유람선에는 첨자 1, 강물에는 첨자 2를 붙인다. 강물을 따라 내려가는 시간은 두 속력을 더하므로 $t_{+}$ 로, 거슬러 올라가는 시간은 $t_{-}$ 로 나타낸다.

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

강물을 따라 내려갈 때는 속력을 더하므로 걸리는 시간은 다음과 같다.

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

거슬러 올라갈 때는 강물이 1시간마다 유람선을 3 km씩 뒤로 끌어내리므로 속력을 뺀다.

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

킬로미터를 킬로미터 매 시로 나누면 시간이 나온다. 유람선은 선착장까지 2시간, 돌아오는 데 3시간이 걸린다.

강물의 속력이 물에 대한 유람선의 속력만큼 빨라지면 둘째 공식의 분모가 0이 된다. 자동차가 자전거 뒤에서 18 km/h로만 달릴 때와 같다. 유람선은 강물을 거슬러 올라가면서 강가에 대하여 제자리에 서 있게 된다. 선장이 하루 종일 엔진을 돌려도 출발한 선착장에는 1 m도 가까워지지 않는다.

이제 함정 문제이다. 유람선이 갔다 오는 길 전체의 평균 속력은 얼마일까? 강물이 한 번은 도와주고 한 번은 똑같이 방해했으니 15 km/h라고 답한 사람은 갈 때 60, 올 때 40 문제에서처럼 속은 것이다. 유람선은 72 km를 5 h에 갔다.

$\bar{v} = \frac{72 km}{5 h} = 14.4 km / h$

거슬러 올라갈 때 2시간이 아니라 3시간으로 더 오래 갔으므로 평균은 느린 속력 쪽으로 기울었다. 흐르지 않는 물이었다면 같은 72 km를 4.8 h, 즉 4 h 48 min에 갔을 것이다. 한 번 돕고 한 번 똑같이 방해하는 강물은 갔다 오는 여행을 언제나 더 길게 만든다.

이 글의 문제에서는 자동차, 열차, 배가 모두 일정한 속력으로 움직였다. 하지만 실제 자동차는 먼저 출발해서 빨라져야 하고, 목적지 앞에서는 다시 브레이크를 밟아야 한다. 속력이 변하는 운동을 어떻게 나타내는지는 다음 글 가속도에서 살펴본다.

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