Bài toán chuyển động

Lúc 8 giờ sáng, một ô tô rời thành phố A theo đường cao tốc với tốc độ 90 km/h. Cùng lúc đó, một ô tô thứ hai rời thành phố B chạy ngược chiều với tốc độ 115 km/h. Đường cao tốc giữa hai thành phố dài 205 km. Hai ô tô gặp nhau lúc nào và ở đâu?

Các bài toán chuyển động mỗi lần một vẻ, nhưng gần như tất cả đều giải được bằng cùng một mẹo. Với mỗi xe, ta viết xem tại thời điểm t nó ở đâu, rồi tìm thời điểm mà hai xe ở cùng một chỗ. Mọi xe đều chạy với tốc độ không đổi, nên chỉ cần công thức của chuyển động thẳng đều và các bước giải bài tập quen thuộc.

Hai ô tô chạy ngược chiều

Tóm tắt đã biết gì và cần tìm gì. Ô tô từ A mang chỉ số 1, ô tô từ B mang chỉ số 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Mọi thứ đều tính bằng ki-lô-mét và giờ, đơn vị không bị trộn lẫn, nên không cần đổi. Thời gian sẽ ra giờ.

Hình vẽ giúp ích. Đặt trục x dọc theo đường cao tốc, gốc toạ độ ở A, khi đó B nằm ở 205 km.

Hình vẽ: trục x dọc theo đường cao tốc, ô tô màu đỏ từ A chạy sang phải với tốc độ v_1, ô tô màu xanh dương từ B chạy sang trái với tốc độ v_2

Ô tô màu đỏ chạy theo chiều của trục, nên vị trí của nó đơn giản là quãng đường nó đã đi:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Ô tô màu xanh dương bắt đầu ở 205 km và chạy ngược chiều trục. Vì vậy mỗi giờ vị trí của nó giảm 115 km:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Dấu trừ ở đây có cùng lí do như khi đồ thị của Tuấn đi xuống trên đường về nhà. Nhà vật lí có thể nói rằng ô tô màu xanh dương có vận tốc −115 km/h. Ở đây ta để tốc độ là số dương, như đồng hồ tốc độ chỉ, và ghi hướng bằng dấu trong công thức.

Hai ô tô gặp nhau khi chúng ở cùng một chỗ, tức là khi x₁ = x₂. Ta giải bài toán tổng quát:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Dòng thứ hai hiểu được ngay cả khi không dùng phương trình. Biểu thức v₁ · t là quãng đường của ô tô màu đỏ, v₂ · t là quãng đường của ô tô màu xanh dương, và cộng lại chúng đi hết khoảng cách giữa hai thành phố. Mỗi giờ hai xe lại gần nhau thêm 90 km + 115 km = 205 km. Thay số:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Đơn vị khớp: ki-lô-mét chia cho ki-lô-mét trên giờ là giờ. Chỗ gặp nhau có được bằng cách thay thời gian vào vị trí của một trong hai ô tô:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Kiểm tra: lúc đó ô tô màu xanh dương ở 205 km − 115 km = 90 km, tức là cùng chỗ. Ước lượng cũng khớp. Nếu hai ô tô chạy nhanh như nhau, chúng sẽ gặp nhau ở giữa đường. Ô tô từ B chạy nhanh hơn, nên chỗ gặp gần A hơn. Trả lời: hai ô tô gặp nhau lúc 9 giờ, cách A 90 km. Hai bác tài chắc chẳng kịp vẫy tay chào nhau, vì hai xe đang lao về phía nhau với đúng 205 km mỗi giờ.

Giao điểm của đồ thị

Cùng bài toán ấy có thể giải mà không cần phương trình. Ta vẽ vị trí của hai ô tô trên cùng một đồ thị, như trước đây với ô tô và xe tải.

Đồ thị vị trí của ô tô từ A (màu đỏ) và ô tô từ B (màu xanh dương). Giao điểm màu cam cho biết hai ô tô gặp nhau lúc nào và ở đâu

Đường thẳng màu đỏ đi qua gốc toạ độ và đi lên với độ dốc 90 km/h. Đường màu xanh dương bắt đầu ở độ cao 205 km và đi xuống, vì ô tô chạy ngược chiều trục. Nó đi xuống dốc hơn đường đỏ đi lên, vì ô tô từ B nhanh hơn. Nó đến A, nơi vị trí bằng 0, sau chưa đầy 2 giờ.

Tại chỗ hai đường thẳng cắt nhau, hai ô tô ở cùng một vị trí vào cùng một thời điểm. Đó chính là lúc gặp nhau. Từ giao điểm màu cam, đi xuống trục thời gian đọc được 1 h, sang trái đến trục thẳng đứng đọc được 90 km.

Giải phương trình x₁ = x₂ cũng là tìm giao điểm của hai đường thẳng, chỉ có điều tính toán thay cho vẽ. Đồ thị cho thấy bài toán đang diễn ra thế nào và cho một ước lượng nhanh. Phương trình cho con số chính xác, kể cả khi giao điểm rơi vào giữa hai vạch chia.

Đuổi kịp

Một người đi xe đạp rời thị trấn với tốc độ không đổi 18 km/h. 1 giờ sau, một ô tô đi theo cùng con đường với tốc độ 54 km/h. Ô tô đuổi kịp người đi xe đạp lúc nào và ở đâu?

Trước hết, chọn mốc tính thời gian. Tiện nhất là bấm đồng hồ lúc ô tô xuất phát. Khi đó người đi xe đạp đã đi được 1 giờ, tức là đi trước 18 km. Đó là đại lượng s₀ trong công thức s = s₀ + v · t. Người đi xe đạp chỉ đi về phía trước và xuất phát từ gốc trục, nên quãng đường ban đầu trùng với vị trí ban đầu. Đặt trục dọc theo con đường, gốc ở thị trấn. Người đi xe đạp mang chỉ số 1, ô tô mang chỉ số 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Cả hai đi theo chiều của trục, nên vị trí của họ là

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Ô tô đuổi kịp người đi xe đạp khi hai bên ở cùng một chỗ, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Lần này ở mẫu số là hiệu hai tốc độ. Mỗi giờ ô tô rút ngắn khoảng cách đi 54 km − 18 km = 36 km, giống như trước đây khoảng cách giữa ô tô và xe tải tăng thêm đúng bằng hiệu hai tốc độ. Tính:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Ô tô đuổi kịp người đi xe đạp sau nửa giờ, tức là sau 30 min. Chỗ gặp nhau đọc từ vị trí của ô tô:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Cùng lúc đó, người đi xe đạp ở 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, khớp. Trả lời: ô tô đuổi kịp người đi xe đạp nửa giờ sau khi xuất phát, cách thị trấn 27 km.

Ở đây ta cũng vẽ đồ thị vị trí. Lần này trục thời gian tính bằng phút kể từ lúc ô tô xuất phát, để trên hình không có số thập phân.

Đồ thị vị trí của người đi xe đạp (màu xanh dương) và của ô tô (màu đỏ), thời gian tính bằng phút kể từ lúc ô tô xuất phát. Giao điểm màu cam cho biết ô tô đuổi kịp người đi xe đạp lúc nào và ở đâu

Đường thẳng màu xanh dương của người đi xe đạp không bắt đầu ở gốc toạ độ mà ở độ cao 18 km, giống như đồ thị của ô tô đi qua cột cây số. Đường màu đỏ của ô tô xuất phát từ 0 và dốc hơn. Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đường là quãng mà người đi xe đạp đi trước. Mỗi phút nó nhỏ lại, đến giao điểm ở 30 min và 27 km thì mất hẳn. Sau giao điểm, đường đỏ nằm trên đường xanh dương: ô tô đã vượt người đi xe đạp và ngày càng bỏ xa.

Chú ý xem ta đang trả lời câu hỏi gì. Nửa giờ được tính từ lúc ô tô xuất phát. Khi đó người đi xe đạp đã đạp được một giờ rưỡi. Nếu bấm đồng hồ cùng lúc với người đi xe đạp thì kết quả là một giờ rưỡi. Cả hai đều đúng, chỉ là mỗi thời gian được tính từ một thời điểm khác nhau, vì vậy trong câu trả lời phải nói rõ mốc đó.

Từ công thức còn đọc ra được một điều nữa. Nếu ô tô chỉ chạy 18 km/h thì mẫu số bằng 0. Không thể chia cho 0, và ô tô sẽ không bao giờ đuổi kịp người đi xe đạp, dù có đi xa đến đâu.

Đoàn tàu qua đường hầm

Một đoàn tàu dài 200 m chạy với tốc độ không đổi 72 km/h qua một đường hầm dài 1 km. Tàu chạy qua hết đường hầm mất bao lâu, tức là từ lúc đầu máy vào hầm đến lúc toa cuối cùng ra khỏi hầm?

Ta dễ nghĩ ngay đến việc lấy chiều dài đường hầm chia cho tốc độ. Nhưng ở đây không được coi đoàn tàu là chất điểm, vì chính chiều dài của nó quyết định kết quả, và không có hình vẽ thì rất dễ bỏ qua điều này.

Nét đứt màu xám là đoàn tàu khi đầu tàu đi vào đường hầm, nét liền là đoàn tàu khi đuôi tàu ra khỏi đường hầm. Đầu tàu ở cả hai vị trí được tô màu cam, màu đỏ là quãng đường s tàu đi được

Chỉ cần theo dõi một điểm của đoàn tàu: đầu máy (màu cam). Lúc đầu nó ở cửa vào đường hầm. Khi toa cuối cùng ra khỏi hầm, đầu tàu đã vượt qua cửa ra một đoạn bằng cả chiều dài đoàn tàu. Vậy nó đã đi hết chiều dài đường hầm (màu xanh dương) và thêm chiều dài đoàn tàu (màu xanh lá):

$s = 1.000 m + 200 m = 1.200 m$

Chiều dài tính bằng mét, vì vậy ta đổi tốc độ ra mét trên giây:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Thời gian bằng quãng đường chia cho tốc độ:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1.200 m}{20 m / s} = 60 s$

Mét chia cho mét trên giây là giây, vậy đoàn tàu qua đường hầm mất 1 phút. Ai chỉ lấy chiều dài đường hầm sẽ được 50 s. Nhưng lúc đó đầu máy mới ra khỏi hầm, còn cả đoàn tàu phía sau vẫn ở trong hầm. Ước lượng khớp: tàu đi 1 ki-lô-mét mất 50 giây, và 200 mét thêm mất 10 giây nữa.

Hãy tự tính xem cả đoàn tàu nằm trọn trong đường hầm bao lâu. Khoảng thời gian này bắt đầu khi toa cuối cùng vào hầm, tức là khi đầu tàu đã cách cửa vào 200 m. Nó kết thúc khi đầu tàu đến cửa ra. Đầu tàu đi được 1.000 m − 200 m = 800 m, mất 40 s. Lần này chiều dài đoàn tàu phải trừ đi.

Xuôi dòng và ngược dòng

Một tàu du lịch chạy trên sông Hồng. So với nước, tàu chạy với tốc độ 15 km/h, còn nước sông chảy với tốc độ 3 km/h. Tàu đi xuôi dòng đến bến cách 36 km mất bao lâu, và quay về mất bao lâu?

Tốc độ của tàu được đo so với nước. Nếu người lái tắt máy, dòng nước sẽ cuốn tàu đi với tốc độ 3 km/h. Như mọi khi, điều quan trọng là chuyển động được đo so với cái gì. So với bờ, khi xuôi dòng, mỗi giờ tàu tự đi được 15 km, và dòng nước đẩy nó đi thêm 3 km nữa. Tàu mang chỉ số 1, dòng nước mang chỉ số 2. Thời gian xuôi dòng kí hiệu là $t_{+}$ , vì các tốc độ cộng lại, thời gian ngược dòng là $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Khi xuôi dòng, các tốc độ cộng lại và chuyến đi mất

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Khi ngược dòng, mỗi giờ dòng nước kéo tàu lùi lại 3 km và các tốc độ trừ cho nhau:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Ki-lô-mét chia cho ki-lô-mét trên giờ cho giờ. Tàu đến bến sau 2 giờ và quay về mất 3 giờ.

Nếu dòng nước chảy nhanh bằng tốc độ của tàu so với nước, mẫu số của công thức thứ hai sẽ bằng 0, giống như với ô tô chỉ chạy 18 km/h sau người đi xe đạp. Khi ngược dòng, tàu sẽ đứng yên so với bờ, và người lái có để máy chạy cả ngày thì bến xuất phát cũng không gần thêm được 1 mét.

Còn đây là câu hỏi mẹo. Tốc độ trung bình của tàu trên cả chuyến đi và về là bao nhiêu? Ai trả lời 15 km/h, vì dòng nước một lần giúp, một lần cản như nhau, là đã mắc bẫy giống như trong bài toán đi 60, về 40. Tàu đi được 72 km trong 5 h:

$v_{tb} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Khi ngược dòng, tàu chạy lâu hơn, 3 giờ thay vì 2 giờ, vì vậy trung bình nghiêng về phía tốc độ chậm hơn. Trên mặt nước đứng yên, tàu sẽ đi hết 72 km ấy trong 4,8 h, tức là 4 h 48 min. Dòng nước giúp và cản như nhau bao giờ cũng làm chuyến đi và về kéo dài hơn.

Trong mọi bài toán ở bài này, ô tô, tàu hoả và tàu thuỷ đều chạy với tốc độ không đổi. Nhưng ô tô thật phải khởi động trước, rồi trước khi đến nơi lại phải phanh. Cách mô tả chuyển động có vận tốc thay đổi được trình bày trong bài tiếp theo, Gia tốc.

« Bài trước: Cách giải bài tập động học và động lực học

Bài tiếp: Gia tốc »