Сила на тежестта и тегло

„Тежа 70 кила,“ казва Мартин. Всички знаят какво има предвид и въпреки това физикът би повдигнал вежда. Килограмът е мерна единица за маса, не за сила, и когато Мартин стои на кантара, той натиска върху него със сила, която се измерва в нютони. Вкъщи на пода това е просто игра на думи, в асансьор или на Луната вече не.

Маса и сила на тежестта

Масата m изразява колко много тялото се съпротивлява на промяната на скоростта. Измерва се в килограми и не зависи от това къде е тялото. Мартин има маса 70 kg вкъщи, в самолета и на Луната.

Силата на тежестта $\overrightarrow{G}$ е силата, с която Земята привлича тялото. Сочи вертикално надолу и големината ѝ определяме като

$$G=m\cdot g,$$

където g ≈ 9,81 m/s² е земното ускорение. Единицата m/s² можем да четем и като N/kg, защото N = kg·m/s². Земното ускорение така същевременно показва, че Земята при повърхността тегли всеки килограм със сила 9,81 N. Тяло с двойна маса Земята тегли два пъти по-силно.

За Мартин излиза

$$G=70\mathrm{kg}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 687\mathrm{N}.$$

На Луната ускорението на свободното падане е само около 1,62 m/s², приблизително шест пъти по-малко. Луната затова тегли Мартин със сила

$$G=70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 113\mathrm{N}.$$

Силата на тежестта е намаляла до една шеста, масата си остава 70 kg. На Луната Мартин би подскочил много по-високо, но ако поиска да избута или спре натоварена количка, трябва да се напъне като вкъщи. Колко сила изисква промяната на скоростта, по закона на силата определя масата, а тя не се е променила. А да ритнеш канара на Луната би боляло все така.

Реакция на опората и тегло

Мартин стои вкъщи на кантара. Земята го тегли надолу и въпреки това не пада, защото кантарът го бута нагоре с реакция на опората $\overrightarrow{N}$. Мартин не се движи, равнодействащата е нула, така че двете сили са с еднаква големина, N = G ≈ 687 N.

Откъде се взема реакцията на опората? Подът и плочата на кантара под Мартин се огъват съвсем малко, подобно на пружина, и се стремят да се върнат в първоначалната си форма. Колкото повече ги натиска, толкова повече се огъват и толкова по-силно бутат обратно. Опората така сама си произвежда точно толкова сила, колкото е нужно, но само до известна граница: тънък лед на езеро или изгнила дъска няма да издържат.

Реакцията на опората действа върху Мартин. По закона за действието и противодействието Мартин натиска кантара надолу със същата по големина сила. Силата, с която тялото натиска опората или дърпа окачването, наричаме тегло. Силата на тежестта и теглото лесно се бъркат, защото в покой имат една и съща големина и двете сочат надолу. Разликата е в това, върху какво действат:

• силата на тежестта действа върху тялото, тегли го Земята,
• теглото действа върху опората или окачването, тялото я натиска или го дърпа.

При окачването е същото. Раница с маса 8 kg на закачалка Земята тегли със сила на тежестта около 78 N и куката я държи със същата по големина сила нагоре. Раницата при това дърпа куката надолу със своето тегло, също 78 N.

Теглото има винаги същата големина като силата, с която опората или окачването действа върху тялото, защото заедно образуват двойка действие и противодействие. Със силата на тежестта обаче не е нужно да е равно, както след малко ще видим.

Между другото, ние не усещаме силата на тежестта. Тегли еднакво всяка частица от тялото, ръцете, стомаха и главата, и нищо няма как да я разпознае. Усещаме едва как отдолу ни натиска подът или столът и как под този натиск тялото се свива малко. Именно реакцията на опората отговаря на това, което обикновено смятаме за усещане за собствено тегло.

Какво показва кантарът в банята

Личният кантар крие пружина или гъвкава метална лента, която под товар се огъва. Измерва следователно силата, с която го натискаш, тоест теглото ти, и всъщност е динамометър. На дисплея обаче не светят нютони, а килограми. Производителят е предположил, че ще стоиш на кантара в покой на Земята, където го натискаш със сила m · g. Измерената сила затова дели на земното ускорение:

$$\frac{687\mathrm{N}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 70\mathrm{kg}$$

Когато Мартин казва „тежа 70 кила“, има предвид масата си и тя наистина е 70 kg. Физически точно би казал, че има маса 70 kg и тегло 687 N. Вкъщи излиза на едно, защото кантарът превръща едното в другото все със същото число.

Ако Мартин вземе същия кантар на Луната, ще го натиска само със сила 113 N. Кантарът послушно ще раздели на числото 9,81 m/s² и ще покаже

$$\frac{70\mathrm{kg}\cdot 1,62{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 11,6\mathrm{kg}.$$

Мартин при това не е отслабнал и с грам, кантарът просто смята, че стои на Земята. Грешка би било затова да се напише, че на Луната има маса 11,6 kg. Масата на Луната правилно биха определили само равнораменни везни, които сравняват тялото с тежести, защото Луната тегли двете блюда еднакво слабо.

Кантар в асансьор

Мартин влиза в асансьор на партера, застава на кантара и се вози нагоре. Върху него действат две сили: силата на тежестта надолу и реакцията на опората на кантара нагоре. Положителната посока избираме нагоре, така че равнодействащата е N − G и по закона на силата е равна на m · a:

$$N-m\cdot g=m\cdot a$$

Прибавяме m · g и изваждаме масата пред скоби:

$$N=m\cdot (g+a)$$

Асансьорът потегля с ускорение 2 m/s² нагоре. Това е доста бърз асансьор: обикновените потеглят приблизително с половината от това ускорение, за да не е неприятно на пътниците. Заместваме:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 827\mathrm{N}\end{array}$$

Кантарът дели силата на числото 9,81 m/s² и показва около 84 kg. Мартин на дисплея е надебелял с 14 кила. В действителност кантарът трябва не само да го държи, но и да го тласка нагоре, и затова натиска по-силно. Това усилено натискане Мартин усеща в краката като допълнително тегло. Силата на тежестта при това не се е променила, Земята го тегли все със сила 687 N.

Щом асансьорът се движи с постоянна скорост, ускорението е нула и N = m · g. Кантарът пак показва 70 kg и Мартин със затворени очи не би разбрал дали се движи, или стои. Скоростта не се усеща, усеща се само ускорението.

Преди целевия етаж асансьорът спира. Скоростта сочи нагоре, но намалява, така че ускорението сочи надолу, a = −2 m/s²:

$$\begin{array}{rl}N& =70\mathrm{kg}\cdot (9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2-2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\\ & \approx 547\mathrm{N}\end{array}$$

Кантарът показва около 56 kg и Мартин за кратко има усещането, че е по-лек.

В анимацията асансьорът известно време стои, после потегля нагоре, движи се с постоянна скорост, спира и застава. Синята сила на тежестта остава непрекъснато еднакво дълга. Зелената реакция на опората и зеленият стълб вдясно, който показва показанието на кантара, при потегляне се удължават и при спиране се скъсяват. Черната стрелка до кабината показва накъде сочи ускорението. Сивата прекъсната линия отбелязва показанието в покой, дисплеят над стълба показва показанието в килограми.

Надолу е обратното. При потегляне надолу ускорението сочи надолу и кантарът показва по-малко, при спиране преди партера сочи нагоре и кантарът показва повече. Решаваща е посоката на ускорението, не посоката на движение:

Може да се смята и обратно. Кантарът в асансьор показва 77 kg, какво ускорение има асансьорът? Кантарът е измерил сила N = 77 kg · 9,81 m/s². От формулата за реакцията на опората изразяваме ускорението, уравнението делим на масата и изваждаме g:

$$a=\frac{N}{m}-g=\frac{77\mathrm{kg}\cdot g}{70\mathrm{kg}}-g=0,1\cdot g$$

Асансьорът има ускорение около 0,98 m/s² нагоре. Или потегля нагоре, или спира по пътя надолу, това кантарът не различава.

Падащ асансьор и безтегловност

А ако въжето се скъса? Истински асансьор би бил спрян от аварийни спирачки, които се впиват във водещите релси, но нека го доразвием мислено. Асансьорът и Мартин тогава падат само под действието на силата на тежестта, както при свободното падане, и имат ускорение g надолу, тоест a = −g:

$$N=m\cdot (g-g)=0\mathrm{N}$$

Кантарът показва нула. Мартин и кантарът падат съвсем еднакво, Мартин изобщо не натиска кантара и кантарът не натиска него. Ако Мартин пусне от ръка ключове, те ще останат да висят във въздуха до него, защото падат като него и като кабината. Това се нарича безтегловност или състояние на безтегловност. Теглото е нула, нищо не натиска опората, нито дърпа окачването.

Силата на тежестта обаче не е нула. Земята тегли Мартин все със сила 687 N и точно затова той пада. Безтегловността не означава, че гравитацията е изчезнала, само че отдолу нищо не я уравновесява. Безопасно я изпитват пътниците в специален самолет, който около двайсет секунди лети така, че да има ускорение точно g надолу. Хората вътре през цялото време се носят. По-слаба версия на същото изпитваш в колата, която бързо минава върха на хълм. За миг има ускорение надолу, седалката натиска по-малко и стомахът ти се свива.

Претоварването, изразено чрез сили

Претоварването казва колко пъти по-силно ни натиска опората, отколкото когато стоим в покой. Сега можем да го запишем със сили. Това е отношение на реакцията на опората към силата на тежестта:

$$\frac{N}{m\cdot g}=\frac{m\cdot (g+a)}{m\cdot g}=\frac{g+a}{g}$$

Масата се съкрати, претоварването следователно не зависи от нея. Тежък и лек пътник в един и същ асансьор изпитват същото претоварване. При потегляне нагоре излиза

$$\frac{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2+2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}\approx 1,2,$$

тоест претоварване 1,2g. При спиране е 0,8g, в покой и при постоянна скорост 1g и в падащ асансьор 0g. Претоварването е следователно същото, което показва кантарът, само разделено на онова, което би показвал в покой: 84 kg към 70 kg е пак 1,2.

Досега разглеждахме какво прави сила, която действа непрекъснато. Какво става, ако удари само за част от секундата, например при удар или ритник на топка? Това ще разгледа следващата статия, Импулс на тяло и импулс на сила.